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文檔簡介
1、第3講圓錐曲線中的熱點問題【高考考情解讀】縱觀近幾年高考,解析幾何是重要內容之一,所占分值在30分以上,大題小題同時有,除了本身知識的綜合,還會與其它知識如向量、函數(shù)、不等式等知識構成綜合題,多年高考壓軸題是解析幾何題.1.填空題主要考查圓錐曲線的幾何性質,三種圓錐曲線都有可能涉及.2.在解答題中主要考查圓、直線、橢圓的綜合問題,難度較高,還有可能涉及簡單的軌跡方程和解析幾何中的開放題、探索題、證明題,重點關注定點、定值及最值、范圍問題1 直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與橢圓的位置關系的判定方法:將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),得到一個一元二次方程若0,則直線與橢圓相交;若0,則
2、直線與橢圓相切;若0時,直線與雙曲線相交;當0時,直線與雙曲線相切;當b0)的離心率為,右焦點(2,0),斜率為1的直線l與橢圓G交于A,B兩點,以AB為底邊作等腰三角形,頂點為P(3,2)(1)求橢圓G的方程;(2)求PAB的面積解(1)由已知得c2,.解得a2,又b2a2c24.所以橢圓G的方程為1.(2)設直線l的方程為yxm.由得4x26mx3m2120.設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)(x10.由根與系數(shù)的關系得,x1x2,x1x2,因為x軸是PBQ的角平分線,所以,即y1(x21)y2(x11)0,(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0,2kx1x2(bk
3、)(x1x2)2b0將,代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0,kb,此時0,直線l的方程為yk(x1),即直線l過定點(1,0)考點三圓錐曲線中的最值范圍問題例3(2013浙江)如圖,點P(0,1)是橢圓C1:1(ab0)的一個頂點,C1的長軸是圓C2:x2y24的直徑l1,l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點,l2交橢圓C1于另一點D.(1)求橢圓C1的方程;(2)求ABD面積取最大值時直線l1的方程解(1)由題意得所以橢圓C1的方程為y21.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)由題意知直線l1的斜率存在,不妨設其為k,則直線l1的方
4、程為ykx1.又圓C2:x2y24,故點O到直線l1的距離d,所以AB22.又l2l1,故直線l2的方程為xkyk0.由消去y,整理得(4k2)x28kx0,故x0.所以PD.設ABD的面積為S,則SABPD,所以S,當且僅當k時取等號所以所求直線l1的方程為yx1. 求最值及參數(shù)范圍的方法有兩種:根據(jù)題目給出的已知條件列出一個關于參數(shù)的函數(shù)關系式,將其代入由題目列出的不等式(即為消元),然后求解不等式;由題目條件和結論建立目標函數(shù),進而轉化為求函數(shù)的值域 已知橢圓C1與拋物線C2的焦點均在x軸上且C1的中心和C2的頂點均為坐標原點O,從每條曲線上的各取兩個點,其坐標如下表所示:x14y306
5、1(1)求C1,C2的標準方程;(2)過點A(m,0)作傾斜角為的直線l交橢圓C1于C,D兩點,且橢圓C1的左焦點F在以線段CD為直徑的圓的外部,求m的取值范圍解(1)先判斷出(,0)在橢圓上,進而斷定點(1,3)和(4,6)在拋物線上,故(,1)在橢圓上,所以橢圓C1的方程為1,拋物線C2的方程為y29x.(2)設C(x1,y1),D(x2,y2),直線l的方程為y(xm),由消去y整理得2x22mxm260,由0得4m28(m26)0,即2m0,又F(2,0),即(x12,y1)(x22,y2)x1x22(x1x2)y1y240.整理得m(m3)0,即m0.由可得m的取值范圍是(2,3)(
6、0,2)1 求軌跡與軌跡方程的注意事項(1)求軌跡方程的關鍵是在紛繁復雜的運動變化中,發(fā)現(xiàn)動點P的運動規(guī)律,即P點滿足的等量關系,因此要學會動中求靜,變中求不變(2)求出軌跡方程后,應注意檢驗其是否符合題意,既要檢驗是否增解(即以該方程的某些解為坐標的點不在軌跡上),又要檢驗是否丟解(即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示)檢驗方法:研究運動中的特殊情形或極端情形2 定點、定值問題的處理方法定值包括幾何量的定值或曲線過定點等問題,處理時可以直接推理求出定值,也可以先通過特定位置猜測結論后進行一般性證明對于客觀題,通過特殊值法探求定點、定值能達到事半功倍的效果3 圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法
7、(1)幾何法:若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質來解決;(2)代數(shù)法:若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系,則可首先建立起目標函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮:利用判別式來構造不等關系,從而確定參數(shù)的取值范圍;利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關系;利用隱含或已知的不等關系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍;利用函數(shù)的值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.設直線l:yk(x1)與橢圓x23y2a2(a0)相交于A、B兩個不同的點,與x軸相交于點C
8、,記O為坐標原點(1)證明:a2;(2)若2,求OAB的面積取得最大值時的橢圓方程(1)證明依題意,直線l顯然不平行于坐標軸,故yk(x1)可化為xy1.將xy1代入x23y2a2,消去x,得y21a20,由直線l與橢圓相交于兩個不同的點,得4(1a2)0,整理得a23,即a2.(2)解設A(x1,y1),B(x2,y2),由,得y1y2,因為2,得y12y2,代入上式,得y2.于是,OAB的面積SOC|y1y2|y2|.其中,上式取等號的條件是3k21,即k.由y2,可得y2.將k,y2及k,y2這兩組值分別代入,均可解出a25.所以,OAB的面積取得最大值時的橢圓方程是x23y25.(推薦
