波函數(shù)薛定諤方程一維無(wú)限深勢(shì)阱.ppt

1、仙女座,波恩,一、物質(zhì)波波函數(shù),微觀領(lǐng)域常用實(shí)物粒子在空間出現(xiàn)的概率分布來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，該概率分布函數(shù)稱(chēng)為物質(zhì)波的波函數(shù)。,波函數(shù)記作 ( x, y, z, t )，常用復(fù)數(shù)形式來(lái)表示!,例如，沿+x方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程：,也可用復(fù)數(shù)形式來(lái)表示：,例如，沿+x方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程：,也可用復(fù)數(shù)形式來(lái)表示：, (x) : 該波動(dòng)方程的定態(tài)波函 數(shù)，不含時(shí)間變量。, (x) : 該波動(dòng)方程的定態(tài)波函 數(shù)，不含時(shí)間變量。,如何構(gòu)造物質(zhì)波波函數(shù) ( x, y, z, t ), 機(jī)械波強(qiáng)度 ：I A2 （A為其在該處的振幅）。, 用復(fù)數(shù)形式表示。則其振幅為| ( x, y, z,

2、t ) |。,概率密度w | ( x, y, z, t ) |2,如何構(gòu)造物質(zhì)波波函數(shù) ( x, y, z, t ), 機(jī)械波強(qiáng)度 ：I A2 （A為其在該處的振幅）。, 用復(fù)數(shù)形式表示。則其振幅為| ( x, y, z, t ) |。,仿此關(guān)系，物質(zhì)波的強(qiáng)度| ( x, y, z, t ) |2，物質(zhì)波的強(qiáng)度稱(chēng)作粒子在空間某點(diǎn) (x, y, z) 處出現(xiàn)的概率密度，記作w( x, y, z, t ) :,粒子在 dv 空間出現(xiàn)的概率： dG = | ( x, y, z, t ) |2dv,若粒子只出現(xiàn)在一維空間，則其在 xx+dx 空間出現(xiàn)的概率為：,dG = wdx = | ( x, t

3、) |2dx,若粒子只出現(xiàn)在一維空間，則其在 xx+dx 空間出現(xiàn)的概率為：,玻恩(M.Born，1882 - 1970)德國(guó)物理學(xué)家，1926 年提出波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，為此與博特(W.W.G Bothe，1891-1957)共享1954年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。,dG = wdx = | ( x, t ) |2dx,若粒子只出現(xiàn)在一維空間，則其在 xx+dx 空間出現(xiàn)的概率為：, 粒子在全空間出現(xiàn)的概率為1，即：,對(duì)于一維：,（歸一化條件）, ( x, y, z, t ) 必須滿足單值、連續(xù)、有限條件（標(biāo)準(zhǔn) 條件）。,dG = wdx = | ( x, t ) |2dx,對(duì)于一維：, ( x, y,

4、 z, t ) 必須滿足單值、連續(xù)、有限條件（標(biāo)準(zhǔn) 條件）。,例 構(gòu)造一維自由粒子的物質(zhì)波波函數(shù) ( x, t )。,一維自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向運(yùn)動(dòng) 的實(shí)物粒子。,設(shè)：一平面簡(jiǎn)諧波沿+x方向傳播，其波函數(shù)：,復(fù)數(shù)形式：,復(fù)數(shù)形式：,仿照上式，締合在一維自由粒子上的物質(zhì)波波函數(shù)：,而,上式可寫(xiě)成：,仿照上式，締合在一維自由粒子上的物質(zhì)波波函數(shù)：,而,上式可寫(xiě)成：,二、薛定諤方程 ( v c ),對(duì)自由粒子：其定態(tài)波函數(shù)為,，則：,上式可應(yīng)用到非自由粒子情形。,二、薛定諤方程 ( v c ),對(duì)自由粒子：其定態(tài)波函數(shù)為,，則：,上式可應(yīng)用到非自由粒子情形。,能量：,動(dòng)量：,對(duì)非自由

5、粒子,對(duì)非自由粒子,能量：,動(dòng)量：,即：對(duì)非自由粒子,稱(chēng)為一維定態(tài)薛定諤方程。,三維定態(tài)薛定諤方程：,即：對(duì)非自由粒子,稱(chēng)為一維定態(tài)薛定諤方程。,三維定態(tài)薛定諤方程：,其中， 稱(chēng)為拉普拉斯算符。,薛定諤 (Erwin Schrdinger， 1887-1961) 奧 地利著名理論 物理學(xué)家，量 子力學(xué)的重要奠基人，同 時(shí)在固體比熱、統(tǒng)計(jì)熱力 學(xué)、原子光譜及鐳的放射 性等方面的研究都有很大 成就。1933年與物理學(xué)家 狄拉克共同榮獲諾貝爾物 理學(xué)獎(jiǎng)。薛定諤還是現(xiàn)代 分子生物學(xué)的奠基人。,三、一維無(wú)限深勢(shì)阱,設(shè)：一粒子被約束在 (o, a) 一維空間，其勢(shì)能函數(shù)為,根據(jù)定態(tài)薛定諤方程，勢(shì)阱中粒子的

6、概率波滿足,根據(jù)定態(tài)薛定諤方程，勢(shì)阱中粒子的概率波滿足,根據(jù)邊界條件：,由于粒子肯定出現(xiàn)在(o, a)之間，A、B不能同時(shí)為零:,根據(jù)邊界條件：,由于粒子肯定出現(xiàn)在(o, a)之間，A、B不能同時(shí)為零:,上式表明：勢(shì)阱中的粒子的能量是量子化的，只能 取一組分立值。能量量子化是物質(zhì)波粒 二象性的自然結(jié)果。,( n = 1, 2, 3, 稱(chēng)為量子數(shù) ),粒子波函數(shù)為：,上式表明：勢(shì)阱中的粒子的能量是量子化的，只能 取一組分立值。能量量子化是物質(zhì)波粒 二象性的自然結(jié)果。,( n = 1, 2, 3, 稱(chēng)為量子數(shù) ),粒子波函數(shù)為：,由歸一化條件,由歸一化條件,粒子在勢(shì)阱中的概率密度 wn 為:,粒子在勢(shì)阱中的概率密度 wn 為:,極大值：,波函數(shù)的駐波特點(diǎn),處，波函數(shù) 的值皆為零。波函數(shù)以 駐波形式存在勢(shì)阱中：,處，波函數(shù) 的值皆為零。波函數(shù)以 駐波形式存在勢(shì)阱中：,波函數(shù)的駐波特點(diǎn),勢(shì)阱中粒子能量的量子化 從其駐波特點(diǎn)中也可自然 地得出。,*四、對(duì)應(yīng)原理,經(jīng)典物理的規(guī)律與量子物理的規(guī)律似乎無(wú)共同之 處，但在忽略量子效應(yīng)時(shí)，兩者應(yīng)該趨于一致。,例如，在一維勢(shì)阱中的粒子，兩相鄰能級(jí)的差為,能量可認(rèn)為是連續(xù)的。經(jīng)典物理可以看成是量子物 理在量子數(shù)n時(shí)的極限。,*五、一維方勢(shì)壘 隧道效應(yīng),設(shè)