2021高考理科數(shù)學二輪復習限時集訓48立體幾何中的翻折探究性最值問題北師大版

1、課后限時集訓48立體幾何中的翻折、探究性、最值問題建議用時：45分鐘一、選擇題1(2019樂山模擬)已知一個三棱錐的六條棱的長分別為1,1,1,1,a,且長為a的棱與長為的棱所在直線是異面直線,則三棱錐的體積的最大值為()A.B.C.D.A如圖所示,三棱錐ABCD中,ADa,BC,ABACBDCD1,則該三棱錐為滿足題意的三棱錐,將BCD看作底面,則當平面ABC平面BCD時,該三棱錐的體積有最大值,此時三棱錐的高h,BCD是等腰直角三角形,則SBCD,綜上可得,三棱錐的體積的最大值為.故選A.2.如圖,矩形ABCD中,AB2AD,E為邊AB的中點,將ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成A1DE(A1平面AB

2、CD),若M,O分別為線段A1C,DE的中點,則在ADE翻轉(zhuǎn)過程中,下列說法錯誤的是()A與平面A1DE垂直的直線必與直線MB垂直B異面直線BM與A1E所成角是定值C一定存在某個位置,使DEMOD三棱錐A1ADE外接球半徑與棱AD的長之比為定值C取DC的中點N,連接MN,NB,則MNA1D,NBDE,平面MNB平面A1DE,MB平面A1DE,故A正確；取A1D的中點F,連接MF,EF,則四邊形EFMB為平行四邊形,則A1EF為異面直線BM與A1E所成角,故B正確；點A關于直線DE的對稱點為N,則DE平面AA1N,即過O與DE垂直的直線在平面AA1N上,故C錯誤；三棱錐A1ADE外接球半徑為AD

3、,故D正確二、填空題3(2019荊門一模)如圖,在直角梯形ABCD中,ABBC,ADBC,ABBCAD1,點E是線段CD上異于點C,D的動點,EFAD于點F,將DEF沿EF折起到PEF的位置,并使PFAF,則五棱錐PABCEF的體積的取值范圍為_PFAF,PFEF,AFEFF,PF平面ABCD.設PFx,則0x1,且EFDFx.五邊形ABCEF的面積為SS梯形ABCDSDEF1x2.五棱錐PABCEF的體積V(3x2)x(3xx3),設f(x)(3xx3),則f(x)(33x2)(1x2),當0x0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,又f(0)0,f(1).五棱錐PABCEF的體積的范圍是.4(

4、2019柳州模擬)已知長方體ABCDA1B1C1D1中,AB3 cm,BC2 cm,AA12 cm,E為CC1的中點,則一質(zhì)點自點A出發(fā),沿著長方體的表面到達點E的最短路線的長為_cm.3將長方體沿C1C, C1B1, BC剪開,使面ABB1A1和面BCC1B1在同一個平面內(nèi),連接AE,如圖在RtACE中,AC5,CE1,由勾股定理,得AE2AC2CE226,則AE.將長方體沿C1D1, DD1, C1C剪開,使面ABCD和面CDD1C1在同一個平面內(nèi),連接AE,如圖,在RtABE中,AB3,BE3, 由勾股定理,得AE2AB2BE232323.將長方體沿B1C1, CC1, BB1剪開,使面

5、ABCD和面BCC1B1在同一個平面內(nèi),連接AE, 在RtADE中,DE4,AD2,由勾股定理,得AE2AD2DE220,則AE2.綜上可知,故沿著長方體的表面到達點E的最短路線的長為3cm.三、解答題5(2019湖南六校聯(lián)考)如圖,梯形EFBC中,ECFB,EFBF,BFEC4,EF2,A是BF的中點,ADEC,D在EC上,將四邊形AFED沿AD折起,使得平面AFED平面ABCD,點M是線段EC上異于E,C的任意一點(1)當點M是EC的中點時,求證：BM平面AFED；(2)當平面BDM與平面ABF所成的銳二面角的正弦值為時,求三棱錐EBDM的體積解(1)法一：(幾何法)取ED的中點N,連接M

6、N,AN,點M是EC的中點,MNDC,且MNDC,而AB DC,且ABDC,MN綊AB,即四邊形ABMN是平行四邊形,BMAN,又BM平面AFED,AN平面AFED,BM平面AFED.法二：(坐標法)ADCD,ADED,平面AFED平面ABCD,平面AFED平面ABCDAD,DA,DC,DE兩兩垂直以DA,DC,DE所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),M(0,2,1),(2,0,1),又平面AFED的一個法向量(0,4,0),0,又BM平面AFED,BM平面AFED.(2)依題意設點

