2019年北京市第二次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019年北京市第二次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，那么等于（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】根據(jù)交集運(yùn)算直接寫出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，難度較易.2已知向量 ， ，那么 等于（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算直接寫出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量加法的坐標(biāo)表示，難度較易.32019年中國(guó)北京世界園藝博覽會(huì)于4月29日至10月7日在北京市延慶區(qū)舉辦如果小明從中國(guó)館、國(guó)際館、植物館、生活體驗(yàn)館四個(gè)展館中隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行參觀，那么他選擇的展館恰為中國(guó)館的概率為（ ）A.

2、B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)隨機(jī)事件的概率計(jì)算完成求解.【詳解】可能出現(xiàn)的選擇有種，滿足條件要求的種數(shù)為種，則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用古典概型完成隨機(jī)事件的概率的求解，難度較易.古典概型的概率計(jì)算公式：（目標(biāo)事件的數(shù)量）（基本事件的總數(shù)）.4圓心為，半徑等于5的圓的方程是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】對(duì)比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)閳A心即為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，難度較易.5已知向量，且，那么m等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】根據(jù)向量垂直對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)?/p>

3、，所以，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)表示，難度較易.已知，若，則有：.6直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】聯(lián)立二元一次方程組求解交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】據(jù)題意有：，解得：，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用直線方程求解直線交點(diǎn)坐標(biāo)，難度較易.直線的方程可認(rèn)為是二元一次方程，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為二元一次方程組的解對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)形式.7已知平面向量滿足 ，且與夾角為60，那么等于( )A.B.C.D.1【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)量積公式完成計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，難度較易.8函數(shù)的定義域?yàn)? )A.B.C.D

4、.【答案】B【解析】根據(jù)真數(shù)大于零計(jì)算出的范圍即為定義域.【詳解】因?yàn)椋?，即定義域?yàn)椋蔬x：B.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，難度較易.對(duì)數(shù)型函數(shù)計(jì)算定義域，注意對(duì)應(yīng)的真數(shù)大于零.9已知點(diǎn)，那么直線AB的斜率為( )A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】根據(jù)斜率的計(jì)算公式直接計(jì)算出斜率.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出兩點(diǎn)構(gòu)成的直線的斜率，難度較易.已知，則.10為慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年，某學(xué)院欲從A，B兩個(gè)專業(yè)共600名學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取120人組成國(guó)慶宣傳團(tuán)隊(duì)，已知A專業(yè)有200名學(xué)生，那么在該專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為( )A.

5、20B.30C.40D.50【答案】C【解析】先計(jì)算出抽樣比，然后根據(jù)（A專業(yè)人數(shù)）乘以（抽樣比）即可得到應(yīng)抽取的人數(shù).【詳解】據(jù)題意可知：抽樣比為，則A專業(yè)抽取人數(shù)為人，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，難度較易.若要計(jì)算分層抽樣的每一層應(yīng)抽取數(shù)量，先要計(jì)算抽樣比，利用每一層數(shù)量乘以抽樣比得到該層應(yīng)抽取的數(shù)量.11等于( )A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)兩角差的余弦公式直接得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的余弦公式的記憶，難度較易.12已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，那么的值為( )A.0B.C.1D.2【答案】D【解析】根據(jù)奇函數(shù)找到與的關(guān)系即可計(jì)算

6、出的值.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)的特性求值，難度較易.若是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，則有：.13如圖，在直三棱柱中，如果，那么直三棱柱的體積為( )A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】根據(jù)棱柱的體積公式求解直三棱柱的體積.【詳解】因?yàn)?，所以；所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的體積計(jì)算公式，難度較易.棱柱體積計(jì)算公式：，其中是棱柱的底面積，是棱柱的高.14的值為( )A.B.C.D.【答案】A【解析】先將變形為，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式一計(jì)算結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，難度較易.注意誘導(dǎo)公式一：， .15函

7、數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】將因式分解后即可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以令則有：或或，即零點(diǎn)有個(gè)，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，難度較易.對(duì)于可直接進(jìn)行因式分解的函數(shù)，可通過因式分解判斷每個(gè)因式為零的情況，然后確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).16要得到函數(shù)的圖象只需將函數(shù)的圖象（ ）A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位【答案】A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換中的相位變換確定結(jié)果.【詳解】根據(jù)相位變換的左加右減有：向左移動(dòng)個(gè)單位得到，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換中的相位變換，難度較易.相位變換時(shí)注意一個(gè)原則：

