結構力學課件：第4章平面一般力系

1、第四章 平面一般力系,4-2 平面一般力系向一點簡化,4-3 分布荷載,4-4 平面一般力系的平衡條件,4-5 平面平行力系的平衡條件,4-6 物體系統(tǒng)的平衡問題,4 -7 滑動摩擦,4-1 力線平移定理,前 言,位于同一平面內(nèi)的諸力其作用線既不匯交于一點，也不互相平行的力系。,定義：,前 言,第四章 平面一般力系,工程計算中的很多實際問題都可以簡化為平面一般力系來處理。,圖4-1 鋼桁梁橋簡圖,圖4-1所示鋼桁梁橋簡圖，在初步分析時可簡化為平面一般力系。,第四章 平面一般力系,如圖4-2所示的屋架，它所承受的恒載、風載以及支座反力可簡化為平面一般力系。,圖4-2 屋架及計算簡圖,第四章 平面

2、一般力系,圖4-3所示的起重機簡圖，配重、荷載、自重、及支座反力可視為一個平面一般力系。,圖4-3 起重機簡圖,第四章 平面一般力系,4-1 力線平移定理,F,(a),A,B,d,F,F,(b),B,d,F,(c),圖4-4 力線平移定理的證明,定理 ：,作用在剛體上某點的力 F，可以平行移動到剛體上任意一點，但必須同時附加一個力偶，其力偶矩等于原來的力 F 對平移點之矩。,證明如下圖所示：,第四章 平面一般力系,F,(a),A,B,d,F,F,(b),B,d,F,(c),圖4-4 力線平移定理的證明,第四章 平面一般力系,可見，一個力可以分解為一個與其等值平行的力和一個位于 平移平面內(nèi)的力偶

3、。反之，一個力偶和一個位于該力偶作用 面內(nèi)的力，也可以用一個位于力偶作用面內(nèi)的力來等效替換。,如打乒乓球，若球拍對球作用的力其作用線通過球心（球的質(zhì)心），則球?qū)⑵絼佣恍D(zhuǎn)；但若力的作用線與球相切“削球”，則球?qū)a(chǎn)生平動和轉(zhuǎn)動。,第四章 平面一般力系,思考題4-1,用力線平移定理將圖(a)、(b)中各主動力分別平移到輪心，由此說明圖中的力對輪子的外效應有何不同？,第四章 平面一般力系,4-2 平面一般力系向一點簡化,設在某一剛體上作用著平面一般力系F1,F2,Fn ,如圖4-7 所示。顯然像平面匯交力系那樣，用力的平行四邊形法則來合成它很困難。,應用力線平移定理，將該力系中的各個力逐個向剛體上

4、的某一點O（稱為簡化中心）平移（圖4-8 b),再將所得的平面匯交力系和平面力偶系分別合成（圖4-8 c) 。過程為：,第四章 平面一般力系,圖4-8 平面一般力系的簡化,(4-2),第四章 平面一般力系,事實上，可直接用原力系F1，F(xiàn) 2，.F n 的各力作出力多邊形，力多邊形的封閉邊稱為原力系的主矢。 FR的大小和方向等于主矢，作用點在O點。,由此可見，主矢與簡化中心的位置無關。,(4-3),由此可見，MO一般與簡化中心的位置有關，它反映了原力系中各力的作用線相對于O點的分布情況，稱為原力系對O點的主矩。,第四章 平面一般力系,力系合成為一力偶，所以主矩與簡化中心的位置無關。,平面一般力系

5、的三種簡化結果：,1. 力系簡化為力偶,2. 力系簡化為合力,FR就是原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心。,(1),第四章 平面一般力系,力系仍可簡化為一個合力，但合力的作用線不通過簡化中心。,圖4-10 力系簡化為合力,(2),第四章 平面一般力系,3. 力系平衡,平面一般力系如果有合力，則合力對該力系作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各分力對該點之矩的代數(shù)和。,合力矩定理,第四章 平面一般力系,如下圖所示，顯然有,圖4-11 合力矩定理證明圖示,證明：,第四章 平面一般力系,例題4-1 圖示一塔示起重機。機架m1=50 t,重心在O點。已知起重機的最大起吊質(zhì)量m2=25 t,欲使起重機在空載

