《復(fù)變函數(shù)》重點(diǎn)難點(diǎn)

1、重點(diǎn)難點(diǎn)第一篇 復(fù)變函數(shù)論本篇重點(diǎn)：解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理.本篇特色：通過(guò)一典型環(huán)路積分，將各章節(jié)有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，使復(fù)變函數(shù)理論成為一個(gè)系統(tǒng)的有機(jī)整體，并加強(qiáng)了各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系.注重培養(yǎng)創(chuàng)新思維、計(jì)算機(jī)仿真和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)本章重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本知識(shí)和復(fù)變函數(shù)區(qū)域的基本概念及其判斷方法； 復(fù)變函數(shù)連續(xù)和極限的概念； 區(qū)域概念及其判斷；復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)。 本章難點(diǎn)：涉及到計(jì)算機(jī)編程實(shí)踐, 以培養(yǎng)讀者的計(jì)算機(jī)仿真能力. 讀者可以利用Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等數(shù)學(xué)工具軟件直接進(jìn)行復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)的基本運(yùn)算, 詳細(xì)參考第四篇：計(jì)算

2、機(jī)仿真編程實(shí)踐部分本章知識(shí)點(diǎn)摘要：1.復(fù)數(shù)的概念定義形如的數(shù)為復(fù)數(shù)，記作.其中、分別稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，記作，稱為虛數(shù)單位，它滿足.與實(shí)數(shù)不同，兩個(gè)復(fù)數(shù)之間一般不能比較大小.2.復(fù)數(shù)的表示法（1）幾何表示：對(duì)于復(fù)數(shù)可以用平面上起點(diǎn)在，終點(diǎn)在的矢量（或向量）表示；（2）代數(shù)表示：對(duì)于平面上的點(diǎn)可用代數(shù)形式表示復(fù)數(shù)，這種表示法稱為代數(shù)表示，也可稱為直角坐標(biāo)表示；（3）三角表示：當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)可用三角函數(shù)形式表示.其中稱為復(fù)數(shù)的模；（取整數(shù)）稱為的輻角.當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于輻角的主值，在本書中規(guī)定為；3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)滿足常規(guī)的四則運(yùn)算規(guī)律.（2）若，則 （3）方根：設(shè)，則 關(guān)于復(fù)數(shù)的模和輻角有以下運(yùn)算

3、公式；4.區(qū)域和平面曲線本章我們給出了系統(tǒng)的有關(guān)區(qū)域和平面曲線的概念.（1）區(qū)域：嚴(yán)格的定義是指同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的點(diǎn)集D：(i) 全由內(nèi)點(diǎn)組成；(ii)具有連通性: 即點(diǎn)集中的任意兩點(diǎn)都可以用一條折線連接起來(lái)，且折線上的點(diǎn)全都屬于該點(diǎn)集；滿足這兩個(gè)條件的點(diǎn)集D稱為區(qū)域.連通的開集稱為區(qū)域，區(qū)域與它的邊界一起構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域.區(qū)域可分為有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域，區(qū)域還有單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域之分.（2）簡(jiǎn)單曲線:沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線,稱為簡(jiǎn)單曲線.簡(jiǎn)單閉曲線: 如果簡(jiǎn)單曲線的兩個(gè)端點(diǎn)重合，則稱為簡(jiǎn)單閉曲線.5.復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)的極限等價(jià)于兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)和的極限.函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性等價(jià)于兩個(gè)

4、二元實(shí)函數(shù)和在該點(diǎn)的連續(xù)性.解題思路:例 研究什么原像通過(guò)映射后變?yōu)橄嗷ゴ怪钡闹本€.【解】 由，可以視為從xy平面到平面的映射，即為從z平面(原像)到平面（像）的映射，易得 我們具體考察在平面的像為相互垂直的直線,原像應(yīng)該是什么？由題得到 即有 顯然原像為雙曲線，如圖1.11(a)實(shí)線所示；即有 顯然原像為雙曲線，如圖1.11(a)虛線所示.另外我們還可以進(jìn)一步觀察雙曲線對(duì)應(yīng)的變化關(guān)系.特別地，當(dāng)原像點(diǎn)在如圖1.11(a)的雙曲線右分支實(shí)線上時(shí)，由且，得到，.因此雙曲線的右分支的像可以表示為參數(shù)形式： 很明顯，當(dāng)點(diǎn)沿著右分支實(shí)線向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的像如圖1.11(b)沿直線向上運(yùn)動(dòng).同樣，雙曲線左

5、分支的像的參數(shù)形式表示為 當(dāng)左分支上的點(diǎn)沿曲線向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的像也沿直線向上運(yùn)動(dòng).同樣地可以分析：另一雙曲線 映像到直線.變化趨勢(shì)如圖1.11(a),(b)虛線所示，讀者可自行分析.重點(diǎn)難點(diǎn)第二章 解析函數(shù)重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)法則及可微性概念； 解析函數(shù)的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函數(shù)； 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系難點(diǎn)：多值函數(shù)產(chǎn)生多值性的原因；如何找出支點(diǎn)以及在什么樣的區(qū)域內(nèi)多值函數(shù)可以劃分為單值的解析分支；從幾何意義上描述解析函數(shù)的特征.特色：（Matlab，Mathcad，Mathmatic）編程計(jì)算簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)方程本章知識(shí)點(diǎn)摘要：1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)

6、數(shù)定義在形式上和一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義是類似的：微分的定義和高等數(shù)學(xué)里面一元實(shí)函數(shù)的微分定義也相似，而且可導(dǎo)和可微是等價(jià)的，.2.解析函數(shù)的概念解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一個(gè)十分重要的概念，它是用復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性來(lái)定義的，若在及其一個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在解析.函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，在這點(diǎn)未必解析，而在某一點(diǎn)解析，在這點(diǎn)一定可導(dǎo).函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的可導(dǎo)性和解析性是等價(jià)的.3.柯西黎曼條件方程 復(fù)函數(shù)的解析性除了要求其實(shí)部和虛部的可微性外，還要求其實(shí)部和虛部滿足柯西黎曼方程（即C-R方程）. 函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析在D內(nèi)可微，且滿足C-R條件：. 4.關(guān)于解析函數(shù)的求導(dǎo)方法(1) 利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)(2) 若

