消元一元二次方程的解法教學(xué)設(shè)計(jì)

1、“消元二元一次方程組的解法”教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)主要內(nèi)容為二元一次方程組的解法，“消元”是解二元一次方程組的基本思路，代入消元和加減消元是 “消元”的最基本的方法探究解二元一次方程組的通解通法，即把解法程序化也是本節(jié)應(yīng)滲透的內(nèi)容。（ 1）初中代數(shù)研究的中心問題是各類方程，初中代數(shù)中的函數(shù)是初步的，它只起到一個(gè)啟蒙的作用對(duì)函數(shù)較全面、深入的研究還有待于在高中進(jìn)行?？梢哉f，中學(xué)代數(shù)中，初中以方程為主， 高中以函數(shù)為主， 但初中的教學(xué)必須為高中進(jìn)一步研究函數(shù)打好基礎(chǔ) 而二元一次方程組恰恰是聯(lián)系方程和函數(shù)的一個(gè)很好的紐帶， 二元方程就刻畫了兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系， 而待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、

2、 函數(shù)的交點(diǎn)問題等， 又需要利用解方程組來進(jìn)行計(jì)算在近代數(shù)學(xué)數(shù)值計(jì)算和工程應(yīng)用中， 求解線性方程組是重要的課題， 以 Gauss 消元法為首的各種消元法的程序化仍然是大家不斷研究的重點(diǎn)內(nèi)容因此，學(xué)好二元一次方程組的解法， 體會(huì)消元、 轉(zhuǎn)化思想， 是學(xué)生完善認(rèn)知的必要支柱，也是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)（ 2）解方程組過程中蘊(yùn)含的化歸思想，不僅在解方程組過程中具有指導(dǎo)作用，更貫穿了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究的始終；不僅應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題，而且是一種最基本的思維策略在研究和解決有關(guān)問題時(shí)，如何將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題；將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題；將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，正是數(shù)學(xué)課所要教給學(xué)生的基本思考方法在

3、本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中， 不能僅著眼于具體題目的具體解題過程，而應(yīng)不斷加深對(duì)以上思想方法的領(lǐng)會(huì)，從整體上認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)數(shù)學(xué)思想方法是通過數(shù)學(xué)知識(shí)的載體來體現(xiàn)的，對(duì)于它們的認(rèn)識(shí)需要一個(gè)較長的過程，既需要教材的滲透，也需要教師的點(diǎn)撥，還需要學(xué)生自身的感受和理解 如果認(rèn)識(shí)了消元思想，那么學(xué)生對(duì)于代入法、加減法的具體步驟就不會(huì)僅是死記硬背，而能夠順勢自然地理解，并能夠靈活運(yùn)用從而確立方程、不等式、函數(shù)這一結(jié)構(gòu)體系中重要的一環(huán)這種思想的逐步形成也恰恰體現(xiàn)了“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)使人聰明”因此，化歸思想是本節(jié)課教學(xué)中所要重點(diǎn)突出的數(shù)學(xué)思想（ 3）算法是一個(gè)全新的課題，已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心，它在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)發(fā)展中起著

4、越來越重要的作用學(xué)習(xí)算法的基本思想和初步知識(shí)，也成為高中必修課程中的內(nèi)容算法一方面具有具體化、程序化、機(jī)械化的特點(diǎn)，同時(shí)又具有高度的抽象性、概括性和精確性算法學(xué)習(xí)使我們更加全面地理解運(yùn)算能力，還能夠發(fā)展邏輯思維能力本節(jié)課在對(duì)二元一次方程組解法的探究過程中，可以很好地體現(xiàn)上述內(nèi)容一方面引導(dǎo)學(xué)生探究解二元一次方程的步驟，進(jìn)而體會(huì)解二元一次方程組的通解通法，并通過框圖初步感受程序化的思想；同時(shí)又在各個(gè)具體步驟中，關(guān)注某些細(xì)節(jié)，如“變形后的方程應(yīng)代入哪一個(gè)方程才能繼續(xù)求解” 、“對(duì)比先消哪一個(gè)未知數(shù)使運(yùn)算更加簡潔” 等培養(yǎng)學(xué)生的思維能力學(xué)生的認(rèn)知水平有限，還不能完全理解程序化的思想，對(duì)二元一次方程組解

5、法的探究，也還只能停留在解給定具體系數(shù)的方程組，還不能探究公式化的解法，對(duì)同解方程的理解也只能停留在滿足等式性質(zhì)， 不能全面地思考方程組有唯一確定解所滿足的條件， 因此只能定位在滲透程序化思想上，而不應(yīng)把算法的學(xué)習(xí)作為本節(jié)課的重點(diǎn)二、目標(biāo)和目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)（ 1）理解解二元一次方程組的基本思路“消元”，經(jīng)歷從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，培養(yǎng)觀察分析能力，體會(huì)化歸思想；初步體會(huì)解方程組過程中體現(xiàn)的程序化思想；（ 2）能用代入消元法、加減消元法解簡單的二元一次方程組，會(huì)根據(jù)方程組特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎw會(huì)簡化思想，培養(yǎng)運(yùn)算能力；（ 3）在探究過程中，培養(yǎng)合作交流意識(shí)與探究精神，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)美教學(xué)