8、左加右減.17直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，則的方程為（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)平行關(guān)系設(shè)出直線的一般式方程，代入坐標(biāo)求解出一般式方程并轉(zhuǎn)化為斜截式方程.【詳解】設(shè)方程為：，代入有：，所以，所以方程為：，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線間的平行關(guān)系求解直線的方程，難度較易.已知直線方程為：，與其平行的直線方程可設(shè)為：.18如果函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么的值為（ ）A.B.C.2D.4【答案】C【解析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式中計(jì)算出的值即可.【詳解】因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以且且，解得：，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象所過點(diǎn)求解函數(shù)解析式，難度較易.通過函數(shù)圖象所過

9、點(diǎn)求解函數(shù)解析式的問題，可考慮直接將點(diǎn)代入函數(shù)解析式中求解參數(shù)值.19已知，那么a，b，c的大小關(guān)系為（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，又，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較指數(shù)冪的大小，難度較易.對(duì)于指數(shù)函數(shù)（且）：若，則是上增函數(shù)；若，則是上減函數(shù).20函數(shù)的最小正周期是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】利用二倍角公式先化簡(jiǎn)，然后根據(jù)周期計(jì)算公式計(jì)算最小正周期.【詳解】因?yàn)椋?，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、周期公式的應(yīng)用，難度較易.常見的二倍角公式有：.21在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分

10、別為a，b，c，如果，那么a等于（ ）A.B.C.D.3【答案】A【解析】根據(jù)正弦定理得到邊角對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后計(jì)算的值.【詳解】由正弦定理可知：，所以，解得：，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，難度較易.正弦定理對(duì)應(yīng)的等式：（是三角形外接圓的半徑）.22已知，那么等于（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式將待求式子化簡(jiǎn)，然后根據(jù)平方和為去計(jì)算相應(yīng)結(jié)果.【詳解】因?yàn)?；又因?yàn)榍?，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)誘導(dǎo)公式求解給值求值問題，難度較易.利用平方和為去計(jì)算相應(yīng)三角函數(shù)值時(shí)，注意根據(jù)角度的范圍去判斷相應(yīng)的三角形函數(shù)值的正負(fù)號(hào).23已知圓C：與直線l：，那

11、么圓心C到直線l的距離為（ ）A.B.C.D.1【答案】B【解析】先確定圓心，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解圓心到直線的距離.【詳解】圓的方程可變形為：，所以圓心為，所以圓心到的距離為：，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心的確定以及點(diǎn)到直線的距離公式，難度較易.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中圓心為，半徑為.24已知冪函數(shù)，它的圖象過點(diǎn)，那么的值為（ ）A.B.C.D.1【答案】A【解析】先通過函數(shù)圖象過點(diǎn)，計(jì)算出的值，然后再計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，所以，所以，則，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的解析式求解以及根據(jù)冪函數(shù)解析式求值，難度較易.25生態(tài)環(huán)境部環(huán)境規(guī)劃院研究表明，京津冀區(qū)域PM2.5主要

12、來自工業(yè)和民用污染，其中冬季民用污染占比超過50%，最主要的源頭是散煤燃燒因此，推進(jìn)煤改清潔能源成為三地協(xié)同治理大氣污染的重要舉措2018年是北京市壓減燃煤收官年，450個(gè)平原村完成了煤改清潔能源，全市集中供熱清潔化比例達(dá)到99%以上，平原地區(qū)基本實(shí)現(xiàn)“無煤化”，為了解“煤改氣”后居民在采暖季里每月用氣量的情況，現(xiàn)從某村隨機(jī)抽取100戶居民進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每戶的用氣量都在150立方米到450立方米之間，得到如圖所示的頻率分布直方圖在這些用戶中，用氣量在區(qū)間的戶數(shù)為（ ） A.5B.15C.20D.25【答案】D【解析】計(jì)算出的頻率，用抽取的總數(shù)量乘以對(duì)應(yīng)的頻率即可得到對(duì)應(yīng)段的戶數(shù).【詳解】根據(jù)頻

13、率分布直方圖可知：的頻率為，所以用氣量在的戶數(shù)為：戶，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻率分布直方圖完成相應(yīng)計(jì)算，難度較易,觀察頻率分布直方圖時(shí)，注意縱軸并不表示頻率，而是頻率除以組距，因此每一段區(qū)間對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形的面積即為該段的頻率.26在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，如果，的面積，那么a等于（ ）A.B.7C.D.17【答案】A【解析】先根據(jù)面積公式計(jì)算出的值，然后利用以及余弦定理求解的值.【詳解】因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用以及利用余弦定理解三角形，難度較易.解三角形時(shí)常用的面積公式有三個(gè)，解答問題時(shí)要根據(jù)題意進(jìn)行選擇.27設(shè)