7、已知導(dǎo)數(shù)存在，可以利用公式 求導(dǎo).5初等復(fù)變函數(shù)初等復(fù)變函數(shù)的解析性：初等函數(shù)解析性的討論是以指數(shù)函數(shù)的解析性為基礎(chǔ)的，因此在研究初等解析函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，都可歸結(jié)到指數(shù)函數(shù)來(lái)研究.6解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).要想使得在區(qū)域D內(nèi)解析，和還必須滿足C-R條件. 因此若己知一調(diào)和函數(shù)，可由它構(gòu)成某解析函數(shù)的實(shí)部（或虛部），并可相應(yīng)地求出該解析函數(shù)的虛部（或?qū)嵅浚?，從而求出該解析函?shù). 平面穩(wěn)定場(chǎng)求復(fù)勢(shì)就是其典型應(yīng)用，也是解析函數(shù)物理意義的體現(xiàn).解題思路例 已知 等勢(shì)線的方程為，求復(fù)勢(shì). 【解】若設(shè) ，則，故不是調(diào)和函數(shù).因而不能構(gòu)建為復(fù)勢(shì)的實(shí)部（或虛部）

8、.若令 ，采用極坐標(biāo)有，故把極坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程 簡(jiǎn)化為，即為根據(jù)極坐標(biāo)C-R條件的得到 ，故復(fù)勢(shì)為 我們可以總結(jié)出，當(dāng)具有的函數(shù)形式時(shí)，一般采用極坐標(biāo)運(yùn)算較為方便.重點(diǎn)難點(diǎn)第三章 復(fù)變函數(shù)的積分重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法；解析函數(shù)積分的基本定理柯西積分定理；推廣得到的復(fù)合閉路定理，閉路變形定理； 由柯西積分定理推導(dǎo)出一個(gè)基本公式柯西積分公式.難點(diǎn)：理解分別以有界單連通域、有界復(fù)連通域、無(wú)界區(qū)域?qū)挛鞣e分公式進(jìn)行的證明；理解復(fù)變函數(shù)積分理論既是解析函數(shù)的應(yīng)用推廣特色：嘗試計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算積分的值。本章知識(shí)點(diǎn)摘要1本章所涉及的典型實(shí)例類型總結(jié)第一類典型實(shí)例：給出了不同于常規(guī)教材的

9、重要典型實(shí)例，即計(jì)算環(huán)路積分，它可以分別用復(fù)變函數(shù)論中的理論進(jìn)行求解由此讀者能應(yīng)用柯西積分定理、柯西積分公式、以及即將學(xué)習(xí)的級(jí)數(shù)展開法、留數(shù)定理以及留數(shù)和定理進(jìn)行求解. 由此加強(qiáng)各章節(jié)之間的有機(jī)聯(lián)系, 使讀者充分理解各定理的區(qū)別和聯(lián)系第二類典型實(shí)例：復(fù)變函數(shù)模的積分（如）的計(jì)算方法，取模后該積分與二元實(shí)函數(shù)的環(huán)路積分類似，故為高等數(shù)學(xué)中的環(huán)路實(shí)積分提供了新的計(jì)算方法第三類典型實(shí)例：若要使閉合環(huán)路積分中換元法仍然有效，則必須考慮積分變換后輻角的改變. 2本章系統(tǒng)知識(shí)概述1）復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)積分的概念是這一章的主要概念，它是定積分在復(fù)數(shù)域中的自然推廣，和定積分在形式上也是相似的只是把定積分的

10、被積函數(shù)換成了復(fù)函數(shù)，積分區(qū)間換成了平面上的一條有向曲線復(fù)積分實(shí)際上是復(fù)平面上的線積分，它們的許多性質(zhì)是相似的如果，則即復(fù)變函數(shù)的積分可以化為兩個(gè)二元函數(shù)的曲線積分2）柯西定理與柯西公式（1）柯西定理 如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析，那么函數(shù)沿內(nèi)任意一條閉曲線的積分值為零，即推論 如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析，則積分與連結(jié)起點(diǎn)與終點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)（2）牛頓萊布尼茲公式 若在單連通域內(nèi)處處解析，為的一個(gè)原函數(shù)，那么 其中、為中任意兩點(diǎn)（3）復(fù)合閉路定理 設(shè)為復(fù)連通域內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，是在內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線，且中的每一個(gè)都在其余的外部，以為邊界的區(qū)域全含于如果在內(nèi)解析，那么有(i) ，其中為由L以及（）所

11、組成的復(fù)合閉路正方向(ii)，其中L及所有的都取逆時(shí)針正方向（4）閉路變形原理 在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在內(nèi)作連續(xù)變形而改變積分的值，只要在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù)不解析的點(diǎn)3）.柯西積分公式的幾個(gè)重要推論（1）高階導(dǎo)數(shù)公式 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導(dǎo)數(shù)為:其中為的解析區(qū)域內(nèi)包含在其內(nèi)部的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，且內(nèi)部全屬于； （2）解析函數(shù)的平均值公式; (3) 柯西不等式; (4）劉維爾定理; （5）莫勒納定理; 解題思路 例 試根據(jù)復(fù)變函數(shù)環(huán)路積分討論公式的物理意義【解】設(shè)在點(diǎn)有電量為的點(diǎn)電荷, 在復(fù)平面上形成二維靜電場(chǎng)（向量場(chǎng)） ,我們知道在點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)

12、為：其中分別代表徑向,方向的單位矢量于是電場(chǎng)強(qiáng)度的分量為：我們注意到函數(shù) 易見向量場(chǎng)（電場(chǎng)）正好與這個(gè)函數(shù)的共軛相對(duì)應(yīng)，因此上式中矢量含義與復(fù)變函數(shù)環(huán)路積分物理意義中的含義相同。其物理意義【7】：由場(chǎng)論知電場(chǎng)是無(wú)旋的場(chǎng)，則電場(chǎng)強(qiáng)度沿著的環(huán)量另外，如果包含點(diǎn)，則通量 ；如果不包含點(diǎn)，則通量 .重點(diǎn)難點(diǎn)第四章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示重點(diǎn)：復(fù)級(jí)數(shù)的基本概念及其性質(zhì)；如何將解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)及羅朗級(jí)數(shù)；解析函數(shù)的重要性質(zhì)。難點(diǎn)：理解一個(gè)函數(shù)的解析性與一個(gè)函數(shù)能否展為冪級(jí)數(shù)是等價(jià)的. 特色：嘗試用計(jì)算機(jī)仿真編程方法(Matlab，Mathematic ，Mathcad)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開。本章知識(shí)點(diǎn)摘要：1

