基于MATLAB的ADSP AR模型的LMS 與 RLS 算法分析

1、MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)LMS和RLS算法題目： 序列x(n)有AR（2）模型產(chǎn)生：，w(n)是均值為0、方差為1的高斯白噪聲序列。用LMS算法和RLS算法來(lái)估計(jì)模型參數(shù)。按照課本第三章63頁(yè)的要求，仿真實(shí)現(xiàn)LMS算法和RLS算法，比較兩種算法的權(quán)值收斂速度，并對(duì)比不同u值對(duì)LMS算法以及值對(duì)RLS算法的影響。解答：1 數(shù)據(jù)模型（1）高斯白噪聲用用randn函數(shù)產(chǎn)生均值為0、方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。隨后的產(chǎn)生的信號(hào)用題目中的AR（2)模型產(chǎn)生，激勵(lì)源是之前產(chǎn)生的高斯白噪聲。（2）信號(hào)點(diǎn)數(shù)這里取為2000，用2000個(gè)信號(hào)來(lái)估計(jì)濾波器系數(shù)。（3）分別取3個(gè)不同的u、值來(lái)分析對(duì)不同算法對(duì)

2、收斂效果的影響。其中u=0.001,0.003,0.006，lam=1,0.98,0.94。2 算法模型2.1自適應(yīng)算法的基本原理自適應(yīng)算法的基本信號(hào)關(guān)系如下圖所示：圖 1 自適應(yīng)濾波器框圖輸入信號(hào)x(n)通過(guò)參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器后產(chǎn)生輸出信號(hào)y(n)，將其與參考信號(hào)d(n)進(jìn)行比較，形成誤差信號(hào)e(n)。e(n)通過(guò)某種自適應(yīng)算法對(duì)濾波器參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，最終是e(n)的均方值最小。當(dāng)誤差信號(hào)e(n)的均方誤差達(dá)到最小的時(shí)候，可以證明信號(hào)y(n)是信號(hào)d(n)的最佳估計(jì)。2.2 LMS算法簡(jiǎn)介L(zhǎng)MS算法采用平方誤差最小的原則代替最小均方誤差最小的原則，信號(hào)基本關(guān)系如下：寫成矩陣型式為：式中，W(

3、n) 為n 時(shí)刻自適應(yīng)濾波器的權(quán)矢量，N為自適應(yīng)濾波器的階數(shù)；X( n) 為n 時(shí)刻自適應(yīng)濾波器的參考輸入矢量，由最近N 個(gè)信號(hào)采樣值構(gòu)成，；d ( n) 是期望的輸出值；e ( n) 為自適應(yīng)濾波器的輸出誤差調(diào)節(jié)信號(hào)(簡(jiǎn)稱失調(diào)信號(hào)) ；是控制自適應(yīng)速度與穩(wěn)定性的增益常數(shù)，又叫收斂因子或步長(zhǎng)因子。2.3 RLS算法簡(jiǎn)介RLS算法是用二乘方的時(shí)間平均的最小化準(zhǔn)則取代最小均方準(zhǔn)則，并按時(shí)間進(jìn)行迭代計(jì)算。其基本原理如下所示：稱為遺忘因子，它是小于等于1的正數(shù)。參考信號(hào)或期望信號(hào)。第n次迭代的權(quán)值。均方誤差。按照如下準(zhǔn)則：即越舊的數(shù)據(jù)對(duì)的影響越小。對(duì)濾波器系數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，并令結(jié)果等于零知整理得到標(biāo)準(zhǔn)方程

4、定義標(biāo)準(zhǔn)方程可以化簡(jiǎn)成形式：經(jīng)求解可以得到迭代形式定義：，則可知T的迭代方程為系數(shù)的迭代方程為其中增益和誤差的定義分別為由上邊分析可知，RLS算法遞推的步驟如下：1. 在時(shí)刻n，已經(jīng)知道和也已經(jīng)存儲(chǔ)在濾波器的實(shí)驗(yàn)部件中2. 利用公式（1.9）、（1.10）、（1.11）和（1.12）計(jì)算，并得到濾波器的輸出相應(yīng)和誤差即：3. 進(jìn)入第次迭代優(yōu)點(diǎn)-其優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，而且適用于非平穩(wěn)信號(hào)的自適應(yīng)處理?xiàng)l件-:是每次迭代時(shí)都知道輸入信號(hào)和參考信號(hào)，計(jì)算量比較大3 仿真過(guò)程簡(jiǎn)介仿真過(guò)程按照如下過(guò)程進(jìn)行（1） 信號(hào)產(chǎn)生：首先產(chǎn)生高斯白噪聲序列w(n)，然后將此通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的二階自回歸 濾波器生成信號(hào)，該濾

5、波器的參數(shù)為（2）將步驟一生成的信號(hào)通過(guò)LMS和RLS自適應(yīng)濾波器進(jìn)行處理（3）通過(guò)改變u值對(duì)收斂速度的影響來(lái)分析LMS算法的性能以及通過(guò)改變值對(duì)收斂速度的影響來(lái)分析RLS算法的性能。（4）繪制各種圖形曲線（5）源代碼如下：%(1)信號(hào)序列與高斯白噪聲的產(chǎn)生%參數(shù)初始化a1=1.4; %生成信號(hào)所用AR（2）濾波器的參數(shù)a2=-0.7;n=2000; %信號(hào)點(diǎn)數(shù) %信號(hào)及白噪聲信號(hào)序列的初始化x=zeros(1,n); %信號(hào)的初始化w=randn(1,n); %高斯白噪聲的初始化，均值為0，方差為1 x(1)=w(1); %信號(hào)前兩點(diǎn)的初始賦值x(2)=a1*x(1)+w(2); %信號(hào)序列

