蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上第一章《全等三角形》解答題培優(yōu)訓(xùn)練

1、蘇科版八上第一章全等三角形解答題培優(yōu)訓(xùn)練（一） 班級(jí)：_姓名：_得分：_一、解答題 1. (本題滿分8分)如圖，平面內(nèi)有線段AB和一點(diǎn)P.按照要求，用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，請(qǐng)保留作圖痕跡(1)在圖1中求作ABC，使AC=AB，且使點(diǎn)P到AB和AC的距離相等；(2)在圖2中求作ABC，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離相等，且使ACB=12APB2. 如圖，ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上將ABC向左平移1格，再向上平移3格(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出平移后的ABC(2)利用網(wǎng)格在圖中畫出ABC的高CD和中線AE(3)圖中BC與BC的關(guān)系是：_；(4)在平移過程中線段AC所掃過的面積為_3. 已知四邊形ABCD中，

2、ABAD，BCCD，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC(或它們的延長(zhǎng)線)于E，F(xiàn)(1)當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)(如圖1)，求證：AE+CF=EF(2)當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明小明第(1)問的證明步驟是這樣的：延長(zhǎng)DC到Q使CQ=AE，連結(jié)BQ，證出BAEBCQ得到BE=BQ，ABE=CBQ；再證BEFBQF，得到EF=FQ，證出EF=CF+CQ，即EF=CF+AE請(qǐng)你仿照小明的證題步驟完成第(

3、2)問的證明4. 如圖，在ABC中，點(diǎn)E和點(diǎn)F在邊BC上，連接AE，AF，使得EAC=ECA，BAE=2CAF(1)如圖1，求證：BAF=BFA；(2)如圖2，在過點(diǎn)C且與AE平行的射線上取一點(diǎn)D，連接DE，若AED=B，求證：BE=CD；(3)如圖3，在(2)的條件下，當(dāng)AEBC時(shí)，連接AD，過點(diǎn)A作AGAE且AG=CD，連接CG.過點(diǎn)E作EHAD于點(diǎn)H，EH交CG于點(diǎn)Q，若EQ=16，QH=9，求CE的長(zhǎng)5. (1)如圖1中，ABC=90，AB=BC，點(diǎn)B在直線上L上，過A、C兩點(diǎn)作直線L的連線段垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E，求證：ADBBEC；(2)如圖2，ABC中，ACB=90，AC=6，BC

4、=8，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A-C-B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B-C-A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)，點(diǎn)P與Q分別以1和3的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和Q作PEl于E，QF垂直l于F.問：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，PEC與QFC全等？請(qǐng)說明理由6. 如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=120，AB=2，CGBA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上(1)如圖1，該直角三角尺的另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求證：BF=CG；(2)當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與線段AC邊在同

5、一直線上，另一條直角邊交段線BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE丄BA于點(diǎn)E，DHCG于點(diǎn)H求證：DF=CH；猜想并寫出DE、DF、CG三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(3)當(dāng)三角尺沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置(點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合)時(shí)，求出點(diǎn)D到AB、AC邊的距離之和(不要解答過程，直接寫出結(jié)果)7. 如圖1，ABC中，AB=AC，BAC=90，D在ABC外，連BD、CD、AD，ADC=45(1)求證：BDCD；(2)如圖2，點(diǎn)P在AD上，連BP，BP平分CBD，求證：AP=AC；(3)如圖3，在(2)的條件下，過C作AC的垂線交AD于T，點(diǎn)Q在AC上，BQA=PQC，TC

6、=PQ=3，求AT的長(zhǎng)8. 【提出問題】我們已經(jīng)知道了三角形全等的判定方法(SAS,ASA，AAS，SSS)和直角三角形全等的判定方法(HL)，請(qǐng)你繼續(xù)對(duì)“兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形(SSA)”的情形進(jìn)行探究【探索研究】已知：在ABC和DEF中，AB=DE，AC=DF，B=E(1)如圖，當(dāng)B=E=90時(shí)，根據(jù)_，可知RtABCRtDEF；(2)如圖，當(dāng)B=E90時(shí)，ABC與DEF是否全等？若全等，請(qǐng)加以證明：若不全等，請(qǐng)舉出反例【歸納總結(jié)】(4)如果兩個(gè)三角形的兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等，那么當(dāng)這組對(duì)角是_時(shí)，這兩個(gè)三角形一定全等(填序號(hào))銳角；直角；鈍角9.