13、.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)列和級(jí)數(shù)的收斂定義與實(shí)數(shù)域內(nèi)數(shù)列和級(jí)數(shù)的收斂定義類似.數(shù)列收斂的充要條件是實(shí)數(shù)列和同時(shí)收斂.級(jí)數(shù)收斂的充要條件是實(shí)級(jí)數(shù)和同時(shí)收斂.是級(jí)數(shù)收斂的必要條件.2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 冪級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)如果是冪函數(shù)或，那么就得到冪級(jí)數(shù)或.冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橐粓A域，其邊界稱為收斂圓. 在圓的內(nèi)部?jī)缂?jí)數(shù)絕對(duì)收斂；在圓的外部?jī)缂?jí)數(shù)發(fā)散，在圓周上冪級(jí)數(shù)可能處處收斂，也可能處處發(fā)散，或在某些點(diǎn)收斂，在另一些點(diǎn)發(fā)散.收斂圓的半徑稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，求冪級(jí)數(shù)或的收斂半徑的公式有比值法或根值法或 3.泰勒級(jí)數(shù)形如的冪級(jí)數(shù)稱為泰勒級(jí)數(shù)，若，則為麥克勞林級(jí)數(shù).定理 若函數(shù)在圓域內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)，可展開成泰

14、勒級(jí)數(shù).且展開式是唯一的.但需要特別說(shuō)明的是： 盡管上式右端的冪級(jí)數(shù)可能在收斂圓周上處處收斂，也可能處處發(fā)散，或在某些點(diǎn)收斂，在另一些點(diǎn)發(fā)散. 但冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn). 4.羅朗級(jí)數(shù)形如的級(jí)數(shù)稱為羅朗級(jí)數(shù)，它是一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù).定理 若函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，則在此圓環(huán)域內(nèi)，可展開成羅朗級(jí)數(shù)，其中，L為圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線.5.本章主要題型及解題方法(1)討論復(fù)數(shù)列的斂、散性可通過(guò)討論它的實(shí)部數(shù)列和虛部數(shù)列的斂、散性進(jìn)行判斷.(2)討論復(fù)級(jí)數(shù)的斂散性可通過(guò)討論它的實(shí)部數(shù)列和虛部數(shù)列的斂、散性進(jìn)行判斷.對(duì)于有些級(jí)數(shù)，若當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)不趨于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散.通過(guò)討論的斂散性來(lái)獲得

15、的斂散性.(3)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及在收斂域內(nèi)的和函數(shù)解題思路：例 函數(shù)在平面上有兩個(gè)奇點(diǎn)：與. 平面可以被分成如下三個(gè)互不相交的的解析區(qū)域：(1)圓；(2)圓環(huán)；(3)圓環(huán)，試分別在此三個(gè)區(qū)域內(nèi)求的展開式.【解】 首先將分解成部分分式(1) (1) 在圓域內(nèi)，因?yàn)椋剩谑怯袨樵趫A域內(nèi)的泰勒展開式.(2) (2) 在圓環(huán)域內(nèi)，有，故(3)在圓環(huán)域內(nèi)，這時(shí)，故另外，對(duì)函數(shù)還可以求它在奇點(diǎn)2的去心鄰域的羅朗展開式這是同一個(gè)函數(shù)在不同的圓環(huán)域中的羅朗展開式. 顯然在不同的展開區(qū)域有不同的展開式，這與羅朗展開式的唯一性并不矛盾.重點(diǎn)難點(diǎn)第五章 留數(shù)定理重點(diǎn)：利用留數(shù)定理轉(zhuǎn)化為留數(shù)計(jì)算問(wèn)題.難點(diǎn)：選好

16、復(fù)變量積分的被積函數(shù)和積分圍線；確定積分區(qū)域和奇點(diǎn)。特色：利用計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算留數(shù)積分。本章知識(shí)點(diǎn)摘要：1孤立奇點(diǎn)概念及其類型若函數(shù)在處不解析，但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析，則稱為的一個(gè)孤立奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)可按函數(shù)在解析鄰域內(nèi)的羅朗展開式中是否含有的負(fù)冪項(xiàng)及含有負(fù)冪項(xiàng)的多少分為三類如果展開式中不含、或只含有限項(xiàng)、或含無(wú)窮多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng)，則分別稱為的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)類型的極限判別法：1） 1） 若（為有限值），則為的可去奇點(diǎn)；2） 2） 若，則為的極點(diǎn)。進(jìn)一步判斷，若（為有限值且不為0），則為的階極點(diǎn)；2留數(shù)的定義、計(jì)算方法留數(shù)定義：設(shè)為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，那么在處的留數(shù)其中為去心鄰域內(nèi)

17、任意一條繞的正向簡(jiǎn)單閉曲線.有限遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算方法：（1）用定義計(jì)算留數(shù). 即求出羅朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)或計(jì)算積分.這是求留數(shù)的基本方法.（2）若為函數(shù)的可去奇點(diǎn)，則.（3）若為的一階極點(diǎn)，則 .無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算方法 定理 若，則3留數(shù)定理、留數(shù)和定理及其應(yīng)用留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，為內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則 .留數(shù)和定理 設(shè)函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上除了以及以外處處解析，則計(jì)算三種類型的實(shí)變量積分：（i）；（ii），分母比分子至少高兩階；（iii），分式多項(xiàng)式，即分母比分子至少高一階. 解題思路：例： 計(jì)算積分（為正整數(shù)）.【解】 以為一階極點(diǎn)，故得于是由

18、留數(shù)定理得2：求的值.【解】 令，由于，因此設(shè) 在積分區(qū)域內(nèi)函數(shù)有二個(gè)極點(diǎn)，其中為二階極點(diǎn)，為一階極點(diǎn)，而 因此重點(diǎn)難點(diǎn)第六章 保角映射重點(diǎn)：復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的幾何意義，了解保角映射的概念；掌握分式線性映射的保角性、保圓周性和保對(duì)稱性；熟練掌握利用分式線性映射求一些簡(jiǎn)單區(qū)域（半平面、圓、二圓弧所圍區(qū)域、角形域）之間的保角映射掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及它們的復(fù)合函數(shù)所構(gòu)成的映射；掌握給定三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)決定分式線性映射的方法難點(diǎn)：學(xué)會(huì)利用復(fù)變函數(shù)（特別是解析函數(shù)）所構(gòu)成的映射來(lái)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜區(qū)域的簡(jiǎn)單化特色：計(jì)算機(jī)仿真繪出等值線圖形和其他曲線圖形本章知識(shí)點(diǎn)摘要：1保角映射保角映射：具有保角性且伸縮率不變性的映