7、M(0t4),設平面BDM的法向量n1(x,y,z),則n12x2y0,n1tyz0,令y1,則n1,取平面ABF的一個法向量n2(1,0,0),|cosn1,n2|,解得t2.M(0,2,1)為EC的中點,SDEMSCDE2,又點B到平面DEM的距離h2,VEBDMVBDEMSDEMh.6.如圖所示,在梯形ABCD中,ABCD,BCD120,四邊形ACFE為矩形,且CF平面ABCD,ADCDBCCF.(1)求證：EF平面BCF；(2)點M在線段EF上運動,當點M在什么位置時,平面MAB與平面FCB所成的銳二面角最大,并求此時二面角的余弦值解(1)證明：設ADCDBC1,ABCD,BCD120

8、,AB2,AC2AB2BC22ABBCcos 603,AB2AC2BC2,則BCAC.CF平面ABCD,AC平面ABCD,ACCF,而CFBCC,CF,BC平面BCF,AC平面BCF.EFAC,EF平面BCF.(2)以C為坐標原點,分別以直線CA,CB,CF為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設FM(0),則C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(,0,1),(,1,0),(,1,1)設n(x,y,z)為平面MAB的法向量,由 得取x1,則n(1,)易知m(1,0,0)是平面FCB的一個法向量,cosn,m.0,當0時,cosn,m取得最小值,當點M與點F重合時,平

9、面MAB與平面FCB所成的銳二面角最大,此時二面角的余弦值為.1(2019河南鄭州三測)如圖甲,ABC中,ABBC2,ABC90,E,F分別為邊AB,AC的中點,以EF為折痕把AEF折起,使點A到達點P的位置(如圖乙),且PBBE.甲乙(1)證明：EF平面PBE；(2)設N為線段PF上的動點(包含端點),求直線BN與平面PCF所成角的正弦值的最大值解(1)因為E,F分別為邊AB,AC的中點,所以EFBC.因為ABC90,所以EFBE,EFPE,又BEPEE,所以EF平面PBE.(2)取BE的中點O,連接PO,因為PBBEPE,所以POBE.由(1)知EF平面PBE,EF平面BCFE,所以平面P

10、BE平面BCFE.又PO平面PBE,平面PBE平面BCFEBE,所以PO平面BCFE.過點O作OMBC交CF于點M,分別以OB,OM,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則B,P,C,F,由N為線段PF上一動點,得(01),則可得N,.設平面PCF的法向量為m(x,y,z),則即取y1,則x1,z,所以m(1,1,)為平面PCF的一個法向量設直線BN與平面PCF所成的角為,則sin |cos,m|(當且僅當時取等號),所以直線BN與平面PCF所成角的正弦值的最大值為.2.在直角三角形ABC中,C90,AC4,BC2,E是AC的中點,F是線段AB上一個動點,且(01),如

11、圖所示,沿BE將CEB翻折至DEB的位置,使得平面DEB平面ABE.(1)當時,證明：BD平面DEF.(2)是否存在,使得DF與平面ADE所成角的正弦值為？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由解(1)證明：在ABC中,C90,即ACBC,則BDDE.取BF的中點N,連接CN交BE于M,當時,F是AN的中點,而E是AC的中點,所以EF是ANC的中位線,所以EFCN,在BEF中,N是BF的中點,所以M是BE的中點,在RtBCE中,ECBC2,所以CMBE,則EFBE,又平面DEB平面ABE,平面DBE平面ABEBE,所以EF平面DBE,因為BD平面DBE,所以EFBD.而EFDEE,所以BD平面

12、DEF.(2)連接DM.以C為原點,CA所在的直線為x軸,CB所在的直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,2,0),E(2,0,0),由(1)知M是BE的中點,DMBE,又平面DEB平面ABE,所以DM平面ABE,則D(1,1,)假設存在滿足題意的,則由,可得F(44,2,0),則(34,21,),(2,0,0),(3,1,),設平面ADE的一個法向量為n(x,y,z),則即令y,可得x0,z1,即n(0,1)設DF與平面ADE所成的角為,則sin ,解得或3(舍去)綜上可知,存在,使得DF與平面ADE所成角的正弦值為.(2019長沙一模)已知

13、三棱錐PABC(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形ABCD為邊長等于的正方形,ABE和BCF均為正三角形,在三棱錐PABC中；圖1圖2(1)證明：平面PAC平面ABC；(2)若點M在棱PA上運動,當直線BM與平面PAC所成的角最大時,求二面角PBCM的余弦值解(1)證明：三棱錐PABC(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形ABCD為邊長等于的正方形,ABE和BCF均為正三角形,PAPBPCBCAB,APCABC90,APBBPC60,取AC中點O,連接PO,BO,則POAC,BOAC,且POAOCOBO1,PO2BO2PB2,POBO,平面PAC平面ABC.(2)由(1)知,BOPO,BOAC,POACO,BO平面PAC,BMO是直線BM與平面PAC所成角,且tanBMO,當OM最短時,即M是PA中點時,BMO最大,由PO平面ABC,OBAC,得POOB,