7、閱讀下面材料，完成(1)-(3)題數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，點(diǎn)E是正ABC邊AC上一點(diǎn)以BE為邊做正BDE，連接CD.探究線段AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自已的想法：小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)ABE與DBC相等”小偉：“通過全等三角形證明，再經(jīng)過進(jìn)一步推理，可以得到線段BC平分ACD.”老師：“保留原題條件，連接AD，F(xiàn)是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD=DF(如圖2)，如果BD=BF，可以求出CE、CB、EB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系”(1)求證：ABE=DBC；(2)求證：線段BC平分ACD；(3)探究CE、CB、EB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明10. 已

8、知：如圖，四邊形ABCD中，AD/BC，ABC=90 (1)如圖1，若ACBD，且AC=5，BD=3，求S四邊形ABCD(2)如圖2，若DEBC于E，BD=BC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，求證：BAF=BCD11. 如圖，已知在ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)A在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng) (1)如果點(diǎn)P、Q的速度均為3厘米/秒，經(jīng)過1秒后，BPD與CQP是否全等？請(qǐng)說明理由；(2)若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2厘米/秒，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2.5厘米/秒，是否存在某一個(gè)時(shí)刻，使得BPD與CQP全等？如果存在請(qǐng)求出這一時(shí)刻并證明；如果不存在，請(qǐng)

9、說明理由答案和解析解：(1)滿足AC=AB的點(diǎn)C的軌跡滿足點(diǎn)P到AB、AC距離相等的點(diǎn)C1的軌跡滿足點(diǎn)P到AB、AC距離相等的點(diǎn)C2的軌跡(2)滿足點(diǎn)P到點(diǎn)A、C距離相等的點(diǎn)C的軌跡：滿足ACB=12APB的點(diǎn)C的軌跡 2. 平行且相等 22 解：(1)如圖所示，ABC即為所求(2)如圖所示，高CD和中線AE即為所求(3)依據(jù)平移的性質(zhì)可得，BC與BC平行且相等，故答案為：平行且相等；(4)在平移過程中線段AC所掃過的面積=14+36=22，故答案為：22 3. 解：圖2成立，圖3不成立證明圖2延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK=AE，連接BK，在BAE與BCK中，AB=BCBAE=BCkAE=CK BA

10、EBCK(SAS)，BE=BK，ABE=KBC，F(xiàn)BE=60，ABC=120，F(xiàn)BC+ABE=60，F(xiàn)BC+KBC=60，KBF=FBE=60，在KBF與EBF中BK=BEKBF=ABFBF=BF KBFEBF(SAS)，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF圖3不成立，同理可證：AE、CF、EF的關(guān)系是AE-CF=EF 4. (1)證明：如圖1中，設(shè)CAF=x，則BAE=2x，設(shè)EAC=C=yBAF=BAE+EAF，EAF=y-x，BAE=2x，BAF=x+y，BFA=C+CAF=x+y，BAF=BFA(2)證明：如圖2中，AEC=AED+DEC=B+BAE，AED=B，BAE=D

11、EC，AE/CD，AEB=ECD，EAC=ECA，AE=EC，AEBECD(ASA)，BE=CD(3)解：如圖3中，延長(zhǎng)CD交GA的延長(zhǎng)線于M，延長(zhǎng)EH交AM于J，連接DJAEBECD，AEB=ECD，BE=CD，AGAE，AEBC，EAM=AEC=ECM=90，四邊形AECM是矩形，EA=EC，四邊形AECM是正方形，AM=AE=CM=EC，EAJ=M=90，ADEH，AHE=90，AEJ+EAH=90，MAD+EAH=90，MAD=AEJ，EAJAMD(ASA)，AJ=DM，AD=EJ，AG=CD，GJ=CM=EC，GM/EC，GJQ=QEC，GQJ=CQE，GQJCQE(AAS)，EQ=

12、QJ=16，EJ=32，AD=EJ=32，S四邊形AEDJ=12ADEJ=512，EH：HJ=25：7，SADE=2532S四邊形AEDJ=400，12S正方形AECM=400，12EC2=400，EC=202 5. (1)證明：ADl，CEl，ADB=BEC=ABC=90，DAB+DBA=90，DBA+CBE=90，DAB=CBE，又AB=BC，ADBBEC，(2)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PEC與QFC全等，斜邊CP=CQ，有四種情況：P在AC上，Q在BC上，如圖2所示：CP=6-t，CQ=8-3t，6-t=8-3t，t=1；P、Q都在AC上，此時(shí)P、Q重合，如圖3所示：CP=6-t=3t-

13、8，t=3.5；P在BC上，Q在AC時(shí)，此時(shí)不存在；如圖4所示：理由是：8316，Q到AC上時(shí)，P應(yīng)也在AC上；當(dāng)Q到A點(diǎn)(和A重合)，P在BC上時(shí)，如圖5所示：CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6，t-6=6 t=12 t14 t=12符合題意即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或3.5或12秒時(shí)，PEC與QFC全等 6. 解：(1)如圖1；證明：在ABF和ACG中F=G=90，F(xiàn)AB=GAC，AB=ACABFACG(AAS)BF=CG；(2)如圖2，DHC=G=90，DH/BG，MDC=B，AB=AC，B=ACB，MDC=MCB，MD=MC，在FMD與HMC中F=MHC=90FMD=HMCMD=MC，F(xiàn)MDH