19、射定理若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且對(duì)任意的，有，則必是內(nèi)的一個(gè)保角映射2分式線性映射（1）形如的映射統(tǒng)稱為分式線性映射它可以看成是由下列各映射復(fù)合而成：(i），這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)伸縮平移映射，也稱為整式線性映射；(ii），稱為倒數(shù)映射或反演映射由于他們?cè)跀U(kuò)充的復(fù)平面上都是一一對(duì)應(yīng)，且具有保角性、保圓周性與保對(duì)稱性，因此，分式線性映射也具有保角性、保圓周性與保對(duì)稱性（2）平面和平面上的三對(duì)點(diǎn)可唯一確定一個(gè)分式線性映射即設(shè)平面上的三個(gè)相異點(diǎn)對(duì)應(yīng)于平面上的三個(gè)相異點(diǎn)，則唯一確定一個(gè)分式線性映射：（3）三類典型的分式線性映射 (i）把上半平面映射成上半平面的映射為：，其中a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，且（ii）把上半平

20、面映射為單位圓內(nèi)部的映射為 (iii）把單位圓內(nèi)部映射成單位圓內(nèi)部的映射為3幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射(1）冪函數(shù)這一映射的特點(diǎn)是：把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射為角形區(qū)域（包括半平面及全平面），其張角的大小變成了原來(lái)的倍(2）指數(shù)函數(shù)這一映射的特點(diǎn)是：把水平的帶形域映射成角形域（時(shí)，此角形域?yàn)樯习肫矫妫┌堰@兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成的映射與分式線性映射聯(lián)合起來(lái)可以進(jìn)一步解決某些區(qū)域之間的變化問(wèn)題 4. 本章主要題型（1）判別一個(gè)映射，是否是保角映射（2）已知映射及一個(gè)區(qū)域，求像區(qū)域（3）已知兩個(gè)區(qū)域，求映射以上（2），（3）題目較為靈活故必須熟練掌握各種基本映射（整式線性映射、冪函數(shù)映射、指數(shù)函數(shù)映射等）的特點(diǎn)

21、及一些基本區(qū)域之間的映射（或變換）例 求一個(gè)保角映射，將平面上的弓形域，映射成的上半平面【解】如圖6.14，經(jīng)計(jì)算交點(diǎn)為，其中處圓弧的方向角為可考慮先將平面上的弓形域映射成平面（注意圖中未畫出平面）的角形域，再將角形域映射成平面的上半平面設(shè)分式線性映射將映射成平面上的點(diǎn)0. 而映射成平面上的，于是該映射可寫為當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以映射將弓形域映射成角形域：即為平面上的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且以射線和為兩邊的角形域（讀者可自行驗(yàn)證)再對(duì)施以旋轉(zhuǎn)變換，它將平面上的角形域順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成為平面上的角形域最后，再令，它將平面上的角形域映射成平面上的上半平面復(fù)合映射，便得到即映射把平面上的弓形域映射成平面上的上半平面 重

22、點(diǎn)難點(diǎn)第七章 傅里葉變換重點(diǎn)：復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)；傅里葉變換的性質(zhì)；相關(guān)函數(shù)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用傅里葉變換的性質(zhì)進(jìn)行傅里葉變換特色：學(xué)習(xí)用Matlab提供的現(xiàn)成函數(shù)和直接積分的方法分別求解傅氏變換本章知識(shí)點(diǎn)摘要：1.傅里葉級(jí)數(shù)（1）周期函數(shù)的傅里葉展開 若函數(shù)以為周期的光滑或分段光滑函數(shù)，且定義域?yàn)椋瑒t式稱為周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式，其中的展開系數(shù)稱為傅里葉系數(shù)（2）復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)以為周期的函數(shù)，則在的連續(xù)點(diǎn)處可將它展開成復(fù)指數(shù)形式（即復(fù)數(shù)形式）的傅里葉級(jí)數(shù) ，其中.2傅里葉變換的定義傅里葉變換 若 滿足傅氏積分定理?xiàng)l件，稱表達(dá)式 為的傅里葉變換式,記作 傅里葉逆變換 如果 則上式為的傅里

23、葉逆變換式，記為 3傅里葉變換的性質(zhì)性質(zhì)1 線性定理 函數(shù)的線性組合的傅氏變換等于函數(shù)的傅氏變換的線性組合即是說(shuō)，如果為任意常數(shù)，則對(duì)函數(shù)有 性質(zhì)2 對(duì)稱定理 若已知 ，則有 這反映出傅氏變換具有一定程度的對(duì)稱性，若采用第一種定義，則完全對(duì)稱 性質(zhì) 3 位移定理 若已知 ，則有 性質(zhì)4坐標(biāo)縮放定理設(shè)是不等于零的實(shí)常數(shù)，若，則有性質(zhì)5 卷積定理和頻譜卷積定理 （1）卷積概念：已知函數(shù) 則積分稱為函數(shù)與的卷積，記作 ，即有(2)卷積定理 設(shè) ，則 成立這個(gè)定理說(shuō)明了兩個(gè)函數(shù)卷積的傅氏變換等于這兩個(gè)函數(shù)傅氏變換的乘積 性質(zhì)6 乘積定理設(shè) 則 其中 為的實(shí)函數(shù)，而代表對(duì)應(yīng)函數(shù)的共軛4相關(guān)函數(shù)（1）互相

24、關(guān)函數(shù)對(duì)于兩個(gè)不同的函數(shù) 和積分稱為兩個(gè)函數(shù)和的互相關(guān)函數(shù)，用記號(hào)表示互相關(guān)函數(shù)滿足性質(zhì)：（2）自相關(guān)函數(shù)當(dāng) 時(shí)，積分稱為函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)（簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)），用記號(hào)表示，即為易見，自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即解題思路：例 求三角脈沖函數(shù)的傅氏變換及其傅氏積分表達(dá)式，其中本題的目的在于比較傅氏變換和傅氏積分表達(dá)式，及其綜合應(yīng)用【解】 根據(jù)傅氏變換的定義，且注意到三角脈沖函數(shù)是偶函數(shù)，所以這就是三角脈沖函數(shù)的傅氏變換下面我們通過(guò)其傅氏變換來(lái)求三角脈沖函數(shù)的積分表達(dá)式 根據(jù)傅氏逆變換的定義，并利用奇、偶函數(shù)的積分性質(zhì)，可得重點(diǎn)難點(diǎn)第八章 拉普拉斯變換重點(diǎn)：了解怎樣從傅里葉變換的定義出發(fā)，導(dǎo)出拉普拉斯變換的定

