初中數學課件,直角三角形

1、初中數學課件,直角三角形專題18 直角三角形 閱讀與思考從代數角度，考察方程的正整數解，古希臘人找到了這個方程的全部整數解： 其中，是自然數，一奇一偶. 17世紀，法國數學家提出猜想：當時，方程無正整數解. 1994年，美國普林斯頓大學教授維爾斯證明了費爾馬猜想. 直角三角形是一類特殊三角形，有以下豐富的性質： 角的關系：兩銳角互余； 邊的關系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和； 邊角關系：所對的直角邊等于斜邊的一半. 這些性質廣泛應用于線段計算、證明線段倍分關系、證明線段平方關系等方面. 在現階段，勾股定理是求線段的長度的主要方法，若圖形缺少條件直角條件，則可通過作輔助垂線的方法，構造直角三角

2、形為勾股定理的應用創(chuàng)造必要條件；運用勾股定理的逆定理，通過代數方法計算，也是證明兩直線垂直的一種方法. 熟悉以下基本圖形基本結論： 例題與求解 例l（1）直角ABC三邊的長分別是，和5，則ABC的周長_.ABC的面積_. （2）如圖，已知RtABC的兩直角邊AC5，BC12，D是BC上一點，當AD是A的平分線時，則CD_. （太原市競賽試題） 解題思路：對于（1），應分類討論；對于（2），能在RtACD中求出CD嗎？從角平分線性質入手. 例2如圖所示的方格紙中，點A，B，C，都在方格線的交點，則ACB（ ） A.120 B.135 C.150 D.165 （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：方

3、格紙有許多隱含條件，這是解本例的基礎. 例3如圖，P為ABC邊BC上的一點，且PC2PB，已知ABC45，APC60，求ACB的度數. （“祖沖之杯”邀請賽試題） 解題思路：不能簡單地由角的關系推出ACB的度數，綜合運用條件PC2PB及APC60，構造出含30的直角三角形是解本例的關鍵. 例4如圖，在ABC中，C90，A30，分別以AB，AC為邊在ABC的外側作等邊ABE和等邊ACD，DE與AB交于F，求證：EFFD. （上海市競賽試題） 解題思路：已知FD為RtFAD的斜邊，因此需作輔助線，構造以EF為斜邊的直角三角形，通過全等三角形證明. 例5在證明含有線段平方之間的和（差）關系時，常常要

4、聯想到勾股定理，若圖中缺少直角條件，則可通過作輔助線，構造直角三角形. 如圖，在四邊形ABCD中，ABC30，ADC60，ADCD，求證： （北京市競賽試題） 解題思路：由待證結論易聯想到勾股定理，因此，三條線段可構成直角三角形，應設法將這三條線段集中在同一三角形中. 例6在運用勾股定理時，常常對進行變形，運用乘法公式、整數與方程知識綜合求解. 斯特瓦爾特定理： 如圖，設D為ABC的邊BC上任意一點，a，b，c為ABC三邊長，則.請證明結論成立. 解題思路：本題充分體現了勾股定理運用中的數形結合思想. 能力訓練 A級 1.在很多情況下，需要由線段的數量關系去判斷線段的垂直位置關系，這就要熟悉一

5、些常用的勾股數組. 如圖，D為ABC的邊BC上一點，已知AB13，AD12，AC15，BD5，則BC_. 2.如圖，在RtABC中C90，BE平分ABC交AC于E，DE是斜邊AB的垂直平分線，且DE1cm，則AC_cm. 3.如圖，四邊形ABCD中，已知ABBCCDDA2231，且B90，則DAB_. （上海市競賽試題） 4.如圖，在ABC中，AB5，AC13，邊BC上的中線AD6，則BC的長為_. （湖北省預賽試題） 5.如果一個三角形的一條邊是另一條邊的2倍，并且有一個角是30 ，那么這個三角形的形狀是（ ） A.直角三角形 B. 鈍角三角形 C. 銳角三角形 D.不能確定 （山東省競賽試

6、題） 6.如圖，小正方形邊長為1，連結小正方形的三個頂點可得ABC，則AC邊上的高為（ ） A. B. C. D. （福州市中考試題） 7.如圖，一個長為25分米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯足距墻底端7分米，如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯足將滑（ ） A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米 8.如圖，在四邊形ABCD中，BD90，A60，AB4，AD5，那么等于（ ） A.1 B. 2 C. D. 9. 如圖，ABC中，ABBCCA，AECD，AD，BE相交于P，BQAD于Q，求證：BP2PQ. （北京市競賽試題） 10. 如圖，ABC中，ABAC. （1）若P是

7、BC邊上中點，連結AP，求證： （2）P是BC邊上任意一點，上面的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； （3）若P是BC邊延長線上一點，線段AB，AP，BP，CP之間有什么樣的關系？請證明你的結論. 11.如圖，直線OB是一次函數圖象，點A的坐標為（0，2），在直線OB 上找點C，使得ACO為等腰三角形，求點C的坐標. 12.已知：如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在處，交AD于E，AD8，AB4，求BED的面積. （山西省中考試題） B級 1.若ABC的三邊a,b,c滿足條件：，則這個三角形最長邊上的高為_. 2.如圖，在等腰RtABC中，A90，P是ABC內的一

8、點，PA1，PB3，PC，則CPA_. 3. 在ABC中，AB15，AC13，高AD12，則ABC的周長為_. 4.如圖，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，則CF與GB的大小關系是（ ） A. CFGB B. CFGB C. CFGB D. 無法確定 5. 在ABC中，B是鈍角，AB6，CB8，則AD的范圍是（ ） A. 8AC10 B. 8AC14 C. 2AC14 D. 10AC14 （江蘇省競賽試題） 6.滿足兩條直角邊長均為整數，且周長恰好等于面積的整數倍的直角三角形的個數有（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個

9、D.4個 （浙江省競賽試題） 7.如圖，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點，E，F分別是AB，AC邊上的點，且DEDF，若BE12，CF5，求DEF的面積. （四川省聯賽試題） 8.如圖，在RtABC中，A90，D為斜邊BC中點，DEDF，求證： （江蘇省競賽試題） 9.探索性試題是指問題中的題設條件或結論不完整，從而有深入探討的余地，存在型命題的探索，是給定條件后，判斷所研究的對象是否存在. 周長為6，面積為整數的直角三角形是否存在？若不存在，請給出證明；若存在，請證明有幾個. （全國聯賽試題） 10.如圖，在ABC中，BAC45，ADBC于D，BD3，CD2，求ABC面積. （天津市競賽試題） 11.如圖，在ABC中，BAC90，ABAC，E，F分別是BC上兩點，若EAF45，