2019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問(wèn)題05應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)(含解析)

1、問(wèn)題5應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)問(wèn)題一、考情分析 利用三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值或范圍是往往是高考中的亮點(diǎn),這類(lèi)問(wèn)題一般涉及到值域、單調(diào)性及周期性等性質(zhì),三角函數(shù)因?yàn)槠浜瘮?shù)性質(zhì)的特殊性,如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的有界性,往往在確定變量范圍,或者最大值最小值有關(guān)問(wèn)題上起著特殊的作用.如果試題本身對(duì)自變量的取值范圍還有限制,則更應(yīng)該充分注意.二、經(jīng)驗(yàn)分享(1) 三角函數(shù)值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所給的三角函數(shù)式變換成yAsin(x)的形式求值域；通過(guò)換元,轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域(2)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則,將解析式先化簡(jiǎn),并注意復(fù)合函數(shù)

2、單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“x”為一個(gè)整體,通過(guò)解不等式求解但如果0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯(cuò)(3)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解(4)對(duì)于函數(shù)yAsin(x),其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱(chēng)中心一定是函數(shù)的零點(diǎn),因此在判斷直線xx0或點(diǎn)(x0,0)是不是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心時(shí),可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷(5)求三角函數(shù)周期的方法：利用周期函數(shù)的定義利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為,ytan(x)的最小正周期為.(

3、6)圖象變換：由函數(shù)ysin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象,有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”(8)求yAsin(x)B(A0,0)解析式的步驟求A,B,確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A,B.求,確定函數(shù)的周期T,則.求,常用方法如下：i.代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入ii.五點(diǎn)法：確定值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為x；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x；“第四點(diǎn)”(即圖象的“

4、谷點(diǎn)”)為x；“第五點(diǎn)”為x2.三、知識(shí)拓展1對(duì)稱(chēng)與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心、相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是半個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是個(gè)周期(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心之間的距離是半個(gè)周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A,0),則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是k(kZ)；(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ)3由ysin x到y(tǒng)sin(x)(0,0)的變換：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而非個(gè)單位長(zhǎng)度4函數(shù)yAsin(x)的對(duì)稱(chēng)軸由xk,kZ確定；對(duì)稱(chēng)中心由xk,kZ確定其橫坐標(biāo)四、題型分析(一) 與函數(shù)最值相關(guān)的問(wèn)題【例1】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期與單

5、調(diào)遞增區(qū)間；（2）若時(shí),函數(shù)的最大值為0,求實(shí)數(shù)的值【分析】（1）化為,可得周期,由可得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）因?yàn)?所以,進(jìn)而的最大值為,解得.【解析】（1）,則函數(shù)的最小正周期,根據(jù),得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,（2）因?yàn)?所以,則當(dāng),時(shí),函數(shù)取得最大值0,即,解得【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)的最值問(wèn)題,大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)最值問(wèn)題,常用的方法為：化為代數(shù)函數(shù)的最值,也可以通過(guò)三角恒等變形化為求yAsin(x)B的最值；或化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)式,再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間上的最值.【小試牛刀】【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第二次月考】若方程在上有且只

6、有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍_【答案】【解析】 所以當(dāng)時(shí)， 與 只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，方程解所以要使方程在上有且只有兩解，實(shí)數(shù)的取值范圍(二) 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍如果解析式中含有參數(shù),要求根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍,通常先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解或轉(zhuǎn)化為使得某個(gè)等式或不等式(可以、恒)成立,通常分離參數(shù),求出解析式的范圍或最值,進(jìn)而求出參數(shù)的范圍即可.【例2】已知0,函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是_【分析】根據(jù)ysinx在上遞減,列出關(guān)于的不等式組【解析】由x,0得,x,又ysinx在上遞減,所以解得.【答案】【點(diǎn)評(píng)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則,

7、將解析式先化簡(jiǎn),并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“x”為一個(gè)整體,通過(guò)解不等式求解但如果0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯(cuò)；已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解【小試牛刀】【南京市、鹽城市2018屆高三年級(jí)第一次模擬】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】由題意得，所以 5 (三) 根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)取值范圍【例3】已知函數(shù)(1)若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),求a的最小值;(2)若存在使成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【分析】(1)先利用降冪公