25、義； 拉普拉斯變換的一些基本性質(zhì)； 其逆變換的積分表達(dá)式復(fù)反演積分公式； 像原函數(shù)的求法難點(diǎn)：拉普拉斯變換的靈活應(yīng)用特色：試用計(jì)算機(jī)仿真求解其拉氏變換，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行反演變換，驗(yàn)證是否能變換為原函數(shù)本章知識(shí)點(diǎn)摘要：1拉氏變換的概念(1)定義 設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有定義，而且積分（是一個(gè)復(fù)參量）在的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則將函數(shù)稱為的拉氏變換（像函數(shù)），記為.（2）一些常用的函數(shù)的拉氏變換 ； ； ； （為正整數(shù)） ； ； .2 .拉氏逆變換概念若滿足式：，我們稱為的拉普拉斯逆變換，簡(jiǎn)稱拉氏逆變換（或稱為原函數(shù)），記為 .3.拉氏變換的性質(zhì)性質(zhì)1 線性定理 若為任意常數(shù)，且，則 性質(zhì)2 延遲定理若設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，又

26、當(dāng)時(shí)，則 性質(zhì)3 位移定理 若，則有性質(zhì)4 相似定理 設(shè)，對(duì)于大于零的常數(shù)，則有性質(zhì)5 微分定理 設(shè)，設(shè)存在且分段連續(xù)，則 性質(zhì)6 像函數(shù)的微分定理 4 拉普拉斯變換的反演求拉普拉斯變換的反演即已知像函數(shù)求原函數(shù)（即為求反演積分）。按下述方法求得：（1） 有理分式反演法 若像函數(shù)是有理分式，只要把有理分式分解為分項(xiàng)分式之和，然后利用拉氏變換的基本公式，就能得到相應(yīng)的原函數(shù).（2） 查表法許多函數(shù)的拉普拉斯變換都制成了表格，可直接從表中查找。 (3) 黎曼梅林反演公式 若函數(shù)滿足拉氏變換存在定理中的條件， 如果為的連續(xù)點(diǎn)，則該式即為黎曼梅林反演公式5拉氏變換的應(yīng)用拉氏變換的應(yīng)用非常廣泛，本章主要

27、討論了拉氏變換求積分，以及求解線性常微分方程.的方法. 解題思路例 求 的拉氏逆變換.【解】 和分別是的三階和二階極點(diǎn)，故用留數(shù)的計(jì)算方法得于是有當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，還可以采用部分分式分解的方法把分解為若干個(gè)拉氏變換附表中的簡(jiǎn)單函數(shù)之和，逐個(gè)求得逆變換重點(diǎn)難點(diǎn)第九章 數(shù)學(xué)建模-數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題重點(diǎn)：掌握掌握常用的定解條件分類及其求法；三類典型數(shù)學(xué)物理方程；定解問(wèn)題的提法。難點(diǎn)：掌握數(shù)學(xué)建模的基本思想；本章知識(shí)點(diǎn)提要：1主要討論的物理模型包括：（1）描述波動(dòng)方程的建立（波動(dòng)方程類型 ）1). 弦的微小橫振動(dòng) ；2).均勻桿的縱振動(dòng)；（2）熱傳導(dǎo)方程的建立 （熱傳導(dǎo)方程類型 ）(3) 穩(wěn)定場(chǎng)方程的建立

28、 （泊松方程 或拉普拉斯方程）2 .定解條件包括初始條件和邊界條件。（1）初始條件：說(shuō)明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件；（2）邊界條件: 說(shuō)明邊界上的約束狀況的條件常見的線性邊界條件分為三類： 第一類 ;第二類，第三類除上述三類常見的邊界條件外，還有自然邊界條件，銜接條件，周期性條件等。3定解問(wèn)題的提法：初值問(wèn)題 、 邊值問(wèn)題 、 混合問(wèn)題。4定解問(wèn)題的主要解法概括如下：1.行波法：先求出滿足定解問(wèn)題的通解，再根據(jù)定解條件確定其特解.行波解是通解法中的一種特殊情形,行波法又稱為達(dá)朗貝爾解法.2.分離變量法：先求出滿足一定條件（如邊界條件）的特解，然后再用線性組合的辦法（組合成級(jí)數(shù)或含參數(shù)的積分）構(gòu)成通

29、解，最后求出滿足定解條件的解.3.冪級(jí)數(shù)解法：就是在某個(gè)任選點(diǎn)的鄰域上，把待求的解表示為系數(shù)待定的級(jí)數(shù)，代入方程以逐個(gè)確定系數(shù)勒讓德多項(xiàng)式、貝塞爾函數(shù)就是通過(guò)冪級(jí)數(shù)解法求得其解的.4.格林函數(shù)法：又稱為點(diǎn)源影響函數(shù)法，把產(chǎn)生某種現(xiàn)象或過(guò)程的分布干擾分解為一系列離散的點(diǎn)干擾的影響，再利用線性疊加原理把這些點(diǎn)干擾影響疊加起來(lái)，從而獲得整個(gè)過(guò)程的分布干擾所產(chǎn)生的影響.5.積分變換法：（包括傅里葉積分變換法和拉普拉斯積分變換法）把偏微分方程化為像空間上的常微分方程，然后求逆變換即得所求的解.6.保角變換法：利用解析函數(shù)將邊界形狀復(fù)雜的區(qū)域變換到某些邊界形狀簡(jiǎn)單的區(qū)域，從而使后一區(qū)域上的拉普拉斯邊值問(wèn)題

30、易于求解.解題思路設(shè)有一長(zhǎng)為的理想傳輸線，遠(yuǎn)端開路. 先把傳輸線充電到電位為，然后把近端短路，試寫出其定解問(wèn)題. 【解】 （1）泛定方程：由于理想傳輸線仍然滿足波動(dòng)方程（數(shù)學(xué)物理方程）類型.（2）邊值條件：至于邊界條件，遠(yuǎn)端開路，即意味著端電流為零，即，根據(jù)(9.1.13)公式得到 且注意到理想傳輸線，故，代入條件有 而近端短路，即意味著端電壓為零，即（3）初始條件：而開始時(shí)傳輸線被充電到電位為，故有初始條件，且此時(shí)的電流，根據(jù)(9.1.14)公式， 且注意到理想傳輸線，故 ，因而有綜上所述，故其定解問(wèn)題為 重點(diǎn)難點(diǎn)第十章二階線性偏微分方程的分類重點(diǎn)：二階線性偏微分方程的基本概念；分類方法和偏