6、與滿載時都不會翻到，平衡錘的質(zhì)量m3 應如何？圖中 a =3 m , b =1.5 m, c =6 m, l =10 m。,機架重量、起吊重量及平衡錘重量分別為m1g 、m2g、 m3g，這是一個平面一般力系的特例平面平行力系。,解：,第四章 平面一般力系,FR 的方向鉛垂向下。,取坐標如圖，可知合力FR的投影為,合力的作用線與x 軸的交點的坐標設為x，由合力矩定理有,第四章 平面一般力系,式中x隨 m2、m3 而變，其他各量都是不變的。,(a),(1) 空載時，m2=0， x0, 由 (a) 式得,m1(a+b)-m3c0,第四章 平面一般力系,（2） 滿載時, m2=25 t , x a,

7、 由(a) 式得,欲使起重機不致翻倒，應有,36.11 tm337.5 t,為了保證安全，可取m3=36.537 t 。,第四章 平面一般力系,一平面力系向A、B兩點簡化的結果相同，且主矢和主矩都不為零，問是否可能？,圖 4-13,答：合力與兩點連線平行時可能。,思考題4-1,第四章 平面一般力系,在什么情況下，一平面力系向一點簡化所得的主矩為零？,思考題4-2,第四章 平面一般力系,有一平面一般力系向某一點簡化得到一合力，問能否另選適當?shù)暮喕行亩乖摿ο岛喕癁橐涣ε?？為什么?思考題4-3,第四章 平面一般力系,4-3 分布荷載,集中力或集中荷載：力或荷載的作用面積很小或與整個構件的尺寸相

8、比很小，可以認為集中作用在一點上。,例如，道路給輪子的力等。,第四章 平面一般力系,幾種分布荷載：,體分布荷載：荷載（力）分布在整個構件內(nèi)部各點上。例如，構件的自重等。,面分布荷載：分布在構件表面上。例如，風壓力、雪壓力等。,線分布荷載：荷載分布在狹長范圍內(nèi)，如沿構件的軸線分布。,(1) 集中荷載的單位，即力的單位 (N,kN)。,分布荷載的大小用集度表示，指密集程度。,1. 荷載的單位,第四章 平面一般力系,(2) 體分布荷載的單位： N/m3 ， (3) 面分布荷載的單位： N/m2 ， (4) 線分布荷載的單位： N/m 。,(1) 均布荷載：集度為常數(shù)的分布荷載。,例如圖中的均布荷載的

9、合力為：,其作用線通過梁的中點。,1. 分布荷載的計算方法,第四章 平面一般力系,如壩體所受的水壓力等。,(2) 非均布荷載：荷載集度不是常數(shù)。,第四章 平面一般力系,例4-2 求圖示梁上分布荷載的合力。,解： 取坐標系如圖所示。在x處取一微段，其集度為,微段上的荷載為：,以A為簡化中心，有,第四章 平面一般力系,C,由此可見，分布荷載合力的大小等于荷載集度圖的面積。合力作用線的位置為：,第四章 平面一般力系,C,例4-3 已知水壩的壩前水深 h=10 m,求1 m長的壩面上水壓力的合力之大小和作用線的位置。,第四章 平面一般力系,解：在深度為y處，水的壓強,取1 m 長的壩考慮時，作用于把壩

10、面的水壓力可以簡化為沿壩面中心線平行分布的線荷載。,第四章 平面一般力系,該分布荷載是三角形分布的，其合力大小為三角形的面積，作用線在距底邊2/3處。,第四章 平面一般力系,4-4 平面一般力系的平衡條件,平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢和對任意一點的主矩都為零。,平面一般力系的平衡方程為：,第四章 平面一般力系,例4-4 圖示一懸臂式起重機簡圖，A、B、C處均為光滑鉸鏈。水平梁AB自重 P = 4 kN,荷載F =10 kN,有關尺寸如圖所示，BC桿自重不計。求BC桿所受的拉力和鉸鏈A給梁的約束力。,第四章 平面一般力系,解：（1）取AB梁為研究對象。 （2）畫受力圖。,未知量三

11、個：FAx、FAy、FT ，,獨立的平衡方程數(shù)也是三個。,（3）列平衡方程，選坐標如圖所示。,第四章 平面一般力系,由（3）解得,以FT之值代入（1）、（2）， 可得：,第四章 平面一般力系,FAx=16.5 kN, FAy=4.5 kN。,即鉸鏈A的反力及與x軸正向 的夾角為：,如果例4-4中的荷載F可以沿AB梁移動，問：荷載F在什么位置時桿BC所受的拉力FT最大？其值為多少？,思考題4-4,第四章 平面一般力系,看可否求出FT、FAx、FAy；,（1）由右圖所示的受力圖，試按,思考題4-5：,（2）由右圖所示的受力圖，試按,第四章 平面一般力系,看可否求出FT、FAx、FAy；,（3）由右

