高中數(shù)學(xué)-函數(shù)的周期性

1、高中數(shù)學(xué)函數(shù)的周期性一、知識(shí)回顧1周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期2最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期3關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論(1)若滿足，則，所以是函數(shù)的一個(gè)周期()；(2)若滿足，則 ，所以是函數(shù)的一個(gè)周期()；(3)若函數(shù)滿足，同理可得是函數(shù)的一個(gè)周期(). （4）如果是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為T，那么（5）函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱（6）函數(shù)圖像關(guān)于中心對(duì)稱（7）函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于

2、中心對(duì)稱二、方法規(guī)律技巧1求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如yAsin(x)，用公式T計(jì)算遞推法：若f(xa)f(x)，則f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期T2a.換元法：若f(xa)f(xa)，令xat，xta，則f(t)f(t2a)，所以周期T2a2判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題3根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期4.關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，

3、關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想三、例題講解：1、設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則2、已知f（x）是R上的奇函數(shù)，對(duì)xR都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，則f（2013）等于（）A2 B2 C1 D20133、定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)f，f(1)1，f(0)2，則f(1)f(2)f(2013)()A0 B2C1 D44、已知周期函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，周期為2，且當(dāng)1x1時(shí)，f(x)1x2.若直線yxa與曲線yf(x)恰有2個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合為()Aa|a2k

4、或2k，kZBa|a2k或2k，kZCa|a2k1或2k，kZDa|a2k1，kZ5、設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x)，其中a，bR.若ff，則a3b的值為_四、新題變式探究【變式一】已知定義在R上的函數(shù)滿足條件；對(duì)任意的，都有；對(duì)任意的；函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.則下列結(jié)論正確的是( )A. B.C. D.【變式二】設(shè)g(x)是定義在R上,以1為周期的函數(shù),若函數(shù)f(x)=x+g(x)在區(qū)間0,1上的值域?yàn)?2,5,則f(x)在區(qū)間0,3上的值域?yàn)?【綜合點(diǎn)評(píng)】充分利用周期函數(shù)的定義將所求函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的求值問題是解題關(guān)鍵五、易錯(cuò)試題常警惕易錯(cuò)典例1

5、：若函數(shù)f(x)在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k_.易錯(cuò)典例2：定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)正周期若將方程f(x)0在閉區(qū)間T，T上的根的個(gè)數(shù)記為n，則n可能為()A0 B1 C3 D5【變式】設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，是單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有之和為()A3B3 C8 D8練習(xí)：A基礎(chǔ)測(cè)試1.【江蘇省南京市2014屆高三9月學(xué)情調(diào)研】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則實(shí)數(shù)的值為 .2.【2014屆吉林市普通高中高中畢業(yè)班復(fù)習(xí)檢測(cè)】給出下列函數(shù)，其中是奇函數(shù)的是（ ）A. B. C. D. 3.【虹口區(qū)2013學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測(cè)試

6、題】已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿足 的實(shí)數(shù)的范圍是 4.【吉林市普通中學(xué)2013-2014學(xué)年度高中畢業(yè)班摸底測(cè)試?yán)怼浚?，則（ ）A. 0B. 3C. -1D. -25. 【安徽省示范高中2014屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】已知偶函數(shù)對(duì)任意均滿足，且當(dāng)時(shí)，則的值是 .B能力提升訓(xùn)練1. 【江西省2014屆高三新課程適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)】已知函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A9 B10 C11 D122. 【山西省忻州一中、康杰中學(xué)、臨汾一中、長治二中四校2014屆高三第二次聯(lián)考】定義在R上的奇函數(shù)滿足，且不等式在上恒成立，則函數(shù)=的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

7、 ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. 【廣東省中山市一中2014屆高三第二次統(tǒng)測(cè)】奇函數(shù)滿足對(duì)任意都有成立，且，則的值為（ ）A 2 B 4 C 6 D 84. 【廣東省廣州市海珠區(qū)2014屆高三入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)理試題】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，則的值為 （ ） 5【2014屆山東省日照市高三校際聯(lián)考】已函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),在上時(shí)（）求函數(shù)的解析式;（）解不等式C思維擴(kuò)展訓(xùn)練1. 【湖北孝感高中2014屆高三年級(jí)九月調(diào)研考試】已知是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且時(shí)，則時(shí)，=_2. 【2014屆新余一中宜春中學(xué)高三年級(jí)聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR都有f(x2)f(x)當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x2.若直線yxa與函數(shù)yf(x)的圖像在0,2內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是()()A0 B0或 C或 D0或3. 定義在上的奇函數(shù)，滿足，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況為（ ）A個(gè) B個(gè) C個(gè) D至少個(gè)4. 已知定義在R上的函數(shù)對(duì)任意的都滿足，當(dāng) 時(shí)，若函數(shù)至少6個(gè)零點(diǎn)