31、微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化.難點(diǎn)：常系數(shù)的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)方法；偏微分方程求解 。本章知識(shí)點(diǎn)提要：1本章主要描述了二階線性偏微分方程的分類方法.從理論上證明了，對(duì)于二階線性偏微分方程 若設(shè)判別式為 ，則二階線性偏微分方程分為三類：當(dāng) 時(shí)，方程稱為雙曲型;當(dāng) 時(shí)，方程稱為拋物型;當(dāng) 時(shí)，方程稱為橢圓型; 2二階線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化通過(guò)自變量變換使得二階線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)類型. 其變換對(duì)應(yīng)于特征線方程： 該常微分方程的特征曲線族分別對(duì)應(yīng)于（1）兩個(gè)實(shí)函數(shù)族；（2）一個(gè)實(shí)函數(shù)族；（3）一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)族 （1）雙曲型偏微分方程 因?yàn)殡p曲型方程對(duì)應(yīng)的判別式，所以特征曲線是兩族不同的實(shí)函數(shù)曲線，通過(guò)

32、自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橄铝行问?稱為雙曲型偏微分方程的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式. （2）拋物型偏微分方程：判別式，特征曲線是一族實(shí)函數(shù)曲線通過(guò)自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?上式稱為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（3）橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程的判別式，特征曲線是一組共軛復(fù)變函數(shù)族通過(guò)自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?稱為橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式3.二階線性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步化簡(jiǎn) (1)雙曲型 (2)拋物型 (3)橢圓型 解題思路求方程的通解【解】此方程是雙曲型的第二標(biāo)準(zhǔn)形，我們可將其化成第一標(biāo)準(zhǔn)形的形式，由特征方程求特征線于是： 即 有 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 所以方程可以化簡(jiǎn)為，從而解得

33、，其中為任意函數(shù)。原方程的通解為 重點(diǎn)難點(diǎn)第十一章 行波法與達(dá)朗貝爾公式重點(diǎn)：二階線性偏微分方程的行波解法；達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用難點(diǎn)：理解定解問(wèn)題適定性； 非齊次偏微分方程的求解本章知識(shí)點(diǎn)提要：1 1 求二階線性偏微分方程的通解.2 2 二階線性偏微分方程的行波解法(行波解法是通解法中的一種特殊的情形，行波法又稱為特征線法). (1) 簡(jiǎn)單的含實(shí)系數(shù)的二階線性偏微分方程的求解 (2) 更為一般的含實(shí)常系數(shù)的偏微分方程的求解 3 達(dá)朗貝爾公式（1） 達(dá)朗貝爾公式無(wú)界弦自由振動(dòng)問(wèn)題其解為稱解的這種表達(dá)式為達(dá)朗貝爾(D.Alembert)公式.（2）達(dá)朗貝爾公式的物理意義 由任意初始擾動(dòng)引起的自由振動(dòng)

34、弦總是以行波的形式向正、反兩個(gè)方向傳播出去，傳播的速度恰好等于泛定方程中的常數(shù)a，這就是達(dá)朗貝爾公式的物理意義4非齊次偏微分方程的求解 (i ) 純強(qiáng)迫振動(dòng)的解 由沖量原理法求解 根據(jù)沖量原理，對(duì)于純強(qiáng)迫力所引起振動(dòng)的定解問(wèn)題：其解為(ii) 一般的強(qiáng)迫振動(dòng)根據(jù)疊加原理得到其解為注： 這是求解無(wú)界區(qū)域強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題的一種比較簡(jiǎn)單的方法5 定解問(wèn)題的適定性驗(yàn)證 對(duì)無(wú)界振動(dòng)定解問(wèn)題的達(dá)朗貝爾解進(jìn)行解的適定性驗(yàn)證.解題思路例 求解半無(wú)界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題【解】 前面我們介紹了沖量原理法求解強(qiáng)迫振動(dòng)，下面我們以另一特征線法求解. 作特征變換，則方程化為分別對(duì)積分，并代入原變量，求得通解 （11.6.7）由

35、初值條件得 （11.6.8） （11.6.9）由（11.6.9）式得 （11.6.10）聯(lián)立（11.6.8）式和（11.6.10）式解得 （11.6.11） （11.6.12）為了利用通解（11.6.7），還必須求出在時(shí)的表達(dá)式為此，利用邊界條件，有即所以 （11.6.13）把（11.6.11），（11.6.12），（11.6.13）代入通解（11.6.7），得所求定解問(wèn)題的解為重點(diǎn)難點(diǎn)第十二章 分離變量法重點(diǎn)：（1）掌握分離變量法的適用范圍及解題步驟（2）掌握齊次一維波動(dòng)方程與熱傳導(dǎo)方程在各類齊次邊界條件下對(duì)應(yīng)的本征值問(wèn)題、本征值、本征函數(shù)系及形式解的結(jié)構(gòu)（以第一、二類邊界條件為主）（3）掌

36、握?qǐng)A域、圓環(huán)域、扇形域、部分圓環(huán)域及矩形區(qū)域上拉普拉斯方程邊值問(wèn)題的本征值問(wèn)題、本征值、本征函數(shù)系及形式解結(jié)構(gòu)難點(diǎn)：理解分離變量法的基本思想；學(xué)習(xí)用計(jì)算機(jī)仿真方法將結(jié)果以圖形表示出來(lái).本章知識(shí)點(diǎn)摘要：1. 分離變量理論(1)定解問(wèn)題實(shí)施變量分離的條件 對(duì)于常系數(shù)二階偏微分方程，總是能實(shí)施變量分離的但對(duì)于變系數(shù)的二階偏微分方程則需要滿足一定的條件，即必須找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，才能實(shí)施變量分離邊界條件可實(shí)施變量分離的條件:進(jìn)行分離變量時(shí)，需適當(dāng)根據(jù)邊界情況選擇直角坐標(biāo)系（二、三維）、極坐標(biāo)系（二維）、柱坐標(biāo)系（三維）、球坐標(biāo)系（三維）等2分離變量解法: 分離變量法(傅里葉級(jí)數(shù)法)的實(shí)質(zhì)即為將時(shí)間變量(在