6、重點(diǎn)理解解二元一次方程組的基本思路“消元”，會(huì)用代入、加減消元法解簡單的二元一次方程組教學(xué)難點(diǎn)學(xué)生探究并理解為什么能通過代入、加減消元把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程首先，這是二元一次方程組解法的第一節(jié)課，學(xué)生初次接觸方程組的解法，同時(shí)思維的重點(diǎn)也集中在如何把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，把二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題。因此，教學(xué)的重點(diǎn)是對(duì)轉(zhuǎn)化思想、 消元方法的理解，而不是對(duì)解法的熟練運(yùn)用， 故在目標(biāo)中設(shè)定為“能用代入、加減消元法解簡單的二元一次方程組”其次，程序化思想雖然重要，但學(xué)生在本節(jié)課接觸的例題還比較少，缺少大量積累后的感悟，同時(shí)又沒有探討二元一次方程組的標(biāo)準(zhǔn)方程的解法 （即二元一次方程組的求解

7、公式） ，所以只能在幾個(gè)主要步驟環(huán)節(jié)讓學(xué)生“初步體會(huì)解方程組過程中體現(xiàn)的程序化思想”最后，化歸思想是化難為易、化繁為簡、化未知為已知代入、加減是方法，消元是目的，轉(zhuǎn)化是本質(zhì)所以本節(jié)課探究利用代入、 加減消元法解二元一次方程組的基本步驟，立足于化歸思想的逐步形成三、教學(xué)問題診斷分析（ 1）學(xué)生對(duì)代數(shù)思想的認(rèn)識(shí)不夠，缺乏用字母表示數(shù)的意識(shí)，發(fā)現(xiàn)式的變形和依據(jù)的能力不強(qiáng) 如用代入法解二元一次方程組時(shí)， 需要先把其中一個(gè)方程變形成用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的形式， 再利用整體代換的方式替換出一元 這其中所蘊(yùn)含的式的變形及整體代入思想，都是需要學(xué)生理解的（ 2）學(xué)生對(duì)解法的關(guān)注點(diǎn)往往集中在不

8、同的方法上，而忽視相同的思想；集中在不同的變形技巧上， 而忽視相同的程序化過程； 集中在答案的對(duì)與錯(cuò)， 而忽視解題過程的簡與繁因此，在本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計(jì)中， 時(shí)刻注意引導(dǎo)學(xué)生思維聚焦的方向， 通過合理設(shè)置有梯度的承接性問題，激發(fā)學(xué)生的思維， 深化學(xué)生的思考并且及時(shí)進(jìn)行階段性小結(jié)， 不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，力爭做到使學(xué)生的思維“發(fā)而不散”四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)先行組織者： 在上一節(jié)課， 我們通過對(duì)一道與籃球比賽得分有關(guān)的實(shí)際問題的研究， 學(xué)習(xí)了二元一次方程組， 以及二元一次方程組的解 當(dāng)我們列出二元一次方程組后， 所關(guān)心的就是如何求出這個(gè)方程組的解在此之前 , 我們學(xué)習(xí)了如何解一元一次方程，解一元一

9、次方程的主要依據(jù)是等式性質(zhì) 今天我們就來共同探究， 能否利用等式性質(zhì)和一元一次方程的相關(guān)知識(shí)，解二元一次方程組（一）探究新知例題在上一節(jié)課，通過對(duì)實(shí)際問題的分析，我們列出了二元一次方程組你會(huì)解這個(gè)方程組嗎？（教師不加任何解釋和引導(dǎo)，讓學(xué)生自主探究方程組的解法）預(yù)案 1解： 由得把代入，得解這個(gè)方程，得（這時(shí)教師可以提出問題：為什么可以代入？代入可不可以？得到的方程是什么方程？）把代入，得（這時(shí)教師可以提出問題：代入或行不行？好不好？）所以原方程組的解為（ 1）提出問題：在這種解法中，哪一步是最關(guān)鍵的？為什么？【設(shè)計(jì)意圖】 引導(dǎo)學(xué)生理解等量代換在代入消元法解方程組過程中的應(yīng)用一次方程組的關(guān)鍵是把

