2013-2018年上海高考試題匯編-數(shù)列

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)1、等差數(shù)列的性質(zhì) （2018秋6）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 答案：14（2018春5）已知是等差數(shù)列，若，則_答案：1知識(shí)點(diǎn)2：等差數(shù)列的判定（2017秋15）已知數(shù)列，使得成等差數(shù)列的必要條件是 （ ）A. B. C. D. 答案：A知識(shí)點(diǎn)3：等差數(shù)列的遞推關(guān)系式 （2013年文22）已知函數(shù)，無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足，（1）若，求；（2）若，且成等比數(shù)列，求的值；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說(shuō)明理由解：（1），（2）， 當(dāng)時(shí)，所以，得 當(dāng)時(shí)，所以，得（舍去）或綜合得或（3）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，那么，由得（）以下分情況討論： 當(dāng)時(shí)，由（）得，與矛

2、盾； 當(dāng)時(shí)，由（）得，從而 ，所以是一個(gè)等差數(shù)列； 當(dāng)時(shí)，則公差，因此存在使得此時(shí)，矛盾綜合可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等差數(shù)列（2013理23）給定常數(shù)，定義函數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足，（1）若，求及；（2）求證：對(duì)任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說(shuō)明理由解：（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，對(duì)任意，方法二： 要證： 當(dāng)時(shí)，等式右邊為0，不等式顯然成立當(dāng)時(shí)，等式化為顯然 （3）由（2），結(jié)合得，即為無(wú)窮遞增數(shù)列又為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，從而，由于為等差數(shù)列，因此其公差 若，則，又，故，即，從而當(dāng)時(shí)，由于為遞增數(shù)列，故，所以，而，故當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮等差數(shù)列，符合

3、要求； 若，則，又，所以，得，舍去； 若，則由得到，從而為無(wú)窮等差數(shù)列，符合要求綜上，的取值集合為知識(shí)點(diǎn)4：等比數(shù)列的性質(zhì)（2015理17）記方程：，方程：，方程：，其中是正實(shí)數(shù)當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，下列選項(xiàng)中，能推出方程無(wú)實(shí)根的是（）A方程有實(shí)根，且有實(shí)根 B方程有實(shí)根，且無(wú)實(shí)根C方程無(wú)實(shí)根，且有實(shí)根 D方程無(wú)實(shí)根，且無(wú)實(shí)根答案：B知識(shí)點(diǎn)5：等比數(shù)列的判定 （2011理18）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，是邊長(zhǎng)為的矩形面積（），則為等比數(shù)列的充要條件為 （ ）A 是等比數(shù)列 B 或是等比數(shù)列C 和均是等比數(shù)列D 和均是等比數(shù)列，且公比相同答案：D 知識(shí)點(diǎn)6：等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合（2016文22）對(duì)于

4、無(wú)窮數(shù)列與，記，若同時(shí)滿(mǎn)足條件： ，均單調(diào)遞增； 且，則稱(chēng)與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列（1）若，判斷與是否為無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若且與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列的前16項(xiàng)的和；（3）若與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，為等差數(shù)列，且，求與的通項(xiàng)公式【解】（1）因?yàn)?，所以，從而與不是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列（2）因?yàn)?，所以?shù)列的前16項(xiàng)的和為：（3）設(shè)的公差為，則由，得或若，則，與“與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列”矛盾；若，則，綜上，（2014年理23）已知數(shù)列滿(mǎn)足，（1）若，求的取值范圍；（2）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，若， 求的取值范圍；（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值， 以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差解：（1）由條件得且，解得所以的

5、取值范圍是（2）由，且，得，所以又，所以當(dāng)時(shí)，由得成立當(dāng)時(shí)，即 若，則由，得，所以 若，則由，得，所以綜上，的取值范圍為 （3）設(shè)的公差為由，且，得，即 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，由，得，所以所以，即，得所以的最大值為1999，時(shí)，的公差為（2014文23）已知數(shù)列滿(mǎn)足（1）若，求的取值范圍；（2）設(shè)是等比數(shù)列，且，求正整數(shù)的最小值，以及取最小值時(shí)相應(yīng)的公比；（3）若成等差數(shù)列，求數(shù)列的公差的取值范圍解：（1）由條件得且，解得所以的取值范圍是（2）設(shè)的公比為由，且，得因?yàn)?，所以從而，解得時(shí)，所以，的最小值為，時(shí)，的公比為（3）設(shè)數(shù)列的公差為由， 當(dāng)時(shí)，所以，即 當(dāng)時(shí)，符合條件 當(dāng)時(shí)，所以，又，所以綜上，