37、穩(wěn)恒方程中為部分空間變量)視為參變量、將解展為空間變量（穩(wěn)恒方程中為某一空間變量）的傅里葉級(jí)數(shù)，或者說(shuō)將解按本征函數(shù)系展開，展示中每項(xiàng)為變量分離形式；3. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法常規(guī)的分離變量法步驟：第一步：分離變量;第二步：求解本征值（或稱為固有值）問(wèn)題;第三步：求特解，并進(jìn)一步疊加求出一般解;第四步: 利用本征函數(shù)的正交歸一性確定待定系數(shù).4. 二維極坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量 5. 球坐標(biāo)系下分離變量 與時(shí)間無(wú)關(guān)的拉普拉斯方程的變量分離分解為歐拉型方程: ，球函數(shù)方程: 6. 柱坐標(biāo)系下的分離變量(1).與時(shí)間無(wú)關(guān)的拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下的變量分離，對(duì)于方程下面區(qū)分，和三種情況（i

38、）該方程是歐拉型方程（ii）對(duì)于方程，令，方程化為，叫作階貝塞爾方程（iii）以代入，令，則方程化為,叫作虛宗量貝塞爾方程 (2)亥姆霍茲方程的變量分離7非齊次偏微分方程與非齊次邊界條件對(duì)于更一般的非齊次方程和非齊次邊界條件的解法是首先通過(guò)變量代換將邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次的，然后再對(duì)非齊次方程求解目前已經(jīng)介紹的方法有沖量法、特解法和傅里葉級(jí)數(shù)法. 但需注意穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題，不能用沖量法，因?yàn)樗c時(shí)間變化無(wú)關(guān). 解題思路例 求解三維靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題： 【解】 設(shè)，將變量分離，并由邊界條件（19.8.20），得： 相應(yīng)的本征值和本征函數(shù)系為 和 這里，且 于是，得到滿足泛定方程和邊界條件的特解：把各特解疊加

39、，得級(jí)數(shù)解：再由邊界條件（12.8.21），又得 及 把這兩個(gè)式子的兩端分別乘以，并在矩形，內(nèi)積分，注意到函數(shù)系和的正交性，比較兩邊的系數(shù)，可以得到：這里，解出和，代入級(jí)數(shù)解，得所求解為：重點(diǎn)難點(diǎn)第十三章 冪級(jí)數(shù)解法 本征值問(wèn)題重點(diǎn)：二階常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法難點(diǎn)：深入理解冪級(jí)數(shù)解法理論及其普適性；認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的本征函數(shù)族并練習(xí)仿真其正交性。本章知識(shí)點(diǎn)摘要:1常點(diǎn)鄰域上的冪級(jí)數(shù)解法：具體以階勒讓德方程：的級(jí)數(shù)解法進(jìn)行了討論，給出了勒讓德方程的解具體描述為: （1）當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，勒讓德方程在區(qū)間上無(wú)有界的解（2）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，勒讓德方程的通解為，其中稱為第一類勒讓德函數(shù)（即勒讓德多項(xiàng)式），稱為第二類勒

40、讓德函數(shù). 2奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法 ：階貝塞爾方程： 的通解綜述：（1）當(dāng)，即不取整數(shù)時(shí)，通解可表示為 （2）不論是否為整數(shù)，通解都可表示為,其中為任意常數(shù)，為任意實(shí)數(shù)其中稱為階第一類貝塞爾函數(shù)，定義為. 定義第二類貝塞爾函數(shù)（又稱為諾依曼函數(shù)）為 3. 施圖姆劉維爾本征值問(wèn)題（1）施圖姆劉維爾型方程: （2）施圖姆劉維爾本征值問(wèn)題的性質(zhì)（3）廣義傅里葉級(jí)數(shù) 廣義傅里葉系數(shù)對(duì)于，稱右邊的級(jí)數(shù)為廣義傅里葉級(jí)數(shù)，系數(shù)叫作的廣義傅里葉系數(shù)函數(shù)族叫作這級(jí)數(shù)展開的基廣義傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式：解題思路例 將勒讓德方程化成施劉型方程【解】由施劉型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式令， ，即可將勒讓德方程轉(zhuǎn)化為施劉型方程. 重點(diǎn)難

41、點(diǎn)第十四章 格林函數(shù)法重點(diǎn)：理解格林函數(shù)的基本原理；掌握各區(qū)域內(nèi)格林函數(shù)的構(gòu)建方法難點(diǎn)：圓形區(qū)域第一邊值問(wèn)題的格林函數(shù)構(gòu)建本章知識(shí)點(diǎn)摘要1. 格林公式 第一格林公式： 第二格林公式： 2. 泊松方程方程的格林函數(shù)法 （1）定解問(wèn)題 泊松方程 邊值條件 （2）格林函數(shù)的引入及其物理意義（3）互易定理： （4）泊松方程的基本積分公式 3.無(wú)界空間的格林函數(shù) 二維軸對(duì)稱情形的格林函數(shù)可選為： 三維無(wú)界球?qū)ΨQ情形的格林函數(shù)可選為： 4. 用電像法確定格林函數(shù)電像法： 基于靜電學(xué)的鏡像原理來(lái)構(gòu)建格林函數(shù)，故稱這種構(gòu)建方法為電像法（也稱為鏡像法）（1）上半平面區(qū)域第一邊值問(wèn)題的格林函數(shù)構(gòu)建格林函數(shù)為即或(

42、2)半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問(wèn)題的格林函數(shù)構(gòu)建 格林函數(shù)為即 (3) 圓形區(qū)域第一邊值問(wèn)題的格林函數(shù)構(gòu)建 即為 解題思路我們總結(jié)得出格林函數(shù)的求法如下：(1)在給定的區(qū)域內(nèi)，任取一固定點(diǎn)，在點(diǎn)處放上適當(dāng)?shù)恼姾桑?2) 以區(qū)域劃分空間為若干部分（有限個(gè)或無(wú)窮多），在這樣的每一個(gè)部分內(nèi)求出點(diǎn)關(guān)于圍成區(qū)域的所有邊界的某種對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ點(diǎn)關(guān)于邊界的對(duì)稱點(diǎn)：.在這些對(duì)稱點(diǎn)上放上相應(yīng)的點(diǎn)電荷. (3)求這些點(diǎn)電荷，在區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)處產(chǎn)生的電位，其中的正負(fù)取決于點(diǎn)所帶電荷的正負(fù) 注意，對(duì)于每一邊界的像（映射），電荷反號(hào). 如上例中，設(shè)為正電荷，則關(guān)于一個(gè)邊界的像點(diǎn)：為負(fù)電荷。關(guān)于另一個(gè)邊界的像點(diǎn)也