6、的產(chǎn)生for i=3:n x(i)=a1*x(i-1)+a2*x(i-2)+w(i);%信號(hào)由AR（2）產(chǎn)生end %繪制信號(hào)和高斯白噪聲波形figure(1)plot(1:n,x,b:,1:n,w,r-);legend(信號(hào)序列,高斯白噪聲) % 圖例title(基于AR（2）模型產(chǎn)生的信號(hào)x和高斯白噪聲w);xlabel(信號(hào)點(diǎn)數(shù)n);ylabel(x(n)/w(n); %(2)LMS和RLS算法下的參數(shù)a1、a2的收斂曲線%LMS濾波L=2; %濾波器長(zhǎng)度u=0.001; %LMS算法下自適應(yīng)增益常數(shù)初始化wL=zeros(L,n);%LMS濾波器的權(quán)值初始化for i=(L+1):n

7、X=x(i-1:-1:(i-L); y(i)=X*wL(:,i); %i時(shí)刻輸出信號(hào) e(i)=x(i)-y(i); %i時(shí)刻誤差信號(hào) wL(:,(i+1)=wL(:,i)+2*u*e(i)*X; %i時(shí)刻濾波器的權(quán)值end;a1L=wL(1,1:n); % a1在LMS算法下值的變化a2L=wL(2,1:n); % a2在LMS算法下值的變化 %RLS濾波L=2; %濾波器長(zhǎng)度lam=0.98; %RLS算法下lambda取值wR=zeros(L,n);%權(quán)系數(shù)，初值為0T=eye(L,L)*10;% %RLS算法下T參數(shù)的初始化,T初始值為10for i=(L+1):n X=x(i-1:-

8、1:(i-L); K=(T*X)/(lam+X*T*X);%i時(shí)刻增益值 e1=x(i)-wR(:,i-1)*X; wR(:,i)=wR(:,i-1)+K*e1; %i時(shí)刻權(quán)值 y(i)=wR(:,i)*X;%輸出信號(hào) e(i)=x(i)-y(i);%預(yù)測(cè)誤差 T=(T-K*X*T)/lam; %i時(shí)刻的維納解end;a1R=wR(1,1:n); % a1在RLS算法下值的變化a2R=wR(2,1:n); % a2在RLS算法下值的變化 %繪制LMS與RLS算法下a1、a2收斂曲線figure(2)plot(1:n,a1L,r-,1:n,a1R,b:,1:n,a2L,g-,1:n,a2R,m-

9、.,1:n,a2,k-,1:n,a1,k-);legend(LMS-a1變化,RLS-a1變化,LMS-a2變化,RLS-a2變化,a1收斂值,a2收斂值,0); % 圖例title(LMS與RLS算法對(duì)比);xlabel(信號(hào)點(diǎn)數(shù)n);ylabel(對(duì)應(yīng)a1、a2的值); %(3)LMS算法下不同u值的參數(shù)收斂曲線wL=zeros(L,n,3);eL=zeros(n,3); % LMS算法下誤差初始化yL=zeros(n,3); % LMS算法下濾波器輸出初始化u=0.001,0.003,0.006; %不同的u值 for j=1:3 for i=(L+1):n yL(i,j)=x(i-1:

10、-1:i-2)*wL(1:L,i-1,j); eL(i,j)=x(i)-yL(i,j); wL(1:L,i,j)=wL(1:L,i-1,j)+2*u(j)*eL(i,j)*x(i-1:-1:i-L); endenda1L1=wL(1,1:n,1);a1L2=wL(1,1:n,2);a1L3=wL(1,1:n,3); figure(3)plot(1:n,a1L1,b-,1:n,a1L2,r:,1:n,a1L3,c-.,1:n,a1,k) % 畫圖顯示不同u值下LMS算法性能差別legend(u=0.001,u=0.003,u=0.006,a1收斂值,0) % 圖例title(LMS算法下不同的u

11、值對(duì)a1收斂速度影響)xlabel(信號(hào)點(diǎn)數(shù) n)ylabel(對(duì)應(yīng)a1的值) %(4)RLS算法下不同lambda值的參數(shù)收斂曲線wR=zeros(2,n,3); % RLS算法下自適應(yīng)濾波器參數(shù)初始化eR=zeros(n,3); % RLS算法下誤差項(xiàng)初始化yR=zeros(n,3); % RLS算法下濾波器輸出初始化lam=1,0.98,0.94;for j=1:3 for i=(L+1):n xR=x(i-1:-1:i-2); k=(T*xR)/(lam(j)+xR*T*xR); T=(T-k*xR*T)/lam(j); eR=x(i)-xR*wR(1:2,i-1,j); yR(i,j

12、)=xR*wR(1:2,i-1,j); wR(1:2,i,j)=wR(1:2,i-1,j)+k*eR; endenda1R1=wR(1,1:n,1);a1R2=wR(1,1:n,2);a1R3=wR(1,1:n,3); figure(4)plot(1:n,a1R1,b-,1:n,a1R2,r:,1:n,a1R3,c-.,1:n,1:n,a1,k) % 畫圖顯示不同lamda值下RLS算法性能差別legend(lam=1,lam=0.98,lam=0.94,a1收斂值,0) % 圖例title(RLS算法下不同的lam值對(duì)a1收斂速度影響)xlabel(信號(hào)點(diǎn)數(shù) n)ylabel(對(duì)應(yīng)a1的值)4 仿真結(jié)果 信號(hào)和高斯白噪聲波形如圖（1）所示：圖1 信號(hào)和高斯白噪聲波形圖2 LMS算法和RLS算法收斂曲線對(duì)比圖3 u對(duì)LMS收斂速度的影響圖4 對(duì)RLS收斂速度的影響4 結(jié)果分