12、圖所示的受力圖，試按,看可否求出FT、FAx、FAy；,第四章 平面一般力系,平面一般力系平衡方程的其他形式：,1. 二矩式,注意：A、B兩點連線不垂直于x軸。,第四章 平面一般力系,3. 三矩式,注意：A、B、C三點不在一條線上。,第四章 平面一般力系,由右圖所示的受力圖，可否列出下列四個獨立的平衡方程？,為什么其中必有一個是從屬的？,思考題4-6,第四章 平面一般力系,例4-5 圖示簡支梁AB。梁的自重及各處摩擦均不計。試求A和B處的支座反力。,例 4-5的圖,解：(1) 選AB梁為研究對象。 (2) 畫受力圖如右圖所示。 (3) 取坐標如圖。,第四章 平面一般力系,（4）列平衡方程,解得

13、,第四章 平面一般力系,在例4-5中，試以下列三個方程求解，看會有什么問題，并說明原因。,思考題4-7：,第四章 平面一般力系,4-5 平面平行力系的平衡條件,平面平行力系：,圖示一受平面平行力系作用的物體，如選軸與各力作用線垂直，顯然有：,各力的作用線在同一平面內(nèi)且互相平行的力系。,平面平行力系的平衡條件為：,第四章 平面一般力系,即平面平行力系平衡的充要條件是：力系中各力的代數(shù)和以及各力對任一點之矩的代數(shù)和都為零。,平面平行力系平衡方程的二矩式,注意：A、B兩點的連線不能與各力的作用線平行。,第四章 平面一般力系,例4-6 在例4-1中，設m2=20 t,m3=37 t,其他數(shù)據(jù)同題4-1

14、。即，a =3 m,b =1.5 m，c =6 m,l =10 m,求左右兩軌的反力。,解：畫出起重機的受力圖。可見它受到的是一個平面平行力系。,取坐標如圖，列平衡方程,第四章 平面一般力系,得,其中,第四章 平面一般力系,求出的左右軌的反力均不為負值，可見所取平衡錘的質(zhì)量可以保證安全。,第四章 平面一般力系,圖示的連續(xù)梁，約束力有哪幾個？求解約束力時有幾個獨立的未知量？能夠列幾個獨立的平衡方程？,思考題4-8,第四章 平面一般力系,靜定和超靜定的概念：,靜定問題：一個靜力平衡問題，如果未知量的數(shù)目正好等于獨立的平衡方程數(shù)，單用平衡方程就能解出這些未知量。,第四章 平面一般力系,超靜定問題：一

15、個靜力平衡問題，如果未知量的數(shù)目超過獨立的平衡方程數(shù)目，用剛體靜力學方法就不能解出所有的未知量。,第四章 平面一般力系,注意：判斷問題是否靜定，不能單純從未知量的數(shù)目來考慮，還應對問題多作具體分析。,分析圖中的梁可知，雖然平衡方程數(shù)等于未知量數(shù)，實際上它不能平衡。,第四章 平面一般力系,平面匯交力系的平衡方程可否用一個投影式、一個力矩式？或兩個都用力矩式？如果可以用，有什么限制條件？為什么要附加這種條件？,思考題4-9,第四章 平面一般力系,平面一般力系的平衡方程能否用三個投影式？為什么？,思考題4-10,第四章 平面一般力系,平面平行力系的平衡方程能否用兩個投影式？為什么？,？,思考題4-1

16、1,第四章 平面一般力系,平面力偶系的平衡方程能否用投影式？為什么？,M=M1+ M2+ + Mn =0 , 或 M=M=0,平面力偶系圖式,思考題4-12,第四章 平面一般力系,4-6 物體系統(tǒng)的平衡問題,物體系：由幾個物體通過一定的約束方式聯(lián)系在一起的系統(tǒng)。,第四章 平面一般力系,1. 內(nèi)力和外力,外力：系統(tǒng)以外的物體給所研究系統(tǒng)的力。 內(nèi)力：在系統(tǒng)內(nèi)部，各個物體之間，或一個物體的這一 部分與另一部分之間，相互作用的力。,第四章 平面一般力系,2. 物體系平衡問題的靜定或超靜定,物體系是由幾個物體組成，可分別分析各個物體的受力情況，畫出受力圖。,若未知量總數(shù)超過獨立的平衡方程總數(shù)，則問題是

