2014年高考全國2卷理科數(shù)學(xué)試題(含解析)

1、絕密啟用前2014年高考全國2卷理科數(shù)學(xué)試題（含解析）注意事項(xiàng)：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、選擇題（題型注釋）1設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，則（ ）A.- 5 B.5 C.- 4+ i D.- 4 - i2設(shè)向量a,b滿足|a+b|=，|a-b|=，則ab = ( )A.1 B.2 C.3 D.53鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC= ，則AC=( )A.5 B. C.2 D.14某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知

2、某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（ ）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.455如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（ ）A. B. C. D.6執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的x,t均為2，則輸出的S= （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 7設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，則a= （ ）A.0 B.1 C.2 D.3 8設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A,

3、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為（ ）A. B. C. D.9直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為（ ）A. B. C. D.10設(shè)函數(shù).若存在的極值點(diǎn)滿足，則m的取值范圍是（ ）A. B.C. D.第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題（題型注釋）11的展開式中，的系數(shù)為15，則a=_.(用數(shù)字填寫答案)12 函數(shù)的最大值為_.13已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是_.14設(shè)點(diǎn)M（,1），若在圓O:上存在點(diǎn)N，使得OMN=45，則的取值范圍是_.評卷人

4、得分三、解答題（題型注釋）15已知數(shù)列滿足=1，.（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）證明：.16如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（1）證明：PB平面AEC；（2）設(shè)二面角D-AE-C為60，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.17某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年

5、該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，18設(shè),分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.19已知函數(shù)=.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；（3）已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）20如圖，P是O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與O相交于點(diǎn)B，C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長線交O于點(diǎn)E。證明：（1）BE=EC；（2）ADDE=2

6、21在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為，.（1）求C的參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).22設(shè)函數(shù)=（1）證明：2；（2）若，求的取值范圍.參考答案1A【解析】由題意知：，所以-5，故選A?？键c(diǎn)：本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)是高考的重點(diǎn)，年年必考，常常以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大，熟練基礎(chǔ)知識是關(guān)鍵。2A【解析】因?yàn)?10，兩式相加得：，所以，故選A.考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積等平面向量知識，熟練基礎(chǔ)知識與基本題型是解答好本類題目的

7、關(guān)鍵。3B【解析】由面積公式得：，解得，所以或，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得：=1，所以，又因?yàn)锳B=1，BC=，所以此時(shí)為等腰直角三角形，不合題意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故選B.考點(diǎn)：本小題主要考查余弦定理及三角形的面積公式，考查解三角形的基礎(chǔ)知識.4A【解析】設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，故選A.考點(diǎn)：本小題主要考查條件概率的求法，熟練概率的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.5C【解析】因?yàn)榧庸で暗牧慵霃綖?，高為6，所以體積，又因?yàn)榧庸ず蟮牧慵蟀氩繛樾A柱，半徑為2，高4，右半部為大圓柱，半徑為3，高為2，所以體積，所以削掉部分的體積與

8、原體積之比為，故選C.考點(diǎn)：本小題主要考查立體幾何中的三視圖，考查同學(xué)們的空間想象能力.6D【解析】由題意知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，輸出S=7，故選D?？键c(diǎn)：本小題主要考查程序框圖的基礎(chǔ)知識，程序框圖是新課標(biāo)新增內(nèi)容，是高考的重點(diǎn)，年年必考，主要以客觀題的形式出現(xiàn)，經(jīng)常也數(shù)列、不等式、函數(shù)等知識相結(jié)合，在知識的交匯處出題，應(yīng)熟練這部分的基礎(chǔ)知識.7B【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域,可知區(qū)域?yàn)槿切?，平移直線，可知當(dāng)經(jīng)過兩條直線與的交點(diǎn)A（5，2）時(shí)，取得最大值8，故選B.考點(diǎn)：本小題主要考查在約束條件下的簡單的目標(biāo)函數(shù)的最值問題，正確畫圖與平移直線是解答這類問題的關(guān)鍵.8D【解析】由題意可