43、為負(fù)電荷。而是負(fù)電荷關(guān)于邊界的像或是負(fù)電荷關(guān)于邊界的像，故為正電荷. (4)區(qū)域內(nèi)的格林函數(shù)就是這些電位之和,即.重點(diǎn)難點(diǎn)第十五章積分變換法求解定解問(wèn)題重點(diǎn)：傅里葉變換法解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題；拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題；比較積分變換法與分離變量法相比的優(yōu)越性所在。難點(diǎn)：學(xué)習(xí)應(yīng)用Matlab中的傅里葉變換法和拉普拉氏變換法；區(qū)分兩種變換法的不同應(yīng)用范圍。理解不同多個(gè)自變量的線性偏微分方程解決方法的交叉點(diǎn)本章知識(shí)點(diǎn)摘要:1傅里葉變換法解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題（1）弦振動(dòng)問(wèn)題（2）熱傳導(dǎo)問(wèn)題（3）穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題2拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題（1）無(wú)界區(qū)域的問(wèn)題（2）半無(wú)界區(qū)域的問(wèn)題解題思路：用積分變換求解

44、定解問(wèn)題的步驟為：第一：根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件確定選擇適當(dāng)?shù)姆e分變換；對(duì)于自變量在內(nèi)變化的定解問(wèn)題（如無(wú)界域的坐標(biāo)變量）常采用傅氏變換，而自變量在內(nèi)變化的定解問(wèn)題（如時(shí)間變量）常采用拉氏變換第二：對(duì)方程取積分變換，將一個(gè)含兩個(gè)自變量的偏微分方程化為一個(gè)含參量的常微分方程；第三：求解常微分方程的解，即為原定解問(wèn)題的變換；第四：對(duì)所得解取逆變換，最后得原定解問(wèn)題的解例 求解無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)定解問(wèn)題（假定：函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的，以后不再特別指出這一定解問(wèn)題在行波法中已經(jīng)介紹，讀者可以比較行波解法和傅氏解法） 【解】 應(yīng)用傅里葉變換，即用遍乘定解問(wèn)題中的各式，并對(duì)空間變量x積分（這里把時(shí)

45、間變量看成參數(shù)），按照傅里葉變換的定義，我們采用如下的傅氏變換對(duì)： 簡(jiǎn)化表示為 對(duì)其它函數(shù)也作傅氏變換，即為于是原定解問(wèn)題變換為下列常微分方程的定解問(wèn)題上述常微分方程的通解為代入初始條件可以定出 這樣 最后，上式乘以并作逆傅氏變換應(yīng)用延遲定理和積分定理得到這正是前面學(xué)過(guò)的的達(dá)朗貝爾公式.。重點(diǎn)難點(diǎn)第十六章 保角變換法求解定解問(wèn)題重點(diǎn)：學(xué)會(huì)用保角變換法求解復(fù)雜邊界的定解問(wèn)題；保角變換與拉普拉斯方程邊值問(wèn)題的關(guān)系難點(diǎn)：學(xué)習(xí)使用計(jì)算機(jī)仿真來(lái)求解相同的定解問(wèn)題；保角變換在不同邊界條件下的靈活運(yùn)用本章知識(shí)點(diǎn)摘要：1 保角變換與拉普拉斯方程邊值問(wèn)題的關(guān)系定律16.1.1 如果將由到的保角變換看成為二元（實(shí)

46、變）函數(shù)的變換由到的變量代換，則平面上的邊界變成了平面上的邊界我們能證明，如果滿足拉普拉斯方程，則經(jīng)過(guò)保角變換后得到的也滿足拉普拉斯方程2保角變換法求解定解問(wèn)題解題思路：例16.2.2 試求平面靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布，其中 （16.2.8） (16.2.9)【解】 變換使上半平面變成平面上的帶形域（圖16.2）,而在帶形域上的解是顯然的，類似于上面定解問(wèn)題(16.2.6)的結(jié)果(16.2.7),則本定解問(wèn)題可歸結(jié)為 (16.2.10)而 所以 于是，作反變換便可求得所求問(wèn)題的解為 進(jìn)一步討論：（1）同理可證 是下列定解問(wèn)題的解 （說(shuō)明：這里的和下面的不代表求導(dǎo)，是指彼此不同的值）(2) 同理可證 是

47、下列定解問(wèn)題的解 (3)可證 是下列定解問(wèn)題的解： 其中而又可改寫成（4）進(jìn)一步推廣是下列定解問(wèn)題的解 3.保角變換法解定解問(wèn)題的基本思想通過(guò)解析函數(shù)的變換（或映射，這部分知識(shí)在復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)）將平面上具有復(fù)雜邊界形狀的邊值問(wèn)題變換為平面上具有簡(jiǎn)單形狀（通常是圓、上半平面或帶形域）的邊值問(wèn)題，而后一問(wèn)題的解易于求得于是再通過(guò)逆變換就求得了原始定解問(wèn)題的解重點(diǎn)難點(diǎn)第十七章 變分法重點(diǎn)：討論泛函的極值問(wèn)題；里茨方法的基本要點(diǎn)難點(diǎn)：計(jì)算機(jī)仿真求泛函的極值曲線； 歐拉拉格朗日方程的靈活運(yùn)用本章知識(shí)點(diǎn)摘要：變分法就是求泛函極值的方法變分問(wèn)題即是求泛函的極值問(wèn)題1泛函泛函定義為，其中 稱為泛函的核

48、泛函的變分定義為 2 泛函的極值（1）泛函極值的必要條件：歐拉拉格朗日方程 (i).泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式,即 歐拉拉格朗日（Euler-Lagrange）方程，簡(jiǎn)稱為E-L方程 (ii)泛函表示為多個(gè)函數(shù)的積分形式 (iii)泛函的積分形式中含有高階導(dǎo)數(shù) 由此可見僅為的函數(shù) (2) 泛函的條件極值問(wèn)題3 泛函極值問(wèn)題的典型應(yīng)用4泛函極值的直接方法里茨Ritz方法里茨方法就是比較典型的直接方法：其基本要點(diǎn)是，不把泛函放在它的全部定義域內(nèi)來(lái)考慮，而把它放在其定義域的某一部分來(lái)考慮5 用變分法解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題 變分法解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的基本原理： 對(duì)于二階常微分方程（施劉型）的本征值問(wèn)題 該本征值問(wèn)題可歸結(jié)為在歸一化附加約束條件，和相應(yīng)邊界條件下求泛函 的極值問(wèn)題解題思路例 用變分法求邊界固定半徑為的圓膜振動(dòng)的本征振動(dòng)