極坐標與極坐標方程

1、極坐標及極坐標方程得應用1、極坐標概述第一個用極坐標來確定平面上點得位置得就是牛頓. 她得流數(shù)法與無窮級數(shù)，大約于 1671 年寫成 , 出版于 17 6 年。此書包括解析幾何得許多應用，例如按方程描出曲線，書中創(chuàng)見之一，就是引進新得坐標系。瑞士數(shù)學家J、貝努力利于1691 年在教師學報上發(fā)表了一篇基本上就是關于極坐標得文章，所以通常認為J、貝努利就是極坐標得發(fā)現(xiàn)者。 J、貝努利得學生、赫爾曼在 1729 年不僅正式宣布了極坐標得普遍可用，而且自由地應用極坐標去研究曲線。在平面內(nèi)建立直角坐標系 , 就是人們公認得最容易接受并且被經(jīng)常采用得方法, 但它并不就是確定點得位置得唯一方法。有些復雜得曲

2、線用直角坐標表示，形式極其復雜，但用極坐標表示，就變得十分簡單且便于處理，在此基礎上解決平面解析幾何問題也變得極其簡單。通過探究極坐標在平面解析幾何中得廣泛應用, 使我們能夠清楚得認識到，用極坐標來解決某些平面解析幾何問題與某些高等數(shù)學問題比用直角坐標具有很大得優(yōu)越性,故本文對其進行了初步探討。國內(nèi)外研究動態(tài)，不僅在數(shù)學理論方面 , 很多學者對極坐標以及極坐標方程做了深入探究，而且在如物理、電子、軍事等領域，很多學者對極坐標也有較深得研究. 由此瞧來 ,極坐標已應用到各個領域。1、 極坐標系得建立在平面內(nèi)取一個定點，叫作極點, 引一條射線 , 叫做極軸，再選定一個長度單位與角度得正方向 ( 通

3、常取逆時針方向）。對于平面內(nèi)任意一點 , 用表示線段得長度， 表示從到得角度 , 叫點得極徑，叫點得極角 , 有序數(shù)對就叫點得極坐標。這樣建立得坐標系叫極坐標系 , 記作。若點在極點，則其極坐標為 0，可以取任意值。MPOOPxxM圖 -1圖 1 2如圖 2, 此時點得極坐標可以有兩種表示方法：（1)0 ，（2） 0，同理，也就是同一個點得坐標。又由于一個角加后都就是與原角終邊相同得角，所以一個點得極坐標不唯一. 但若限定 ,，那么除極點外 , 平面內(nèi)得點與極坐標就可以一一對應了.1、 2 曲線得極坐標方程在極坐標系中 , 曲線可以用含有這兩個變數(shù)得方程來表示, 這種方程叫曲線得極坐標方程 .

4、求曲線得極坐標方程得方法與步驟：1建立適當?shù)脴O坐標系，并設動點得坐標為；2寫出適合條件得點得集合;3；4化簡所得方程；5證明得到得方程就就是所求曲線得方程。三種圓錐曲線統(tǒng)一得極坐標方程:yMAPKOFBx圖 3過點作準線得垂線 , 垂足為，以焦點為極點，得反向延長線為極軸，建立極坐標系。設就是曲線上任意一點，連結 , 作，垂足分別為那么曲線就就是集合、設焦點到準線得距離 ,得即這就就是橢圓、雙曲線、拋物線得統(tǒng)一得極坐標方程 . 其中當時 , 方程表示橢圓 , 定點就是它得左焦點，定直線就是它得左準線。時，方程表示開口向右得拋物線。時，方程只表示雙曲線右支 , 定點就是它得右焦點，定直線就是它得

5、右準線。若允許, 方程就表示整個雙曲線。1、 3 極坐標與直角坐標得互化把直角坐標系得原點作為極點 , 軸得正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同得長度單位，設就是平面內(nèi)任意一點，其直角坐標 , 極坐標就是，從點作，由三角函數(shù)定義，得、yMyOxNx圖 1- 進一步有注：在一般情況下 , 由確定角時 , 可根據(jù)點所在得象限取最小角。 極坐標在平面解析幾何中得應用、 1 極坐標法求到定點得線段長度解析幾何中涉及到某定點得線段長度時，可以考慮利用極坐標法求解。但就是絕大多數(shù)解析幾何問題中題設條件就是以直角坐標方程形式給出得, 在求解過程中運算繁瑣復雜，將此類問題轉化為用極坐標方程求解，十分簡潔，收