9、時間:70分鐘)一、填空題1 已知方程1(kR)表示焦點在x軸上的橢圓,則k的取值范圍是_答案1k3解析若橢圓焦點在x軸上,則,解得1k4,即|y02|4,又y00,y02.3 若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則的最大值為_答案6解析設P(x0,y0),則1,即y3,又因為F(1,0),所以x0(x01)yxx03(x02)22,又x02,2,即2,6,所以()max6.4 直線ykx1與橢圓1恒有公共點,則m的取值范圍是_答案m1且m5解析方程1表示橢圓,m0且m5.直線ykx1恒過(0,1)點,要使直線與橢圓總有公共點,應有:1,m1,m的取值范圍是m1且m
10、5.5 設F1、F2為橢圓y21的左、右焦點,過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P,Q兩點,當四邊形PF1QF2面積最大時,12的值等于_答案2解析易知當P,Q分別在橢圓短軸端點時,四邊形PF1QF2面積最大此時,F(xiàn)1(,0),F(xiàn)2(,0),不妨設P(0,1),1(,1),2(,1),122.6 直線3x4y40與拋物線x24y和圓x2(y1)21從左到右的交點依次為A,B,C,D,則的值為_答案解析由得x23x40,xA1,yA,xD4,yD4,直線3x4y40恰過拋物線的焦點F(0,1),且該圓圓心為F(0,1),AFyA1,DFyD15,.7 已知雙曲線x21上存在兩點M,N關于直線yxm對
11、稱,且MN的中點在拋物線y218x上,則實數(shù)m的值為_答案0或8解析設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點P(x0,y0),則由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1),顯然x1x2.3,即kMN3,M,N關于直線yxm對稱,kMN1,y03x0,又y0x0m,P,代入拋物線方程得m218,解得m0或8,經(jīng)檢驗都符合8 已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點,左、右焦點分別為F1、F2,且兩條曲線在第一象限的交點為P,PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形,若PF110,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,則e1e2的取值范圍是_答案(,)解析設橢圓與雙曲線的半焦距為c,
12、PF1r1,PF2r2.由題意知r110,r22c,且r1r2,2r2r1,2c10,c51.9 已知拋物線方程為y24x,直線l的方程為xy40,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2,則d1d2的最小值為_答案1解析過點P作拋物線的準線的垂線,垂足為A,交y軸于B,由拋物線方程為y24x得焦點F的坐標為(1,0),準線為x1,則由拋物線的定義可得d1d2PAABd2PF1d2,PFd2大于或等于焦點F點P到直線l,即PFd2的最小值為,所以d1d2的最小值為1.二、解答題10已知直線x2y20經(jīng)過橢圓C:1(ab0)的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點為B,點S是橢
13、圓C上位于x軸上方的動點,直線AS,BS與直線l:x分別交于M,N兩點(1)求橢圓C的方程;(2)求線段MN的長度的最小值解(1)如圖,由題意得橢圓C的左頂點為A(2,0),上頂點為D(0,1),即a2,b1.故橢圓C的方程為y21.(2)直線AS的斜率顯然存在且不為0,設直線AS的方程為yk(x2)(k0),解得M(,),且將直線方程代入橢圓C的方程,得(14k2)x216k2x16k240.設S(x1,y1),由根與系數(shù)的關系得(2)x1.由此得x1,y1,即S(,)又B(2,0),則直線BS的方程為y(x2),聯(lián)立直線BS與l的方程解得N(,)MN2.當且僅當,即k時等號成立,故當k時,
14、線段MN的長度的最小值為.11在平面直角坐標系中,點P(x,y)為動點,已知點A(,0),B(,0),直線PA與PB的斜率之積為.(1)求動點P的軌跡E的方程;(2)過點F(1,0)的直線l交曲線E于M,N兩點,設點N關于x軸的對稱點為Q(M、Q不重合),求證:直線MQ過x軸上一定點(1)解由題意知:.化簡得y21(y0)(2)證明方法一設M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,y2),l:xmy1,代入y21(y0)整理得(m22)y22my10.y1y2,y1y2,MQ的方程為yy1(xx1),令y0,得xx1my1112.直線MQ過定點(2,0)方法二設M(x1,y1),N(x2,
15、y2),Q(x2,y2),l:yk(x1),代入y21(y0)整理得(12k2)x24k2x2k220,x1x2,x1x2,MQ的方程為yy1(xx1),令y0,得xx1x12.直線MQ過定點(2,0)12設橢圓C:1(ab0)的離心率e,左頂點M到直線1的距離d,O為坐標原點(1)求橢圓C的方程;(2)設直線l與橢圓C相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點,證明:點O到直線AB的距離為定值;(3)在(2)的條件下,試求AOB的面積S的最小值(1)解由e,得ca,又b2a2c2,所以ba,即a2b.由左頂點M(a,0)到直線1,即bxayab0的距離d,得,即,把a2b代入上式,得,解得b1.所以a2b2,c.所以橢圓C的方程為y21.(2)證明設A(x1,y1),B(x2,y2),當直線AB的斜率不存在時,則由橢圓的對稱性,可知x1x2,y1y2.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點,故0,即x1x2y1y20,也就是xy0,又點A在橢圓C上,所以y1,解得|x1|y1|.此時點O到直線AB的距離d1|x1|.當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為ykxm,與橢圓方程聯(lián)立有消去y,得(14k2)x28kmx4m240,所以x1x2,x1x2.因為以
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