8、式進(jìn)行化簡(jiǎn),然后利用輔助角公式將化為,最后根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出對(duì)稱(chēng)軸,求出的最小值即可；(2)根據(jù)的范圍求出的范圍,再結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)f(x0)的值域,從而可求出m的取值范圍【解析】(1)首先將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為：,又因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),所以,即,又因?yàn)?所以的最小值為(2) 故 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于函數(shù)yAsin(x),其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱(chēng)中心一定是函數(shù)的零點(diǎn),因此在判斷直線xx0或點(diǎn)(x0,0)是不是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心時(shí),可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷【小試牛刀】【2018屆安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,所得的圖象關(guān)

9、于軸對(duì)稱(chēng),則的最小值是 【答案】【解析】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),即,解得,又,當(dāng)時(shí), 的最小值為. (四) 等式或不等式恒成立問(wèn)題在等式或不等式恒成立問(wèn)題中,通常含有參數(shù),而與三角函數(shù)相關(guān)的恒成立問(wèn)題,一定要注意三角函數(shù)自身的有界性,結(jié)合自變量的取值范圍,才能準(zhǔn)確求出參數(shù)的取值或范圍.【例4】已知不等式對(duì)于恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】因?yàn)?所以原不等式等價(jià)于在恒成立因?yàn)?所以,所以,故選B【點(diǎn)評(píng)】解決恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是將其進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,使之轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,或者區(qū)間上的最值問(wèn)題,使問(wèn)題得到解決具體轉(zhuǎn)化思路為：若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上的最

10、小值大于；若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上最大值小于【小試牛刀】【2018屆江蘇省常熟市高三上學(xué)期期中】已知函數(shù),若對(duì)任意的實(shí)數(shù),都存在唯一的實(shí)數(shù),使,則實(shí)數(shù)的最小值是_【答案】【解析】函數(shù),若對(duì)任意的實(shí)數(shù),則：f（）,0,由于使f（）+f（）=0,則：f（）0, ,=,所以：實(shí)數(shù)m的最小值是故答案為： (五) 利用三角代換解決范圍或最值問(wèn)題由于三角函數(shù)的有界性,往往可以用它們來(lái)替換一些有范圍限制的變量,再利用三角函數(shù)的公式進(jìn)行變換,得到新的范圍,達(dá)到解決問(wèn)題的目的.【例5】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是他們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為_(kāi)A. B. C

11、.3 D.2【解析】設(shè)橢圓方程為(ab0),雙曲線方程為(a0,b0),其中aa1,半焦距為c,于是|PF1|PF2|2a,|PF1|PF2|2a1,即|PF1|aa1,|PF2|aa1,因?yàn)?由余弦定理：4c2(aa1)2(aa1)22(aa1)(aa1)即4c2a23a12,即令2cos,2sin所以【點(diǎn)評(píng)】合理使用三角代換,可以使得運(yùn)算步驟(特別是與求最值相關(guān)的運(yùn)算)變得非常簡(jiǎn)潔.【小試牛刀】已知實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為 【答案】【解析】由,可設(shè),則=.五、遷移運(yùn)用1.【江蘇省常州市2019屆高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)是偶函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心，則最小值為_(kāi).【答案】【解析】函數(shù)f（x

12、）sin（x+）（0，R）是偶函數(shù)，,點(diǎn)（1，0）是函數(shù)yf（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心sin（+）0，可得+k2，k2Z，k2（k2k1）又0，所以當(dāng)k2k11時(shí)，的最小值為故答案為： 2【江蘇省鹽城市、南京市2019屆高三年級(jí)第一次模擬】設(shè)函數(shù)，其中若函數(shù)在上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】【解析】取零點(diǎn)時(shí)滿足條件，當(dāng)時(shí)的零點(diǎn)從小到大依次為，所以滿足 ，解得： 3.【江蘇省蘇北四市2019屆高三第一學(xué)期期末】將函數(shù)（）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】將函數(shù)f（x）sin（x）（0）的圖象向左平移個(gè)單位后，可得函數(shù)ysin（x）的圖象，再根據(jù)所得

