上海海事大學 概率論 第二章(1,2).ppt

1、第二章 隨機變量及其分布,2.1 隨機變量,例 電話總機某段時間內接到的電話次數, 可用一個變量 X 來描述：,X = 0, 1, 2, ,例 考慮“測試燈泡壽命”這一試驗，以 X 記燈泡的壽命（以小時計）則：,X = t, ( t0 ),例 檢測一件產品可能出現(xiàn)的兩個結果 , 也可以用一個變量來描述:,設是隨機試驗E的樣本空間, 若,定義,則稱 上的單值實值函數 X ( )為隨機變量,隨機變量一般用大寫英文字母X, Y , Z , 或小寫希臘字母 , , , 表示,此映射具有如下特點:,定義域 事件域 ；,隨機性 隨機變量 X 的可能取值不止一個, 試驗前只能預知它的可能的取值但不能預知取哪

2、個值；,概率特性 X 以一定的概率取某個值或某些 值 。,引入隨機變量的意義,有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來.,如：單位時間內某電話交換臺收到的呼叫次數用 X 表示，它是一個隨機變量。, 收到不少于1次呼叫 , 沒有收到呼叫,可見，隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內. 也可以說，隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，就象數學分析中常量與變量的區(qū)別那樣。,隨機變量分類,2.2 離散型隨機變量 及其分布律,定義,若隨機變量 X 的可能取值是有限個或可列無限多個, 則稱 X 為離散型隨機變量。,一、概念,例有獎

3、儲蓄，20萬戶為一開獎組，設特等獎20名，獎金4000元；一等獎120名，獎金400元；二等獎1200名，獎金40元；末等獎4萬名，獎金4元?？疾斓锚劷痤~ X 。,X 的可能取值為：,解：,4000，400，40，4，0 。,.0001,.0006,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,即,或,分布律的性質,例1 一批產品的次品率為8% ,從中抽取1件 進行檢驗, 令 寫出 X 的分布律.,X 的分布律為:,概率分布圖 :,解：,1.兩點分布( 01分布),分布律為：,或,二、幾種重要的離散型隨機變量,應用場合,凡試驗只有兩個可能結果,常用0 1分布描述,如產品是否合格, 人口性別統(tǒng)計, 系

4、統(tǒng)是否正常, 電力消耗是否超標等。,10件產品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數”，求分布律。,X 可能取值為 0，1，2。,例2,解：,所以，X的分布律為：,注 求分布律，首先弄清 X 的確切含義及其所有可能取值。,2.二項分布,伯努利試驗和二項分布,設試驗 E 只有兩個結果：和 ，記: 則稱試驗為伯努利試驗。,考慮 可以用何種分布來描述伯努 利試驗的結果？,答（0-1）分布,例3 設生男孩的概率為p,生女孩的概率為 q=1-p，令X表示隨機抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數，求X的概率分布。,將 E 獨立地重復 n 次，則稱這一串重復的獨立試驗為 n 重伯努利( Bernoull

5、i )試驗，簡稱為伯努利( Bernoulli )試驗,X表示隨機抽查的4個嬰兒中男孩的個數,生男孩的概率為 p.,X=0,X =1,X =2,X =3,X =4,在 n 重伯努利試驗中,事件A可能發(fā)生0, 1, 2, n 次,稱 X 服從參數為 p 的二項分布。,記作：,當n=1時， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 即0-1分布,（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果A或 ，,伯努利試驗的結果沒有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次試驗條件相同；,且P(A)=p ， ；,（3）各次試驗相互獨立。,二項分布描述的是 n 重伯努利試驗中出現(xiàn)“成功”次數 X 的概率分布。,當(n+1

6、)p為整數時，二項概率P(X=k) 在 k=(n +1)p 和 k =(n+1)p-1 處達到最大值；,當(n+1)p不為整數時，二項概率P(X=k)在k=(n+1)p達到最大值。,例4 已知100個產品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率。,解:,依題意，p = 0.05,設 X 為所取的3個中的次品數。,于是，所求概率為：,例5 設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護，每人負責20臺；其二是由3人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備

7、發(fā)生故障時不能及時維修的概率大小。,X = 第1人維護的20臺中同一時刻故障臺數； Ai ：第i人維護的20臺故障不能及時維修” （i1, 2, 3, 4）；,解： 按第一種方法。,而Xb（20, 0.01），故有80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：,設：Y=80臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數；,按第二種方法。, 0.0169,第二種方法優(yōu)于第一種方法,此時Yb（80, 0.01） ，,故80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：,3.Poission分布,設隨機變量X所有可能取值為0,1,2.，取各個值的概率為,（）為常數,稱 X 服從 參數為 的Poisson分布，記為：,如 單位時間內某電

8、話總機收到的呼叫次數X量服從泊松分布。,二項分布的Poisson近似,泊松定理,設是一個正整數， ，則有：,n100, np10 時近似效果就很好.,泊松定理表明，當 n 很大，p 很小時有以下近似式：,其中,例6 為保證設備正常工作，需要配備適量的維修人員 . 設共有300臺設備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設備的故障可由一人來處理 . 問至少應配備多少維修人員，才能保證當設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?,我們先對題目進行分析：,設X為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數，,300臺設備，獨立工作，每臺出故障概率p=0.01 . 可看作n=3

9、00的伯努利概型.,可見，,XB(n,p)，n=300, p=0.01,設需配備N個維修人員，,所求的是滿足,的最小的N.,P( X N ) 0.01 或 P( X N ) 0.99,P(XN),n大, p小, np=3, 用 =np=3 的泊松近似,查泊松分布表得,N+1 9,即N 8,即至少需配備8個維修人員.,例3 某地的“天天彩”中獎率為p ,某人每天買 1 張, 若不中獎第二天繼續(xù)買 1張, 直至中獎為止。求該人購買次數 X 的分布律。,X= k 表示購買了 k 張, 前 k-1張都未中獎, 第 k 張中了獎。,補充.幾何分布,適用于試驗首次成功的場合,解：,例4 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈顯