高中數(shù)學(xué)講義微專題22《恒成立問題——參變分離法》講義

1、微專題 22 恒成立問題參變分離法 一、基礎(chǔ)知識： 1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個(gè)字母時(shí)（一個(gè)視為變量，另一個(gè)視為參 數(shù)） ，可利用不等式的等價(jià)變形讓兩個(gè)字母分居不等號的兩側(cè)，即不等號的每一側(cè)都是只含 有一個(gè)字母的表達(dá)式。然后可利用其中一個(gè)變量的范圍求出另一變量的范圍 2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個(gè)字母的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于 它的函數(shù)，另一個(gè)字母（一般為所求）視為參數(shù)。 3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點(diǎn)原 則： （1）已知不等式中兩個(gè)字母是否便于進(jìn)行分離，如果僅通過幾步簡單變換即可達(dá)到分離目 的，則參變分離法

2、可行。但有些不等式中由于兩個(gè)字母的關(guān)系過于“緊密” ，會出現(xiàn)無法分 離的情形，此時(shí)要考慮其他方法。例如：，等 2 1logaxx 1 1 1 ax x e x （2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值） ，若解析式過 于復(fù)雜而無法求出最值（或臨界值） ，則也無法用參變分離法解決問題。 （可參見”恒成立問 題最值分析法“中的相關(guān)題目） 4、參變分離后會出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；xD f x 為參數(shù)，為其表達(dá)式）a g a （1）若的值域?yàn)?f x,m M ，則只需要 ,xD g af x ming af xm ，則只需要 ,xD g x

3、f x ming af xm ，則只需要 ,xD g af x max=g af xM ，則只需要 ,xD g af x max=g af xM ，則只需要 ,xD g af x maxg af xM ，則只需要 ,xD g af x maxg af xM ，則只需要 ,xD g af x ming af xm ，則只需要 ,xD g af x ming af xm （2）若的值域?yàn)?f x,m M ，則只需要 ,xD g af x g am ，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比） ,xD g af x g am ，則只需要 ,xD g af x g aM ，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)

4、情況進(jìn)行對比） ,xD g af x g aM ，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比） ,xD g af x g aM ，則只需要 ,xD g af x g aM ，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比） ,xD g af x g am ，則只需要 ,xD g af x g am 5、多變量恒成立問題：對于含兩個(gè)以上字母（通常為 3 個(gè)）的恒成立不等式，先觀察好哪 些字母的范圍已知（作為變量） ，那個(gè)是所求的參數(shù)，然后通常有兩種方式處理 （1）選擇一個(gè)已知變量，與所求參數(shù)放在一起與另一變量進(jìn)行分離。則不含參數(shù)的一側(cè)可 以解出最值（同時(shí)消去一元） ，進(jìn)而多變量恒成立問題就轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的恒

5、成立問題了。 （2）將參數(shù)與變量進(jìn)行分離，即不等號一側(cè)只含有參數(shù)，另一側(cè)是雙變量的表達(dá)式，然后 按所需求得雙變量表達(dá)式的最值即可。 二、典型例題： 例 1：已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ xx f xeae ( ) 2 3fx a 思路：首先轉(zhuǎn)化不等式，即恒成立，觀察不等式與 ( )xx fxeae2 3 x x a e e a 便于分離，考慮利用參變分離法，使分居不等式兩側(cè)，若不等 x e, a x 2 2 3 xx aee 式恒成立，只需，令 2 max 2 3 xx aee （解析式可看做關(guān)于（解析式可看做關(guān)于的二次函數(shù)，故配方求最的二次函數(shù)，故配方求最 2 2 2 333 x

6、xx g xeee x e 值）值），所以 max3g x3a 答案：3a 例 2：已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是 ln a f xx x 2 f xx1,a _ 思路：恒成立的不等式為，便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法 2 ln a xx x 解：，其中 233 lnlnln a xxxxaxaxxx x 1,x 只需要，令 3 max lnaxxx 3 lng xxxx （導(dǎo)函數(shù)無法直接確定單調(diào)區(qū)間，但再求一次導(dǎo)即可將變?yōu)?，所以二階 2 ( )1ln3g xxx ln x 1 x 導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性可分析，為了便于確定的符號，不妨先驗(yàn)邊界值） gx ，（判斷單調(diào)性時(shí)一定要先看定義域

7、，有可能會簡 12g 2 116 60 x gxx xx 化判斷的過程） 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減 gx1, 10( )gxgg x1, 11g xg 1a 答案：1a 小煉有話說：求導(dǎo)數(shù)的目的是利用導(dǎo)函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)無法直接判 斷符號時(shí)，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解析式的特點(diǎn)以及定義域嘗試在求一次導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而通過單調(diào)性和關(guān) 鍵點(diǎn)（邊界點(diǎn)，零點(diǎn)）等確定符號。 例 3：若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是 xR 2 3 32 4 xaxxa 思路：在本題中關(guān)于的項(xiàng)僅有一項(xiàng)，便于進(jìn)行參變分離，但由于,則分離參數(shù), a x2axxR 時(shí)要對的符號進(jìn)行討論，并且利用的符號的討論也可把絕對值去掉，

8、進(jìn)而得到的范圍，xxa ，當(dāng)時(shí)，而 22 33 3223 44 xaxxaxxx0 x min 3 231 4 ax x ；當(dāng)時(shí)，不等式恒 333 31312 312 444 xxx xxx 221aa0 x 成立；當(dāng)時(shí)，而0 x max 3 231 4 ax x 33 31132 44 xx xx 綜上所述：221aa 11a 答案：11a 小煉有話說：（1）不等式含有絕對值時(shí)，可對絕對值內(nèi)部的符號進(jìn)行分類討論，進(jìn)而去掉 絕對值，在本題中對進(jìn)行符號討論一舉兩得：一是去掉了絕對值，二是參變分離時(shí)確定不x 等號的是否變號。 （2）在求解析式最值時(shí)根據(jù)式子特點(diǎn)巧妙使用均值不等式，替代了原有的構(gòu)造函

9、數(shù)求導(dǎo)出x 最值的方法，簡化了運(yùn)算。 （3）注意最后確定的范圍時(shí)是三部分取交集，因?yàn)槭菍Φ娜≈捣秶M(jìn)行的討論，而無論ax 取何值，的值都要保證不等式恒成立，即要保證三段范圍下不等式同時(shí)成立，所以取xaa 交集。 例 4：設(shè)函數(shù)，對任意的 2 ( )1f xx 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 2 3 ,4( )(1)4 ( ) 2 x xfm f xf xf m m m _ 思路：先將不等式進(jìn)行化簡可得：，即 2 2 222 1411141 x mxxm m ，便于進(jìn)行分離，考慮不等式兩邊同時(shí)除以，可得： 222 2 1 423mxxx m 2 x ， 2 2 22 min 123 4 xx m m

10、x 2 2 2 2311 321 xx g x xxx 12 0, 3x 最小值，即 25 33 g 242 2 15 412530 3 mmm m 解得： 22 31430mm 33 , 22 m 答案： 33 , 22 m 小煉有話說：本題不等式看似復(fù)雜，化簡后參變分離還是比較容易的，從另一個(gè)角度看本題 所用不等式為二次不等式，那么能否用二次函數(shù)圖像來解決呢？并不是一個(gè)很好的辦法，因 為二次項(xiàng)系數(shù)為關(guān)于的表達(dá)式且過于復(fù)雜，而對稱軸的形式也不利于下一步的計(jì)算。所以m 在解題時(shí)要注意觀察式子的結(jié)構(gòu)，能夠預(yù)想到某種方法所帶來的運(yùn)算量，進(jìn)而做出選擇 例 5：若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 2

11、3 22xxxax0,4xa 思路： ，令，對絕 23 23 min 22 22 xxx xxxaxa x 23 22xxx fx x 對值內(nèi)部進(jìn)行符號討論，即，而 2 2 2 2 2, 24 2 2 2 2,02 xxx x fxxx x xxx x 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可求出 2 2 2yxx x 2,4 2 2 2yxx x 0, 2 min 22 2fxf 2 2a 答案：2 2a 例 6：設(shè)正數(shù)，對任意，不等式 222 1, x e xe x f xg x xe 12 ,0,x x 恒成立，則正數(shù)的取值范圍是（ ） 12 1 g xf x kk k 思路：先將放置不等號一側(cè)，可得

12、，所以，先求出k 2 1 1 kf x g x k 2 1 max 1 kf x g x k 的最大值，可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞 g x 2 1 x gxex e g x0,11, 減。故，所以若原不等式恒成立，只需，不等式中只含， max 1g xge 2 1 kf x e k 1 , k x 可以考慮再進(jìn)行一次參變分離，則只需 2 2 1 1 kf xk eef x kk ， 2 min 1k ef x k 22 22 111 22 e x f xe xe xe xxx 2 min 2f xe 所以解得： 1 2 k ee k 1k 答案： 1k 例 7：已知函數(shù)，若對于任意的 2 21l

13、n ,1 x f xaxaxx aR g xex ，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 12 0,xxR 12 f xg xa 思路：含有參數(shù)，而為常系數(shù)函數(shù)，且能求出最值，所以以為入手點(diǎn)： f xa g x g x 若恒成立，則只需?？汕蟪?，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化 12 f xg x 1 min f xg x min0g x 為，恒成立，此不等式不便于利用參變分離求解， 1 0,x 2 111 21ln0axaxx 考慮利用最值法分類討論解決 解：恒成立 只需 12 f xg x 1 min f xg x 由得：，令解得： 1 x g xex 1 x gxe 0gx 0 x 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 g x