10、二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程體會(huì)解二元（在“為什么可以代入” 這一問題的解決過程中，引導(dǎo)學(xué)生回顧二元一次方程組的定義，和二元一次方程組的解的定義，再一次理解定義中的“相同未知數(shù)”、“公共解”）（ 2）引申問題：有沒有辦法得到關(guān)于的一元一次方程？解：由得把代入，得解這個(gè)方程，得（這時(shí)教師可以提出問題：代入可不可以？）把代入，得（這時(shí)教師可以提出問題：代入或可不可以？）所以原方程組的解是（ 3）小結(jié)：這種解二元一次方程組的方法，我們稱之為代入消元法問題 1：你認(rèn)為哪一步是最重要的？為什么?（“代入”，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程）問題 2：應(yīng)用代入消元法前，需要先做的準(zhǔn)備工作是什么？（用

11、含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)）問題 3：除了代入法，還有沒有其他方法來實(shí)現(xiàn)消元這一目的呢（引入預(yù)案 2 ）？預(yù)案 2解： 由 - ，得（這時(shí)教師可以提出問題：這一步的依據(jù)是什么？）把代入，得（這時(shí)教師可以提出問題：代入可以嗎？）所以原方程組的解是（ 1）提出問題：在這種解法中，哪一步是最關(guān)鍵的？為什么？【設(shè)計(jì)意圖】 引導(dǎo)學(xué)生理解等式性質(zhì)在加減消元法解方程組過程中的應(yīng)用，體會(huì)解二元一次方程組的關(guān)鍵是把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程（ 2）引申問題：能不能先消？解： 2，得 - ，得（這時(shí)教師可以提出問題： - 可以嗎？好嗎？）把代入，得所以原方程組的解是（ 3）小結(jié)：這種解二元一次方程組

12、的方法我們稱之為加減消元法問題 1：你認(rèn)為哪一步是最重要的？為什么?（“加減”，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程）問題 2：應(yīng)用加減消元法前，方程組中的兩個(gè)方程要先具備什么特征？（兩方程中某個(gè)相同未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)）問題 3：除了加減法，還有沒有其他方法來實(shí)現(xiàn)消元這一目的呢（引入預(yù)案 1 ）？對(duì)比預(yù)案 1、預(yù)案 2，進(jìn)行總結(jié)問題 1：兩種方法的共同點(diǎn)（共同目的）是什么？（通過消元，使二元問題先轉(zhuǎn)化為一元問題，求出一個(gè)未知數(shù)后再求另一個(gè)）問題 2：兩種方法的不同點(diǎn)是什么？（消元的方法不同，一個(gè)是“代入”，一個(gè)是“加減”）問題 3：哪一種方法更簡單？（根據(jù)方程組特征，具體問題具體分析）

13、預(yù)案 3解： 把方程變形成把代入，得（后續(xù)步驟略）【說明】整體代入也實(shí)現(xiàn)了“消元”這一目的。（二）運(yùn)用新知練習(xí)：答案： （學(xué)生分組解答， 然后匯報(bào)、 交流不同的解法 注意糾正學(xué)生解題步驟中的細(xì)節(jié)問題）（三）歸納總結(jié)思考：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么？問題 1：這節(jié)課我們研究的主要內(nèi)容是什么？（代入、加減消元法解二元一次方程組。）問題 2：解法的主要步驟是什么？（變形、代入（加減）、求解、回代、結(jié)論。）我們以練習(xí)、練習(xí)為例，通過框圖（如圖1 、圖2 ），再次回顧解二元一次方程組的基本步驟代入消元法解方程組的基本步驟圖 1代入消元法解二元一次方程組的幾個(gè)關(guān)鍵步驟是什么？變形：將其中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含

14、有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示代入： 將變形后的方程代入另一個(gè)方程中， 消去一個(gè)未知數(shù)， 化二元一次方程組為一元一次方程求解：求出一元一次方程的解回代：將其代入到變形后的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的解結(jié)論：寫出方程組的解加減消元法解方程組的基本步驟圖 2加減消元法解二元一次方程組的幾個(gè)關(guān)鍵步驟是什么？變形：使兩個(gè)方程中某個(gè)相同未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)加減：將兩個(gè)方程相加減，消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程求解：求出一元一次方程的解回代：將其代入到變形后的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的解結(jié)論：寫出方程組的解問題 3：你覺得其中最關(guān)鍵的一步是什么？為什么？體現(xiàn)了什么思想？（代入消元，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，轉(zhuǎn)化思想。）問題 4：在解題過程中我們還應(yīng)注意哪些問題？（分析如何消元能簡化運(yùn)算等。）（四）布置作業(yè)教材 P107 頁練習(xí) 2、 32用代入法解下列方程組：(1)(2)3張翔從學(xué)校出發(fā)騎自行車去縣城，中途因道路施工步行一段路，1 5 小時(shí)后到達(dá)縣城他騎車的平均速度是15 千米 / 時(shí)，步行的平均速度是5 千米 / 時(shí)，路程全長20 千米他騎車與步行各用多少