9、知：直線AB的方程為，代入拋物線的方程可得：，設(shè)A、B，則所求三角形的面積為=，故選D.考點(diǎn)：本小題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識，考查同學(xué)們分析問題與解決問題的能力.9C【解析】以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設(shè)CA=CB=1，則，A（1，0，0），故，所以，故選C.考點(diǎn)：本小題主要考查利用空間向量求線線角，考查空間向量的基本運(yùn)算，考查空間想象能力等數(shù)學(xué)基本能力，考查分析問題與解決問題的能力.10C【解析】由題意知：的極值為，所以，因?yàn)椋?，所以即，所以，?，而已知，所以3，故，解得或，故選C.考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究的極值，

10、考查三角函數(shù)，考查一元二次不等式的解法，考查分析問題與解決問題的能力.11【解析】因?yàn)?，所以令，解得，所?15，解得.考點(diǎn)：本小題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，求特定項(xiàng)的系數(shù)，題目難度不大，屬于中低檔.121【解析】由題意知：=，即，因?yàn)?，所以的最大值?.考點(diǎn)：本小題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的最值的求解，熟練公式是解答好本類題目的關(guān)鍵.13【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以不等式，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得.考點(diǎn)：本小題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查絕對值不等式的解法，熟練基礎(chǔ)知識是關(guān)鍵.14【解析】由題意知：直線MN與圓O有公共點(diǎn)即可，即圓心O到直線MN的距離小于等于1

11、即可，如圖，過OAMN，垂足為A，在中，因?yàn)镺MN=45，所以=，解得，因?yàn)辄c(diǎn)M（,1），所以，解得，故的取值范圍是.考點(diǎn)：本小題主要考查考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合能力和邏輯思維能力，考查同學(xué)們分析問題和解決問題的能力，有一定的區(qū)分度.15【解析】試題分析：本題第（1）問，證明等比數(shù)列，可利用等比數(shù)列的定義來證明，之后利用等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式；對第（2）問，可先由第（1）問求出，然后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，放縮法證明不等式.試題解析：（1）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為3，所以，解得.（2）由（1）知：，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，于是=，所以.【易錯(cuò)點(diǎn)】對第（1）問，構(gòu)

12、造數(shù)列證明等比數(shù)列不熟練；對第（2）問，想不到當(dāng)時(shí)，而找不到思路，容易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明而走彎路.考點(diǎn)：本小題考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、數(shù)列中不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查同學(xué)們的邏輯推理能力，考查分析問題與解決問題的能力.數(shù)列是高考的熱點(diǎn)問題之一，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解決好該類問題的關(guān)鍵.16【解析】試題分析：本題第（1）問，證明直線與平面平行，可利用線面平行的判定定理來證明；對第（2）問，可先建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算二面角，從而計(jì)算出AB，然后由棱錐的體積公式求出三棱錐的體積.試題解析：（1）證明：設(shè)O為AC與BD交點(diǎn)，連結(jié)OE，則由矩形ABCD知：O為B

13、D的中點(diǎn)，因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以O(shè)EPB，因?yàn)镺E面AEC，PB面AEC，所以PB平面AEC。（2）以A為原點(diǎn)，直線AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=m，則是平面AED的一個(gè)法向量，設(shè)是平面AEC的法向量，則，解得，所以令，得，所以=，因?yàn)槎娼堑拇笮∨c其兩個(gè)半平面的兩個(gè)法向量的夾角相等哉互補(bǔ)，所以=，解得，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以三棱錐E-ACD的高為，所以三棱錐E-ACD的體積為=.【易錯(cuò)點(diǎn)】對第（1）問，證明線面平行時(shí),容易漏掉條件；對第（2）問，二面角的大小與兩個(gè)法向量夾角相等或互補(bǔ)的關(guān)系，一部分同學(xué)容易得出它們相等；并且計(jì)算法向量可能出現(xiàn)錯(cuò)誤.考點(diǎn)：本小

