2009年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-天津卷

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）i是虛數(shù)單位，=（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i【考點(diǎn)定位】本小考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，基礎(chǔ)題。解析：，故選擇D。（2）設(shè)變量x，y滿足約束條件：.則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（A）6 （B）7 （C）8 （D）23【考點(diǎn)定位】本小考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。解析：畫(huà)出不等式表示的可行域，如右圖，讓目標(biāo)函數(shù)表示直線在可行域上平移，知在點(diǎn)B自目標(biāo)函數(shù)取到最小值，解方程組得，所以，故選擇B。（3）命題“存在R，0”的否定是（A）不存在R, 0 （

2、B）存在R, 0 （C）對(duì)任意的R, 0 （D）對(duì)任意的R, 0【考點(diǎn)定位】本小考查四種命題的改寫(xiě)，基礎(chǔ)題。解析：由題否定即“不存在，使”，故選擇D。（4）設(shè)函數(shù)則A. 在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn)。B. 在區(qū)間內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)。C. 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)。D. 在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)?！究键c(diǎn)定位】本小考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，基礎(chǔ)題。解析：由題得，令得；令得；得，故知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，在點(diǎn)處有極小值；又，故選擇D。（5）閱讀右圖的程序框圖，則輸出的S=A. 26 B. 35 C. 40 D. 57【考點(diǎn)定位】本小考查框架圖運(yùn)算，基礎(chǔ)題。解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)

3、時(shí)，故選擇C。(6）設(shè)若的最小值為A 8 B 4 C 1 D 【考點(diǎn)定位】本小題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通能力。【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立，故選擇C（7）已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù) 的圖象，只要將的圖象A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【考點(diǎn)定位】本小題考查誘導(dǎo)公式、函數(shù)圖象的變換，基礎(chǔ)題。解析：由題知，所以，故選擇A。（8）已知函數(shù)若則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A B C D 【考點(diǎn)定位】本小題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的運(yùn)用。以及一元二次不等式的求解。解析：由題知在上是增

4、函數(shù)，由題得，解得，故選擇C。（9）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M（，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C，=2，則BCF與ACF的面積之比=（A） （B） （C） （D）【考點(diǎn)定位】本小題考查拋物線的性質(zhì)、三點(diǎn)共線的坐標(biāo)關(guān)系，和綜合運(yùn)算數(shù)學(xué)的能力，中檔題。解析：由題知，又由A、B、M三點(diǎn)共線有即，故， ，故選擇A。（10）,若關(guān)于x 的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則（A） （B） （C） （D）【考點(diǎn)定位】本小題考查解一元二次不等式，解析：由題得不等式即，它的解應(yīng)在兩根之間，故有，不等式的解集為或。若不等式的解集為，又由得，故，即二、填空題：（6小題，每題4分，共24分）

5、（11）某學(xué)院的A，B，C三個(gè)專(zhuān)業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的樣本。已知該學(xué)院的A專(zhuān)業(yè)有380名學(xué)生，B專(zhuān)業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專(zhuān)業(yè)應(yīng)抽取_名學(xué)生?！究键c(diǎn)定位】本小題考查分層抽樣，基礎(chǔ)題。解析：C專(zhuān)業(yè)的學(xué)生有，由分層抽樣原理，應(yīng)抽取名。（12）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則_【考點(diǎn)定位】本小題考查三視圖、三棱柱的體積，基礎(chǔ)題。解析：知此幾何體是三棱柱，其高為3，底面是底邊長(zhǎng)為2，底邊上的高為的等腰三角形，所以有。(13) 設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線的方程為y=3x+4則與的距離為_(kāi)【考點(diǎn)定位】本小

6、題考查參數(shù)方程化為普通方程、兩條平行線間的距離，基礎(chǔ)題。解析：由題直線的普通方程為，故它與與的距離為。(14)若圓與圓（a0）的公共弦的長(zhǎng)為，則_?！究键c(diǎn)定位】本小題考查圓與圓的位置關(guān)系，基礎(chǔ)題。解析：由知的半徑為，由圖可知解之得(15)在四邊形ABCD中，=（1，1），則四邊形ABCD的面積是 【考點(diǎn)定位】本小題考查向量的幾何運(yùn)算，基礎(chǔ)題。解析：由題知四邊形ABCD是菱形，其邊長(zhǎng)為，且對(duì)角線BD等于邊長(zhǎng)的倍，所以，故，。（16）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有 個(gè)（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)定位】本小題考查排列實(shí)際問(wèn)題，基礎(chǔ)

7、題。解析：個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為3個(gè)偶數(shù)的有：種；個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)的有：種，所以共有個(gè)。三、解答題：本大題共6小題，共76分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）在ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA() 求AB的值；() 求sin的值本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。滿分12分。（）解：在ABC中，根據(jù)正弦定理，于是（）解：在ABC中，根據(jù)余弦定理，得于是 從而 所以（18）（本小題滿分12分）在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品

8、，3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：（） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。本小題主要考查古典概型及計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、互斥事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分12分。（）解：由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123PX的數(shù)學(xué)期望（）解：設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1“恰

9、好取出2件一等品“為事件A2，”恰好取出3件一等品”為事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3而,所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為+=（19）（本小題滿分12分）如圖，在五面體中， 平面, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD （）求異面直線BF與DE所成的角的大??；（）證明平面AMD平面CDE；（）求二面角A-CD-E的余弦值。本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。滿分12分.方法一：（）解：由題設(shè)知，BF/CE

10、，所以CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC。因?yàn)镕EAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60（）證明：因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn)，所以，連接，則，又，故平面,而平面，所以平面平面（）由（）可得，于是在中，所以二面角的余弦值為方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 （）解： 于是所以異面直線與所成的角的大小為.（）證

11、明：由 可得，因此，又（）解：設(shè)平面的發(fā)向量為于是又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為因?yàn)槎娼菫殇J角，所以其余弦值為（20）（本小題滿分12分）已知函數(shù)其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線處的切線的斜率；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類(lèi)討論的思想方法。滿分12分。（）解：所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）解：令以下分兩種情況討論。（1），則.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+00+極大值極小值所以在內(nèi)事增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值函數(shù)在處取得極小值（2），則，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+00+極大值極小值

12、所以在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值函數(shù)在處取得極小值（21）（本小題滿分14分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且。（）求橢圓的離心率；（）求直線AB的斜率；（） 設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力，滿分14分（）解：由/且，得，從而整理，得，故離心率（）解：由（）得，所以橢圓的方程可寫(xiě)為設(shè)直線AB的方程為，即由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得.依題意，而 由題設(shè)知，點(diǎn)B為線

13、段AE的中點(diǎn)，所以 聯(lián)立解得，將代入中，解得.()解法一：由（）可知當(dāng)時(shí)，得，由已知得.線段的垂直平分線l的方程為，直線與x軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.直線的方程為，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組 ， 由解得故當(dāng)時(shí)，同理可得解法二：由（）可知當(dāng)時(shí)，得,由已知得由橢圓的對(duì)稱性可知B，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在的外接圓上，且，所以四邊形為等腰梯形.由直線的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為.因?yàn)椋?，解得m=c（舍），或.則，所以當(dāng)時(shí)，同理可得（22）（本小題滿分14分）已知等差數(shù)列的公差為d（d0），等比數(shù)列的公比為q（q1）。設(shè),=-+.+(-1 ,n（）若= 1，d=2，q=3，求 的值；（）若=1，證明（1-q）（）若正整數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個(gè)