14、m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果，那么其中正確的命題是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】通過判定定理、性質(zhì)定理、定義、舉例的方式逐項(xiàng)分析.【詳解】如圖所示長(zhǎng)方體，平面，平面，但是不平行，故錯(cuò)誤；根據(jù)垂直于同一平面的兩條直線互相平行，可知正確；根據(jù)兩個(gè)平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線平行于另一個(gè)平面，可知正確；如圖所示長(zhǎng)方體，平面平面且平面，但此時(shí)顯然不垂直于平面，故錯(cuò)誤；綜上：正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查符號(hào)語言下的空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的命題的真假判斷，難度一般.處理符號(hào)語言表示的命題真假的問題，常用的方

15、法有：根據(jù)判定、性質(zhì)定理直接判斷；根據(jù)定義判斷；根據(jù)示意圖、舉例判斷.二、解答題28某同學(xué)解答一道三角函數(shù)題：“已知函數(shù)，且（）求的值；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及相應(yīng)x的值”該同學(xué)解答過程如下：解答：（）因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以（）因?yàn)?，所以令，則畫出函數(shù)在上的圖象，由圖象可知，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為下表列出了某些數(shù)學(xué)知識(shí)：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定義弧度制的概念，的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式弧度與角度的互化函數(shù)，的圖象三角函數(shù)的周期性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式正切函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)兩角差的余弦公式函數(shù)的實(shí)際意義兩角差的正弦、正切公式參數(shù)A，對(duì)函數(shù)圖

16、象變化的影響兩角和的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式請(qǐng)寫出該同學(xué)在解答過程中用到了此表中的哪些數(shù)學(xué)知識(shí)【答案】任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定義，函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，參數(shù)A，對(duì)函數(shù)圖象變化的影響【解析】根據(jù)解答過程逐步推導(dǎo)所用的數(shù)學(xué)知識(shí).【詳解】首先，這里出現(xiàn)了負(fù)角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由和的范圍解出，這里涉及的是任意角的正弦的定義；解題時(shí)所畫的圖象涉及的是函數(shù)的圖象；作出圖象后可根據(jù)周期性以及單調(diào)性計(jì)算出最大值，這里涉及的是三角函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)；用換元法構(gòu)造正弦函數(shù)的圖象其實(shí)利用的是

17、平移的思想，這里涉及的是參數(shù)A，對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)章節(jié)內(nèi)容的綜合應(yīng)用，難度一般.由解答的過程分析其中涉及的知識(shí)點(diǎn)，這種題型比較靈活，需要注意到每一步是根據(jù)什么得到的，這就要保證對(duì)每一塊的知識(shí)點(diǎn)都很熟悉.29如圖，在三棱錐中，平面ABC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為PC，AB，AC的中點(diǎn)（）求證：平面DEF；（）求證：閱讀下面給出的解答過程及思路分析解答：（）證明：在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫鍰EF，平面DEF，所以平面DEF（）證明：因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以因?yàn)镈，F(xiàn)分別為PC，AC的中點(diǎn)，所以所以思路分析：第（）問是先證，再證“線面平行”；第

18、（）問是先證，再證，最后證“線線垂直”以上證明過程及思路分析中，設(shè)置了五個(gè)空格，如下的表格中為每個(gè)空格給出了三個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)正確，請(qǐng)選出你認(rèn)為正確的選項(xiàng)，并填寫在答題卡的指定位置空格選項(xiàng)ABCABCA線線垂直B線面垂直C線線平行A線線垂直B線面垂直C線線平行A線面平行B線線平行C線面垂直【答案】A；B；C；A；B【解析】：由中位線分析；線面垂直的性質(zhì)分析；由線線推導(dǎo)線面；由線面垂直推導(dǎo)線線垂直；由線線平行推導(dǎo)線線垂直.【詳解】因?yàn)槭侵形痪€，所以，故選A；平面，平面，可通過線面垂直得到線線垂直，故選B；通過中位線，先證線線平行，再證線面平行，故選C；根據(jù)可知：先證明線線垂直，故選A；由可知：再證線線平行，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查線線、線面平行以及線線、線面垂直的證明和理解，難度較易.證明線線平行多數(shù)情況可根據(jù)中位線或者證明平行四邊形來解決問題，有時(shí)候也可以根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理去證明線線平行.30某同學(xué)解答一道解析幾何題：“已知直線l：與x軸的交點(diǎn)為A，圓O：經(jīng)過點(diǎn)A（）求r的值；（）若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線AB垂直于直線l，求”該同學(xué)解答過程如下：解答：（）令，即，解得，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為因?yàn)閳AO：經(jīng)過點(diǎn)A，所以（）因?yàn)樗灾本€AB的斜率為所以直線AB的方程為，即代入消去y整理得，解得，當(dāng)時(shí)，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為所以指出上述解答過程中的錯(cuò)誤之處，并寫出正確