14、題考查空間中直線與平面平行等位置關(guān)系的證明、二面角的求解，空間幾何體的體積的求法，考查利用空間向量知識解決立體幾何的能力，考查同學(xué)們的邏輯推理能力、空間想象能力，考查分析問題以及解決問題的能力.17（1）；（2）在2007至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入在逐年增加，平均每年增加千元；元.【解析】試題分析：本題第（1）問，由給出的與公式求出與，從而求出回歸直線方程；對第（2）問，由第（1）問求出的回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測，令，可得的近似值.試題解析：（1）由題意知，所以=，所以=，所以線性回歸方程為。（2）由（1）中的線性回歸方程可知，所以在2007至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入在

15、逐年增加，平均每年增加千元.令得：，故預(yù)測該地區(qū)在2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為元?！疽族e(cuò)點(diǎn)】本題的易錯(cuò)點(diǎn)是第（1）問計(jì)算錯(cuò)誤，第（2）問在2007至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，不知道如何回答.考點(diǎn)：本小題主要考查線性回歸方程的解法等基礎(chǔ)知識，屬中檔題目，考查同學(xué)們分析問題與解決問題的能力.18（1）；（2），.【解析】試題分析：本題第（1）問，可結(jié)合與x軸垂直，由勾股定理及橢圓定義求出橢圓的離心率；對第（2）問，觀察到是三角形的中位線，然后結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及橢圓方程，可求出a,b.試題解析：（1）由題意知，所以，由勾股定理可得：，由橢圓定義可得：=，解得C的離心率

16、為。（2）由題意，原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，y軸，所以直線與y軸的交點(diǎn)D（0，2）是線段的中點(diǎn)，故，即，由得，設(shè)，由題意知，則，即，代入C的方程得，將及代入得：，解得，.【易錯(cuò)點(diǎn)】對第（1）問，較容易，大部分同學(xué)都能計(jì)算出；對第（2）問,一部分同學(xué)考慮不到中位線，容易聯(lián)立方程組求解而走彎路，并且容易出現(xiàn)計(jì)算失誤.考點(diǎn)：本小題考查橢圓的幾何意義（離心率的求解）、橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)中的待定系數(shù)法、設(shè)而不求思想 ，考查同學(xué)們的計(jì)算能力以及分析問題、解決問題的能力.圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)問題,年年必考,熟練本部分的基礎(chǔ)知識是解答好本類問題的關(guān)鍵.19（1）函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）2；（3

17、）【解析】試題分析：本題第（1）問，判斷函數(shù)的單調(diào)，關(guān)鍵是判斷導(dǎo)數(shù)的正數(shù)；對第（2）問，可構(gòu)造函數(shù)，對（3）問，可根據(jù)的取值討論.試題解析：（1）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）因?yàn)?，所以=.(1)當(dāng)時(shí), ,等號僅當(dāng)時(shí)成立，所以在R上單調(diào)遞增，而，所以對任意，；（2）當(dāng)時(shí)，若滿足，即時(shí)，而，因此當(dāng)時(shí)，綜上，的最大值為2.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的近似值為.【易錯(cuò)點(diǎn)】對第()問,函數(shù)單調(diào)性的判斷，容易;對第（2）問,考慮不到針對去討論；對第（3）問,找不到思路.考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，綜合性較強(qiáng)，考查函數(shù)與方程、分類討

18、論等數(shù)學(xué)思想方法，考查同學(xué)們分析問題、解決問題的能力，熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識以及基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵.20（1）見解析 （2）見解析【解析】試題分析：本題第（1）問，先由已知得出PA=PD，然后由對應(yīng)角相等，拆分角得出結(jié)論；對第（2）問，可由切割線定理得出，然后由相交弦定理，得出結(jié)論.試題解析：（1）連結(jié)AB，AC，由題意知PA=PD，故，因?yàn)?，所以，從而，因此BE=EC.（2）由切割線定理得：，因?yàn)?，所以，由相交弦定理得?，所以等式成立.【易錯(cuò)點(diǎn)】對第（1）問，不容易找到思路;第（2）問中不會靈活應(yīng)用已知條件而出錯(cuò).考點(diǎn)：本小題主要考查圓的切線、割線、相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形等平面幾何知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，考