控制論3.4 線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化教學課件.ppt

1、Ch.3 線性系統(tǒng)的時域分析,目錄(1/1),目 錄 概述 3.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 3.2 狀態(tài)轉移矩陣及其計算 3.3 線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 3.4 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化 3.5 線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 3.6 Matlab問題 本章小結,線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化(1/5),3.4 線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化 離散系統(tǒng)的工作狀態(tài)可以分為以下兩種情況。 整個系統(tǒng)工作于單一的離散狀態(tài)。 對于這種系統(tǒng),其狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量全部是離散量,如現(xiàn)在的全數(shù)字化設備、計算機集成制造系統(tǒng)等。 系統(tǒng)工作在連續(xù)和離散兩種狀態(tài)的混合狀態(tài)。 對于這種系統(tǒng),其狀態(tài)

2、變量、輸入變量和輸出變量既有連續(xù)時間型的模擬量,又有離散時間型的離散量，如連續(xù)被控對象的采樣控制系統(tǒng)就屬于這種情況。,線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化(2/5),對于第2種情況的系統(tǒng),其狀態(tài)方程既有一階微分方程組又有一階差分方程組。 為了能對這種系統(tǒng)運用離散系統(tǒng)的分析方法和設計方法,要求整個系統(tǒng)統(tǒng)一用離散狀態(tài)方程來描述。 由此,提出了連續(xù)系統(tǒng)的離散化問題。 在計算機仿真、計算機輔助設計中利用數(shù)字計算機分析求解連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程,或者進行計算機控制時,都會遇到離散化問題。,線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化(3/5),圖3-3所示為連續(xù)系統(tǒng)化為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖。,圖 3-3 連續(xù)系統(tǒng)離散化的實現(xiàn)

3、,線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化(4/5),線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化問題的數(shù)學實質,就是在一定的采樣方式和保持方式下,由系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)空間模型來導出等價的離散狀態(tài)空間模型,并建立起兩者的各系數(shù)矩陣之間的關系式。 為使連續(xù)系統(tǒng)的離散化過程是一個等價變換過程,必須滿足如下條件和假設。 在離散化之后,系統(tǒng)在各采樣時刻的狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量的值保持不變。 保持器為零階的,即加到系統(tǒng)輸入端的輸入信號u(t)在采樣周期內不變,且等于前一采樣時刻的瞬時值,故有 u(t)=u(kT) kTt(k+1)T,線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化(5/5),采樣周期T的選擇滿足申農(Shannon)采樣定理,

4、即 采樣頻率2/T大于2倍的連續(xù)信號x(k)的上限頻率。 滿足上述條件和假設,即可推導出連續(xù)系統(tǒng)的離散化的狀態(tài)空間模型。 下面分別針對 線性定常連續(xù)系統(tǒng)和 線性時變連續(xù)系統(tǒng) 討論離散化問題。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化(1/3),3.4.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化 本節(jié)主要研究線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化,即 研究如何基于采樣將線性定常連續(xù)系統(tǒng)進行離散化,建立相應的線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 主要討論的問題為兩種離散化方法: 精確法和 近似法,線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化,實際上是指在采樣周期T下,將狀態(tài)空間模型,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化(2/3),變換成離散系統(tǒng)的如下狀

5、態(tài)空間模型:,由于離散化主要是對描述系統(tǒng)動態(tài)特性的狀態(tài)方程而言,輸出方程為靜態(tài)的代數(shù)方程,其離散化后應保持不變,即 C(T)=C D(T)=D 離散化主要針對連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程(A,B)如何通過采樣周期T,變換成離散系統(tǒng)狀態(tài)方程(G,H)。,在上述的條件和假設下,即可推導出連續(xù)系統(tǒng)離散化的狀態(tài)空間模型。 下面介紹兩種離散化方法: 精確法、 近似法。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化(3/3),主要推薦?,精確離散化方法(1/4),現(xiàn)在只考慮在采樣時刻t=kT和t=(k+1)T時刻之間的狀態(tài)響應,即對于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是,1. 精確離散化方法 所謂線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的精確離

6、散化方法,就是 利用狀態(tài)方程的求解公式以保證狀態(tài)在采樣時刻連續(xù)狀態(tài)方程和離散化狀態(tài)方程有相同的解來進行離散化。 連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解公式如下:,精確離散化方法(2/4),考慮到u(t)在采樣周期內保持不變的假定,所以有,將上式與線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程 x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 比較,可知兩式對任意的x(kT)和u(kT)成立的條件為 G(T)=(T)=eAT,對上式作變量代換,令t=(k+1)T-,則上式可記為,上兩式即為精確離散化法的計算式。,精確離散化方法(3/4)例3-11,解 首先求出連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣:,例3-11 試用精確離散化方法寫出下

7、列連續(xù)系統(tǒng)的離散化系統(tǒng)的狀態(tài)方程:,精確離散化方法(4/4)例3-11,根據(jù)精確法計算式有,于是該連續(xù)系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程為,近似離散化方法(1/6),2. 近似離散化方法 所謂線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的近似離散化方法是指 在采樣周期較小, 且對離散化的精度要求不高的情況下, 用狀態(tài)變量的差商代替微商來求得近似的差分方程。 即,由于 x(kT)=LimT0 x(k+1)T)-x(kT)/T 故當采樣周期較小時,有 x(kT)x(k+1)T)-x(kT)/T,近似離散化方法(2/6),將上式代入連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程,有 x(k+1)T)-x(kT)/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x(k+1)

8、T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 將上式與線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程比較,則可得如下近似離散化的計算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 將上述近似離散法和精確離散法比較知, 由于I+AT和BT分別是eAT和eAtdtB的Taylor展開式中的一次近似,因此近似離散化方法其實是取精確離散化方法的相應計算式的一次Taylor近似展開式。,近似離散化方法(3/6)例3-12,由上述推導過程可知,一般說來,采樣周期T越小,則離散化精度越高。 但考慮到實際計算時的舍入誤差等因素,采樣周期T不宜太小。 例3-12 試用近似離散化方法寫出下列連續(xù)系統(tǒng)的離散化系統(tǒng)的狀態(tài)方程:,

9、解 由近似離散化法計算公式,對本例有,近似離散化方法(4/6)例3-12,于是該連續(xù)系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程為,近似離散化方法(5/6)例3-12,近似法的計算結果為,2. 當T=0.001s時,精確法的計算結果為,對上述近似離散化法的精度可檢驗如下: 1. 當T=1s時,精確法的計算結果為,近似離散化方法(6/6)例3-12,近似法的計算結果為,從上述計算結果可知,近似離散法只適用于較小的采樣周期。,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的離散化(1/6),3.4.2 線性時變連續(xù)系統(tǒng)的離散化 線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化,實際上是指在指定的采樣周期T下,將連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程,變換成線性時變離散系統(tǒng)的如下狀態(tài)方程:,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的離散化,就是利用時變系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡求解公式來進行離散化。 由3.3節(jié)可知,連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解可表示為:,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的離散化(2/6),現(xiàn)在只考慮在采樣時刻t=kT和t=(k+1)T時刻之間的狀態(tài)響應,即對于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是,考慮到u(t)在采樣周期內保持不變,所以有,線性時變連續(xù)系統(tǒng)的離散化(3/6),比較下述兩式,可得線性時變連續(xù)系統(tǒng)離散化模型各矩陣如下,線性時變連續(xù)