6、的公差的取值范圍為知識(shí)點(diǎn)7：數(shù)列的遞推關(guān)系式與函數(shù)（2012文14）已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足，若，則的值是 答案：解：由，得，由，得，依次類(lèi)推，得全體偶數(shù)項(xiàng)相等，所以（2017春21）已知函數(shù) （1）解方程；（2）設(shè) 證明：，且；（3）在數(shù)列中，求 的取值范圍，使得對(duì)任意成立 答案：（1）； （3）； 知識(shí)點(diǎn)8：數(shù)列的前項(xiàng)和 （2016理11）無(wú)窮數(shù)列由k個(gè)不同的數(shù)組成，為的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意，則k的最大值為_(kāi).答案：4知識(shí)點(diǎn)9：數(shù)列的單調(diào)性和最值（2018春15）記為數(shù)列的前項(xiàng)和“是遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（ ）（A）充分非必要條件（B）必要非充分條件（C）充要條件（D）既非充分也非

7、必要條件答案：D（2015理22文23）已知數(shù)列an與bn滿(mǎn)足an+1an=2（bn+1bn），nN*（1）若bn=3n+5，且a1=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)an的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即（nN*），求證：數(shù)列bn的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；（3）設(shè)a1=0，bn=n（nN*），求的取值范圍，使得an有最大值M與最小值m，且答案：（1） ；（3） 知識(shí)點(diǎn)10：數(shù)列的周期性 （2016年理23）若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足：只要，必有，則稱(chēng)具有性質(zhì).（1）若具有性質(zhì)，且，求；（2）若無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，判斷是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，已知.求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)”的充

8、要條件為“是常數(shù)列”.答案：（1）；（2）由于，但，故不具有性質(zhì)；（3）證明：必要性：若對(duì)于任意 ，都具有性質(zhì)，則，設(shè)函數(shù) 由 圖像可得，對(duì)于任意的，二者圖像必有一個(gè)交點(diǎn)，所以一定能找到 ，使得，所以，所以，故，故是常數(shù)列 知識(shí)點(diǎn)11：數(shù)列的極限（2013理1）計(jì)算： 答案：（2018秋10）設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），前項(xiàng)和為，若，則 答案：3（2017年春 8）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則_答案：（2015理18文18）設(shè)是直線(xiàn)與圓在第一象限的交點(diǎn)，則極限（ ）A、 B、 C、 D、解：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)趨近于，與圓在第一象限的交點(diǎn)無(wú)限靠近，而可看成點(diǎn)與連線(xiàn)的斜率，其值會(huì)無(wú)限接近圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，

9、其斜率為， （2013文18）記橢圓圍成的區(qū)域（含邊界）為，當(dāng)點(diǎn)分別在上時(shí)，的最大值分別是，則（ ）A 0 B C 2 D 答案：D知識(shí)點(diǎn)12：無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和（2016理17）已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，且.下列條件中，使得恒成立的是（ ）（A） （B）（C） （D）答案：B思考：需要滿(mǎn)足_ 答案：（2014理8文10）設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，若，則_ 答案：知識(shí)點(diǎn)13：數(shù)列與函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合（2009文13）已知函數(shù)項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列滿(mǎn)足,且公差 若，則當(dāng)= 時(shí),答案：14知識(shí)點(diǎn)14：數(shù)列與三角函數(shù)結(jié)合 （2015理13）已知函數(shù)若存在滿(mǎn)足，且，則的最小值為答案：8（2012

10、文18）若（），則在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A16 B72 C86 D100答案；C（2012理18）設(shè)，在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A25 B50 C75 D100答案：D知識(shí)點(diǎn)15：數(shù)列與矩陣結(jié)合（2013理17）在數(shù)列中，若一個(gè)7行12列的矩陣的第行第列的元素（；），則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為（ ）A18 B 28 C 48 D 63答案：A知識(shí)點(diǎn)16：數(shù)列與不等式結(jié)合（2018秋21）給定無(wú)窮數(shù)列，若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意，都有，則稱(chēng)與 “接近”.（1）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，判斷數(shù)列是否與接近，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)數(shù)列的前四項(xiàng)為：，是一個(gè)與接近的數(shù)列，記集合，求中元素的個(gè)數(shù)；（3）已知是公差為的等差數(shù)列，若存在數(shù)列滿(mǎn)足：與接近，且在，中至少有100個(gè)為正數(shù)，求的取值范圍.解析：（1），所以與“接近”；（2），元素個(gè)數(shù)；（3）時(shí)，即，中沒(méi)有正數(shù)；當(dāng)時(shí)，存在使得，即有100個(gè)正數(shù)，故（2018春21）若是遞增數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意，存在，使得，則稱(chēng)是的“分隔數(shù)列”（1）設(shè)，證明：數(shù)列是的“分隔數(shù)列”；（2）設(shè)，是的前項(xiàng)和，判斷數(shù)