17、超靜定的。,總計獨立平衡方程數(shù)，與問題中未知量的總數(shù)相比較。,根據(jù)受力圖的力系類型，可知各有幾個獨立的平衡方程，如平面一般力系有三個獨立的平衡方程等。,若未知量總數(shù)小于獨立的平衡方程總數(shù)，則系統(tǒng)可能不平衡，而若計算表明，所有的平衡方程都能滿足，則說明系統(tǒng)處于平衡，但題給的條件有些是多余的或系統(tǒng)的結構是不,第四章 平面一般力系,若未知量總數(shù)正好等于獨立的平衡方程總數(shù)，則問題是靜定的。,穩(wěn)固的。,注意：,(1) 在總計獨立的平衡方程數(shù)時，應分別考慮系統(tǒng)中每一個物 體，而系統(tǒng)的整體則不應再加考慮。因為系統(tǒng)中每一個物 體既已處于平衡，整個系統(tǒng)當然處于平衡，其平衡方程可 由各個物體的平衡方程推出，因而是

18、不獨立的。,(2) 在求解物體系的平衡問題時，不僅要研究整體，還要研究 局部個體，才能使問題得到解決。應該從未知量較少或未 知量數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)的受力圖開始，逐步求解。,第四章 平面一般力系,例4-7 求圖示多跨靜定梁的支座反力。梁重及摩擦均不計。,第四章 平面一般力系,分析：未知量9個，5個支座反力，處鉸鏈反力各2個，共9個未知量?？紤]3個梁的平衡，共有9個獨立的平衡方程。,解：（1）研究EG梁,第四章 平面一般力系,由對稱關系得：,（2）研究CE梁,第四章 平面一般力系,（3）研究AC梁,第四章 平面一般力系,第四章 平面一般力系,思考題4-13 若將A處改為活動鉸支座，則未知量數(shù)目

19、為8個，但在圖示荷載下仍能平衡。當主動力的合力在x軸上的投影不為零時，系統(tǒng)能否平衡？,第四章 平面一般力系,例4-8 圖示三鉸拱上，作用著均勻分布于左半跨內(nèi)的鉛直荷載，其集度為q (kN/m),拱重及摩擦均不計。求鉸鏈A、B處的反力。,第四章 平面一般力系,解：（1）研究整體其受力如圖所示。,第四章 平面一般力系,（2）研究AC,并畫其受力圖。,第四章 平面一般力系,系統(tǒng)整體是平衡的，其每個局部也是平衡的。,習題：用另一種方法解例4-8。,第四章 平面一般力系,思考題4-14 判斷圖中受力圖是否正確？,?,第四章 平面一般力系,由左半部分受力圖可知，AC不能平衡，(a)圖是錯的。,第四章 平面

20、一般力系,4 -7 滑動摩擦,一切物體都具有不同程度的粗糙面，當物體沿支承面運動時，由于接觸面間的凹凸不平，就產(chǎn)生了對運動的阻力，這種阻力稱為摩擦力。,2. 摩擦力也可分為靜摩擦和動摩擦。,(1) 靜摩擦：兩物體仍保持靜止僅有相對運動的趨勢 時的摩擦。,1. 摩擦力分為滑動摩擦和滾動摩擦。 (1) 滑動摩擦：相對運動為滑動或具有滑動趨勢。 (2) 滾動摩擦：相對運動為滾動或具有滾動趨勢。,第四章 平面一般力系,(2) 動摩擦：兩物體有相對運動時的摩擦。,本節(jié)討論靜滑動摩擦的情形，且只討論干摩擦的問題，研究具有靜滑動摩擦的平衡問題。,圖中為一放置在水平的粗糙面上的物體。分析它在幾種情況下的受力圖

21、：,第四章 平面一般力系,3. 具有滑動摩擦的平衡問題,考慮摩擦的平衡問題的解法與沒有摩擦的平衡問題一樣，其特點是：,（1）受力分析時應考慮摩擦力，摩擦力的方向與相對滑動 的趨勢方向相反；,（2） 除滿足力系的平衡條件外，各處的摩擦力必須滿足摩 擦力的物理條件，即,（3）平衡問題的解一般是以不等式表示的一個范圍，稱為 平衡范圍。,第四章 平面一般力系,例4-9 重量為 P 的物體置于斜面上，如圖所示。已知物塊與斜面之間的靜摩擦系數(shù) f s，問：,(1) 斜面的傾角j 增大到多少時（以j1表示），物塊將下滑？,第四章 平面一般力系,（2）在jj1的情況下，須在物 塊上沿斜面至少施加多大 的力FT 才能使物塊下滑？,（3）欲使物體沿斜面向上滑動， 須在物塊上沿斜面至少施 加多大的力FT？,第四章 平面一般力系,解：（1