巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題

1、最新資料推薦巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題將一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的連線所組成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)法是在圖形具有公共端點(diǎn)的相等的線段特征時(shí)， 可以把圖形的某部分繞相等的線段的公共端點(diǎn)， 旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法，主要用途是把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)方法常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中?，F(xiàn)就旋轉(zhuǎn)法在幾何證題中的應(yīng)用舉例加以說明，供同學(xué)們參考。例 1 如圖 , 在 Rt ABC中， C=90， D是 AB 的中點(diǎn)， E，F(xiàn) 分別 AC和 BC上，且 DE DF，求證： EF2=A

2、E2+BF2分析：從 所證的結(jié)論來看，令人聯(lián)想到勾股定理，但注意到EF， AE， BF 三條線段不在同一個(gè)三角形中，由于 D 是中點(diǎn)，我們可以考慮以D 為旋轉(zhuǎn)中心，將BF 旋轉(zhuǎn)到和 AE相鄰的位置，構(gòu)造一個(gè)直角三角形，問題便迎刃而解。證明：延長(zhǎng) FD到 G，使 DG=DF，連接 AG， EG AD=DB， ADG= BDFC ADG BDF（ SAS） DAG=DBF， BF=AGEF AG BC C=90 EAG=90ADB22222 EG=AE +AG=AE+BF DE DFG EG=EF2 2 EF =AE +BF2例 2，如圖 2，在 ABC中， ACB=90， AC=BC， P 是

3、ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3， PB=1， PC=2，求BPC的度數(shù) .分析：題目已知條件中給出了三條線段的長(zhǎng)度和一個(gè)直角，但已知的三條線段不在同一三角形中，故可考慮通過旋轉(zhuǎn)變換移至一個(gè)三角形中，由于ACB是等腰直角三角形，宜以直角頂點(diǎn)C 為旋轉(zhuǎn)中心。解：作 MC CP，使 MC=CP，連接 PM， BM1最新資料推薦 ACB=90， PCM=90 1= 2 AC=BC， CAP CBM（ SAS） MB=AP=3 PC=MC， PCM=90 MPC=45MC由勾股定理 PM= PC 2MC 2=2PC 2=2 2 ，222 ）222P在 MPB中， PB +PM=（2+1 =9=BM MPB是直

4、角三角形AB BPC=CPM+ MPB=45 +90 =135例 3，如圖 3，直角三角形 ABC中， AB=AC， BAC=90 , EAF=45，求證： EF2=BE2+CF2分析：本題求證的結(jié)論和例1 十分相似，無(wú)法直接用勾股定理，可通過旋轉(zhuǎn)變換將BE， CF轉(zhuǎn)移到同一個(gè)直角三角形中，由于BAC是等腰直角三角形，不妨以A 為旋轉(zhuǎn)中心，將BAE和 CAF合在一起，取零為整。證明：過A 作 AP AE交 BC的垂線 CP于 P，連結(jié) PFA EAP=90， EAF=45 PAF=45 BAC=90 BAE= PAC AB=AC， B= ACB=ACP=45 ABE ACP（ ASA） PC=

5、AE，AP=AE AEF APF（ SAS） EF=PF222222故在 Rt PCF中， PF =CF+PC, 即 EF =CF+AE例 4，如圖 4，正方形 ABCD中， E，F(xiàn) 分別在 AD，DC上，且 EBF=45， BM EF 于 M，求證： BA=BM分析 : 本題與例 3相同之處在于直角三角形家夾有45角，可利用相同的方法，將ABE和 CBF“化散為整”來構(gòu)造全等三角形。N證明：延長(zhǎng) FC到 N，使 CN=AE，連結(jié) BNBCF2AED最新資料推薦四邊形ABCD是正方形 AB=AC， BAC=90 EBF=45 ABE+ CBF=45由 ABE CBN知 BE=BN， CBN=