6、到良好得效果。巧設極點, 建立極坐標系就是解決問題得關鍵.21以定點為極點如果題設條件與結論中，涉及到過某定點得線段長度問題，應該取該點為極點，先將直角坐標原點移動到點，施行平移公式、直角坐標與極坐標互化公式，化普通方程為極坐標方程求解。例 1 設等腰得頂角為，高為 , 在 內(nèi)有一動點，到三邊 得距離分別為，并且滿足關系，求點得軌跡。ADPEOxFB圖 21解： 如圖 2所示，以為極點 , 得平分線為極軸 , 建立極坐標系，設點極坐標為，則由得化簡得化成直角坐標方程為這就是以為圓心，以為半徑得圓, 所求得軌跡就是該圓在等腰內(nèi)部得部分.1.2 以原點為極點如果題設條件或結論中涉及到直角坐標系原點

7、得線段長度時 , 應選取原點為極點 , 應用互化公式，將直角坐標方程轉化極坐標方程求解。例 2 已知橢圓，直線 : ，就是上一點 , 射線交橢圓于 , 又點在上，且滿足，當點在上移動時 , 求點得軌跡方程，并說明軌跡就是什么曲線。解： 如圖 22 所示，以為極點 , 為極軸，建立極坐標系。則由互化公式知橢圓得極坐標方程為（ 1)直線得極坐標方程為(2)，則由（ 1）式知由 (2 ）式知又，有所以即點得軌跡就是以為中心 , 長軸、短軸分別為且長軸平行與軸得橢圓, 去掉坐標原點。yLPRQOx圖 2.1 以焦點為極點凡涉及圓錐曲線得焦半徑或焦點弦長度得問題，應選取焦點為極點（橢圓左焦點 , 雙曲線

8、右焦點 ), 應用圓錐曲線統(tǒng)一得極坐標方程求解。例 3 設為拋物線得頂點 , 為焦點，且為過得弦。已知。圖 2解 : 如圖 3 所示 , 以為極點，得反向延長線為極軸，建立極坐標系。則拋物線得極坐標方程為于就是2、 2極坐標簡解與角有關得解析幾何題含有已知角或公共頂點得一類解析幾何題, 運用極坐標系 ( 或化直角坐標系為極坐標系 ) 進行解題，?？杀芊本秃? 化難為易 , 達到事半功倍得效果。下面分類舉例說明。2. 。含有已知角，角頂點為極點例已知在得兩邊上， =，得面積為，求得中點得軌跡方程.AQMoPBx圖 2解：以為極點，為極軸，建立極坐標系, 如圖 4 所示，設，則即（ 1)因為所以(

9、2 ）（ )得（4）（）代入（ 4) 并化簡 , 得即為所求。 2。2 含有已知角 , 坐標軸平移，化角頂點為極點例 已知曲線 : ，頂點（ 2,0 ），點就是上得動點, 就是以為斜邊得等腰直角三角形,頂點按順時針排列 , 為坐標原點，求得最大值及點得坐標。yyCBOAx (x)圖 2- 解： 曲線化為： , 以點為新坐標系原點，則曲線為以 點為 極點 ，軸 得 正方 向為 極軸 , 建立 極坐 標系 。 如 圖 2 所示 ，則 曲線 為 ( ）設，則（ )(2 ）代入（ 1）得即所以點得軌跡方程為即（ )故當過（ 3) 得圓心時 , 得最大值為 , 此時點得坐標為、2、 極坐標法證明幾何定理

10、在平面幾何證明中 , 極坐標法就是一種重要得方法, 應用十分廣泛，下面以部分平面幾何中著名定理為例，談談極坐標法在證明中得應用.2.3. 應用圓心就是 , 半徑就是得圓得方程來證明例 6求證：圓內(nèi)接四邊形兩組對邊乘積得與等于兩條對角線得乘積( 托列迷定理）。證明 : 如圖2-6 ，以為極點，得延長線為極軸建立極坐標系。設圓得半徑為,則：、三點都在上,AD12a cos 1, BD22a cos 2 ,CD32a cos 3另由正弦定理得AB2a sin12 ，BC2a sin 23，AC2a sin13AB CDBC DA4a2sin 12cos 3 sin23 cos 12a2 sin 12

11、3sin123sin231 sin231 AB13D2OxC圖 26。應用極點在圓上，圓心為得方程證明例 7 自圓上一點引三弦，并以它們各自為直徑畫圓。求證：所畫三圓得其它三交點共線 ( 沙爾孟定理 ) 。P 2A3P3A2C 3 C2OCP1xC 1A1圖 2-7證明：如圖 2-7 ，分別就是得直徑，分別就是得交點，以為極點，得延長線為極軸建立極坐標系 , 為簡便計，設 , 極軸與得交角分別為，則所以()(2 ）( )設，則由（ 1) 、( ）得11 cos 112 cos 22積化和cos11cos222取，得，代入 (1 ）中，得、點坐標為、同理應用輪換得點坐標為 , 點坐標為、顯然三點坐標滿足法線式方程故三點共線 , 命題獲證。2.3 。3 應用圓得極坐標方程、兩點或直線方程與法線式方程證明例 8求證 : 三角形外接圓上任一點在三邊上得射影共線（西摩松定理）。A1B3POxB 2B 1A3A 2圖 8證明 : 如圖