14、MC，F(xiàn)D=HC；DE+DF=CG；過點(diǎn)D作DHCG于點(diǎn)H(如圖2)DEBA于點(diǎn)E，G=90，DHCG四邊形EDHG為矩形DE=HG，DH/BGGBC=HDC AB=AC FCD=GBC=HDC 又F=DHC=90，CD=DCFDCHCD(AAS)DF=CH GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；(3)過點(diǎn)D作DHCG于點(diǎn)H(如圖3)DEBA于點(diǎn)E，G=90，DHCG四邊形EDHG為矩形，DE=HG，DH/BG，GBC=HDC，AB=AC，F(xiàn)CD=GBC=HDC，又F=DHC=90，CD=DC，F(xiàn)DCHCD(AAS)DF=CH，GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CGAB=

15、2，CG=3，即點(diǎn)D到AB、AC邊的距離之和是3 7. 解：(1)如圖，過點(diǎn)A作AHAD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，AHAD，ADC=45，H=ADC=45，AD=AH，BAC=DAH=90，DAB=CAH，且AD=AH，AB=AC，ABDACH(SAS)H=ADB=45，ADC=ADB+ADC=90，BDCD；(2)由(1)知，ADB=45，BP平分CBD，CBP=DBP，且ABC=ADB=45，ABC+CBP=ADB+PBD，ABP=APB，AB=AP，AC=AP，(3)如圖3中，在TA上截取一點(diǎn)H，使得AH=AQ，連接CH，設(shè)BQ交AD于OAC=AP，CAH=PAQ，AH=AQ，AQHAHC

16、(SAS)，PQ=CH，AQH=AHC，CQH=CHP，PQ=CT，CH=CT，CHT=CTH=AQO，AQO+CQO=180，CQO+CTO=180，QOP+QCP=90，ACT=90，QOP=AOQ=90，QAO+AQO=90，ABQ+AQB=90，CAT=ABQ，BAQ=ACT=90，AB=AC，ABQCAT(ASA)，AQ=CT=PQ，QOAP，AQO=OQP=CQP=60，ATC=AQB=60，CAT=30，AT=2TC=6 8. HL 不一定 解：(1)在RtABC和RtDEF中，AB=DEAC=DF，RtABCRtDEF(HL)，故答案為HL(2)如圖中，通過作圖，可知ABC與D

17、EF不一定全等(3)結(jié)論：ABCDEF理由：如圖中，作AGCB交CB的延長(zhǎng)線于G，作DHFE交FE的延長(zhǎng)線于HABC=DEF，ABG=DEH，G=H=90，AB=DE，ABGDEH，AG=DH，AC=DF，RtACGDFH，C=F，ABC=DEF，AB=DE，ABCDEF 9. (1)證明：ABC，DEB都是等邊三角形，ABC=EBD=60，ABE+EBC=EBC+CBD，ABE=CBD(2)證明：ABC，DEB都是等邊三角形，BA=BC，BE=BD，BAC=ACB=60，ABE=CBD，ABECBD(SAS)，BAE=BCD=60，ACB=BCD=60，CB平分ACD(3)解：結(jié)論：EC+1

18、2BE=BC理由：DA=DF，可以將DBF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得DF與DA重合，得到DMA，連接AMDA=DF，BD=BF，DAF=F=BDF，BCD=ABC=60，CD/AB，CDF=DAF，MDA=BDF=F=DAB，MDA=CDA，D，C，M共線，AMD=DBF=CDB，ACM=BCD=60，AM=DM=BD=BF，AMCBDC(AAS)，CM=DC=12BD=12BE，ABECBD，AE=CD，BC=AC=EC+AE=CE+CD=CE+12BE，EC+12BE=BC 10. 解：(1)如圖1，記AC，BD的交點(diǎn)為O，ACBD，BD=3，AC=5，S四邊形ABCD=SABD+SCBD =

19、12AOBD+12BDOC=12BD(OA+OC) =12BDAC =7.5；(2)連接BF、EF，可證：ADFBEF(SAS)，F(xiàn)A=FB，F(xiàn)AB=FBA，BD=BC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，BFCD，AFE=DFB=90，在四邊形ABFD中，ABF+ADF=180，又BCD+ADF=180，ABF=BCD=BAF 11. (1)解：BPD與CQP全等理由：當(dāng)t=1秒時(shí)BP=CQ=3，CP=8-3=5，D為AB中點(diǎn)，BD=12AC=5=CP，AB=AC，B=C，在BDP和CPQ中BD=CPB=CBP=CQ，BDPCPQ(SAS)(2)解：假設(shè)存在時(shí)間t秒，使BDP和CPQ全等，則BP=2t，BD=5，CP=8-2t，CQ=2.5t，BDP和CPQ全等，B=C，2t=8-