6、ABE CBN+ CBF=45，即 EBF= NBF又 BE=BN，BF=BF EBF NBF（ SAS） BM=BCBM=BA例 5、如圖 6，五邊形 ABCDE中， AB AE， BC DE CD， ABC AED 180。求證： ADE ADC。解析：條件中有共點(diǎn)且相等的邊AE和 AB，可將 ADE以點(diǎn) A 為中心，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)BAE的角度到 AFB的位置，如圖7。這就使已知條件ABC AED 180和 BC DE CD 通過轉(zhuǎn)化得到集中，使解題思路進(jìn)一步明朗。由 ADE AFB，得 AED ABF， ADE AFB， ED BF， AF AD。由 ABC AED 180，得 ABC

7、ABF 180。所以 C、 B、 F 三點(diǎn)共線。又 CD BCDE BCBF CF，故 CFD CDF。由 AF AD，得到 DFAFDA。 ADE AFB CFD DFA CDF FDA ADC 。例 6、如圖， P 是等邊三角形 ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)， PA=2， PB=2 3 ，PC=4，求 ABC的邊長(zhǎng)。分析： PA、PB、 PC比較分散，可利用旋轉(zhuǎn)將PA、 PB、 PC放在一個(gè)三角形中，為此可將BPA繞 B點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60可得 BHC。解：把 BPA繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得到 BHC。因?yàn)?BP=BH， PBH=60所以 BPH是等邊三角形所以 BPH=60，所以BP=PH 2

8、3又因?yàn)?HC=PA=2， PC=4所以所以 HCP是 Rt ，所以 CHP=903最新資料推薦又因?yàn)?HC=2， PC=4所以 HPC=30又因?yàn)?BPH=60，所以 CPB=90在 Rt BPC中，=12+16=28,BC2 7 ，那么 ABC的邊長(zhǎng)為 2 7 。例 7、如圖 2， O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知：AOB=115， BOC=125，則以線段OA、 OB、OC為邊構(gòu)成三角形的各角度數(shù)是多少？解：可將 BOC繞 B點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60可得 BMA。因?yàn)?BO=BM， MBO=60所以 BOM是等邊三角形，所以 1=2=60又因?yàn)?AOB=115，所以 MOA=55又因?yàn)?A

9、MB= COB=125所以 AMO=65又因?yàn)?AM=OC， MO=BO所以 AMO正好是以AO、 OC、BO為邊組成的三角形，所以 MAO=180（ 55 +65） =180 120 =60即：以線段 OA、 OB、OC為邊構(gòu)成三角形的各角的度數(shù)分別為55、 65、 60。例 8、如圖 4，P 是正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將 ABP繞點(diǎn) B 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與CBP 重合，若PB=3，求 PP 的長(zhǎng)。分析：將 ABP繞點(diǎn) B 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與CBP 重合，實(shí)際上就是把ABP順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90可得CBP ，即PBP90。解：因?yàn)?BPBP ,PBP90。所以PP BP 2P B232323 2

10、 。4最新資料推薦例 9、如圖 5， P 為正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且 PA：PB： PC=1： 2： 3，求 APB的度數(shù)。分析： PA：PB： PC=1： 2： 3，不妨設(shè) PA=1，PB=2，PC=3，而這些條件較分散，可設(shè)法把PA、PB、PC相對(duì)集中起來即把BCP繞 B點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到 BAE。解：因?yàn)?BP=BE， PBE=90所以 PE 22222 ，所以 PE22又在 APE中， AECP 3, PA2PE 2AE 2即 12(22) 232所以 APE=90即 APB=90 +45 =135所以 APB=135。例 10、如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 1，AB、 AD上各存一點(diǎn) P、Q，若 APQ的周長(zhǎng)為 2，求 PCQ的度數(shù)。解：把 CDQ繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn) 90到 CBF的位置， CQ=CF。因?yàn)?AQ+AP+QP=2又 AQ+QD+AP+PB=2所以 QD+BP=QP又 DQ=BF，所以 PQ=PF所以QCPFCP所以 QCP= FCP又因?yàn)?QCF=90，所以 PCQ=45