13、圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)，可得k，kZ，當(dāng)k0時(shí)，取得最小值為，故答案為：4【江蘇省徐州市2019屆高三上學(xué)期期中】已知函數(shù)，若，且，則的最大值為_(kāi)【答案】【解析】令1，則，m，n，k都是整數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，的最大值?5【江蘇省常州2018屆高三上學(xué)期期末】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)， ， 滿足，則_.【答案】【解析】不妨設(shè)， ，得，由，得，解得.6【江蘇省淮安市等四市2018屆高三上學(xué)期第一次模擬】若函數(shù)的圖象與直線的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是， ， ，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)【答案】【解析】，所以。7【江蘇省常熟市2018屆高三上學(xué)期期中】已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都存在唯一的實(shí)

14、數(shù)，使，則實(shí)數(shù)的最小值是_【答案】【解析】函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，則：f（），0，由于使f（）+f（）=0，則：f（）0， ，=，所以：實(shí)數(shù)m的最小值是故答案為： 8【江蘇省常熟中學(xué)2018屆高三10月階段性抽測(cè)】已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的取值范圍為_(kāi).【答案】【解析】函數(shù), 當(dāng)時(shí), , ,畫(huà)出圖形如圖所示; ，則, 計(jì)算得出, 即的取值范圍是.9【江蘇省橫林高級(jí)中學(xué)2018屆高三模擬】若函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)且則=_ .【答案】 或【解析】對(duì)任意的實(shí)數(shù),說(shuō)明函數(shù)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸為， ，則 ， 或.10【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】已知函數(shù)若函數(shù) 的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間

15、上是單調(diào)函數(shù)，則的取值集合為_(kāi).【答案】 【解析】是一條對(duì)稱(chēng)軸，得，又在區(qū)間上單調(diào)，得，且，得，集合表示為。11.【2018屆江蘇省泰州高三12月月考】將的圖像向右平移單位（）,使得平移后的圖像仍過(guò)點(diǎn),則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】將的圖像向右平移單位（）得到,代入點(diǎn)得： ,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),第一個(gè)正弦值為的角,此時(shí),故填.12設(shè)常數(shù)a使方程在閉區(qū)間0,2上恰有三個(gè)解,則 . 【解析】原方程可變?yōu)?如圖作出函數(shù)的圖象,再作直線,從圖象可知函數(shù)在上遞增,上遞減,在上遞增,只有當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),所以13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)

16、遞增所以在區(qū)間恒成立,因?yàn)?所以在區(qū)間恒成立所以因?yàn)?所以所以的取值范圍是14已知, ,且在區(qū)間有最小值,無(wú)最大值,則 【答案】【解析】如圖所示,因?yàn)?且,又在區(qū)間內(nèi)只有最小值、無(wú)最大值,所以在處取得最小值,所以,所以又,所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí), ,此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有最大值,故15【江蘇省常熟市2018屆高三上學(xué)期期中】已知函數(shù)（）的圖象與軸相切，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為.（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值.【解析】（1）圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，的周期為，且，此時(shí)，又的圖象與軸相切，且，；（2）由（1）可得， 當(dāng)，即時(shí)， 有最大值為；當(dāng)，即時(shí)， 有最小值為0.16【江蘇省常熟中學(xué)2018屆高三10月階段性抽測(cè)】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式，并求出的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，再將圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，若存在使得等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）設(shè)函數(shù)的周期為，由圖可知，即，上式中代入，有，得， ，即， ，又，令，解得，即的遞增區(qū)間為；（2）經(jīng)過(guò)圖象變換，得到函數(shù)的解析式為，于是問(wèn)題即為“存在，使得等式成立”，即在上有解，令，即在上有解，其中，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17已知函數(shù).(1)若方程在上有解,求的取值范圍;(2)在中, 分別是