14、,00, min 00g xg ，恒成立 1 0,x 2 111 21ln0axaxx 即只需 max0f x 2 22112111 221 axaxaxx fxaxa xxx 當(dāng)時(shí)，令0a 21a x a 則，與矛盾 21211 lnln 20 aa f aaa 0f x 當(dāng)時(shí)， 解得 0a 210ax 0fx1x 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 f x0,11, max 1211f xfaaa 101aa 綜上所述： 1,0a 小煉有話說：（1）在例 6，例 7 中對于多變量恒成立不等式，都是以其中一個(gè)函數(shù)作為突破 口求得最值，進(jìn)而消元變成而二元不等式，再用處理恒成立的解決方法解決。 （2）在本題

15、處理恒成立的過程中，對令這個(gè)反例，是通過以下兩點(diǎn)確 0f x 21a x a 定的： 時(shí)估計(jì)函數(shù)值的變化，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，0a f xx （平方比一次函數(shù)增長的快） 在選取特殊值時(shí)，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)時(shí)， 2 210axax1x 已然為正數(shù)，所以只需前面兩項(xiàng)相消即可，所以解方程lnx ，剛好符合反例的要求。 2 211 21020 a axaxx aa 例 8：若不等式對任意正數(shù)恒成立，則正數(shù)的最小值是（ 2 2xxya xy, x ya ） A. B. C. D. 12 1 2 2 2 21 思路：本題無論分離還是分離都相對困難，所以考慮將歸至不等號的一側(cè)，致力于xy, x y 去求表達(dá)式的最值：，從入手

16、, x y max 2 2 2 2 xxy xxya xya xy 2 2xy 考慮使用均值不等式：，所2 2222xyxyxy 22 2 2 xxyxxy xyxy 以 2a 答案：B 小煉有話說：（1）在多變量不等式恒成立問題上處理方式要根據(jù)不等式特點(diǎn)靈活選擇合適 的方法，本題分離與很方便，只是在求二元表達(dá)式最值上需要一定的技巧。a, x y （2）本題在求的最大值時(shí)，還可以從表達(dá)式分子分母齊次的特點(diǎn)入手，同時(shí)除 2 2xxy xy 以（或）：，在通過換元轉(zhuǎn)化為一元表達(dá)式，再求最xy 2 12 2 2 1 y xxy x y xy x y t x 值即可。 例 9：已知函數(shù) ，如果當(dāng)時(shí)，不

17、等式恒成立，求實(shí)數(shù) 1ln x fx x 1x 1 k f x x 的取值范圍.k 思路：恒成立不等式為,只需不等號兩側(cè)同時(shí)乘以即可進(jìn)行參變分離， 1ln 1 xk xx 1x 且由于,，也不存在不等號變號問題。則可得：,只需1x 10 x 1 1lnxx k x 即可，設(shè)，嘗試?yán)脤?dǎo)數(shù)求得最小值， min 1 1lnxx k x 1 1lnxx g x x 解： 1x 1 1ln1ln 1 xxxk k xxx 即只需要 min 1 1lnxx k x 設(shè) 1 1lnxx g x x 22 1 1ln1 1ln ln xxxxx xx gx xx 令 (分子的符號無法直接判斷，所以考慮再構(gòu)造

18、函數(shù)進(jìn)行分析） lnh xxx 11 1 x hx xx 1x 0hx 在單調(diào)遞增 h x1,+ 110h xh 在單調(diào)遞增 0gx g x1,+ min 12g xg 2k 答案：2k 例 10：已知函數(shù),若,且 對任意恒成立,則的最大 lnfxxxxkZ 1 fx k x 1x k 值為_. 思路：恒成立不等式，令， ln 11 fxxxx k xx min ln 1 xxx k x ln 1 xxx g x x 則，考慮分子， 2 ln2 1 xx gx x ln2h xxx 在單調(diào)遞增。盡管不能夠確定零點(diǎn)，但可以通過零 11 10 x hx xx h x1, 點(diǎn)存在性定理大致的確定零點(diǎn)所在的位置。 31ln30,42ln20hh ，使得。，同理，時(shí)，3,4b 0h b 1,00 xbh xgx ,xb ，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。 0gx g x1,b, b ，因?yàn)榧矗?min ln 1 bbb g xg b b 0h b ln20ln2bbbb 2 3,4 1 bb b g bb b kb max 3k 答案：3 小煉有話說： （1）本題的一個(gè)重要技巧在于對零點(diǎn)的“設(shè)而不求” ，在求得單調(diào)增的前