離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量.ppt

1、一維隨機變量及其分布函數(shù) 一維離散型隨機變量的分布,一維隨機變量,定義,設(shè)隨機試驗的樣本空間 的每一個樣本點 均有唯一的實數(shù),與之對應(yīng)，稱 為 上的一維隨機變量。,如：擲骰子一顆，觀察其點數(shù)。,令 與之對應(yīng)，則,是一維隨機變量。,又如：觀察一電子元件的壽命。,樣本點 表示“壽命為 小時 ”,令 與之對應(yīng)，則,也是一維隨機變量。,一維隨機變量,引入隨機變量之后，事件可用“隨機變量屬于某個數(shù)集”去表示。,如：擲骰子一顆，觀察其點數(shù)。,表示“點數(shù)為 2，3，4?！?又如：觀察一電子元件的壽命。,表示“元件壽命不大于 1500 小時 ”,表示“元件壽命在 100 小時以上但不超出 1500 小時 ”,

2、隨機變量的分布反映了隨機事件出現(xiàn)的可能性的大小。,稱為 隨機變量的分布。,一維隨機變量的分布函數(shù),欲了解隨機事件出現(xiàn)的概率，即要了解隨機變量的分布狀況。,一般來講，要對任意的數(shù)集 都求出 是不實際的。,稱為 隨機變量的分布函數(shù)。,考察特殊的數(shù)集,記作,隨機變量的分布函數(shù)有以下重要性質(zhì)：,（單調(diào)非降）,記為,記為,是左連續(xù)的,隨機變量的分布函數(shù)有以下重要性質(zhì)：,例1：設(shè)在一個箱中有10件產(chǎn)品，其中2件次品，8件正品?，F(xiàn)隨機取三件，寫出“抽出次品數(shù)”的分布列與分布函數(shù)。,一維離散型隨機變量的分布,若離散型隨機變量X的所有可能取值為ai，而X取值ai的概 率為pi，即,如果隨機變量的所有取值是有限或

3、可數(shù)的，則稱之,為離散型隨機變量。,稱為隨機變量 的分布密度或分布律或概率分布或概率函數(shù)。,一維離散型隨機變量的分布密度有以下重要性質(zhì)：,或：,幾種常見的一維離散型隨機變量的分布律,二點分布 (0-1分布),定義： 若隨機變量X的分布律為:,則稱X服從參數(shù)為p 的二點分布或(0-1)分布,背景：樣本空間只有兩個樣本點的情況 ,都可以用兩點分布來 計算。如：拋硬幣一次。,設(shè)在一次試驗中事件出現(xiàn)的概率為,X 表示在 次貝努里試驗中出現(xiàn)的次數(shù)，X的分布律為：,此分布稱為二項分布。,記作,二項分布,例2 從一批由9件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到兩次次品的概率.,

4、解：有放回地抽取5件,可視為5重Bernoulli實驗,記X為共抽到的次品數(shù)，則,A=“一次實驗中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5 ，p=1/4,一級品數(shù) X 的分布密度。若取出的零件中有一級品，求恰有,例3 一大批零件的一級品率是 。從中任取 4 個，求取出的,解：由于零件數(shù)目很多，故可將取 4 個零件視作 4 次貝努里試驗。,即,一個一級品的概率。,故,所求概率為,若隨機變量 X 的分布密度是：,則稱 X 服從泊松分布，記作,泊松分布描述的是大量試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)的概率分布。,其中參數(shù) 正是試驗次數(shù)與事件的概率之乘積（即事件出現(xiàn)的 平均數(shù)）。所以它的一個重要應(yīng)用是,則近似地，有

5、,若,且 較大,（ ）， 較小,（ ）,即：,，其中：,例4 一臺儀器平均在1000個工作小時內(nèi)發(fā)生一次故障，,試求該儀器工作100個小時而無故障的概率。,解：設(shè) A 表示“儀器在一小時內(nèi)出故障”，則,令 X 表示 “100 個小時內(nèi) A 出現(xiàn)的次數(shù)”，則,近似,所求概率為：,由此可假設(shè)儀器在一小時內(nèi)不會出兩次及以上故障。,例5 某人騎摩托車上街,出事故率為0.02，獨立重復(fù)上街400次， 求出事故至少兩次的概率。,解：400次上街400重Bernoulii實驗,記X為出事故的次數(shù)，則,=1- e-8 - 8e-8,0.9972,P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1),結(jié)果表明，隨著實驗次

6、數(shù)的增多，小概率事件總會發(fā)生的！,=1-0.98 400-400（0.02)(0.98 399),0.9970,泊松定理,解：由,當(dāng) 時，,當(dāng) 時，,當(dāng) 時，,當(dāng) 時，,例6 設(shè)隨機變量 X 的分布律如下，求 及 X 的分布函數(shù)。,.綜上所述，,一維連續(xù)型隨機變量,若隨機變量的所有取值不是有限或可數(shù)的，則無法將,它的每一取值相應(yīng)的概率羅列出來，那么如何描述它的分布呢？,我們來考察一種重要且常見的隨機變量連續(xù)型隨機變量,連續(xù)型隨機變量的一個特點是可用區(qū)間 上的 曲邊梯形的面積表示隨機變量落在 上的概率。即：,（其中 I 是某一區(qū)間。）,一維連續(xù)型隨機變量,定義,若存在一非負(fù)函數(shù) ，使隨機變量 的

7、分布函數(shù),則稱 為連續(xù)型隨機變量，,稱為 的（概率）密度函數(shù)或分布密度。,一維連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)及密度函數(shù)的性質(zhì)：,設(shè)連續(xù)型隨機變量 的分布函數(shù)為 密度函數(shù)為,X在某區(qū)間的概率等于密度函數(shù)在此區(qū)間的定積分,當(dāng) 是 的連續(xù)點時，有,是連續(xù)函數(shù)。,當(dāng)x1時,當(dāng)1 x 5 時,例7：已知密度函數(shù)求分布函數(shù),已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,求 X 的分布函數(shù),當(dāng)x5時,所以,Step1: 利用密度函數(shù)的性質(zhì)求出 a,例8：已知密度函數(shù)求概率,Step2: 密度函數(shù)在區(qū)間的積分得到此區(qū)間的概率,例9：已知分布函數(shù)求密度函數(shù),（2)X 的密度函數(shù),（2）密度函數(shù)為,均勻分布,若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,則稱X在區(qū)間 （a，b）上服從均勻分布記為 X U (a, b),Uniform Distribution,定義,分布函數(shù),X“等可能”地取區(qū)間（a,b）中的值，這里的“等可能”理解為：X落在區(qū)間（a,b)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的。或者說它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。,意義,例10 102電車每5分鐘發(fā)一班，在任一時刻 某一乘客到了車站。求乘客候車時間不超過2分鐘的概率。,解：設(shè)隨機變量X為候車時間，X 服從（0，5）上的均勻分布,XU