數(shù)字電路課件：第2章邏輯函數(shù)與邏輯門

1、第二章 邏輯函數(shù)及邏輯門,杭州電子科技大學電子信息學院,教材原著：數(shù)字電路 龔之春 編著,邏輯函數(shù),用有限個與、或、非邏輯運算符，按某種邏輯關系將邏輯變量A、B、C、.連接起來，所得的表達式F = f（A、B、C、.）稱為邏輯函數(shù)。,取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯態(tài),第二章 邏輯函數(shù)及邏輯門,1、基本邏輯運算,設：開關閉合=“1” 開關不閉合=“0” 燈亮，L=1 燈不亮，L=0,與邏輯只有當決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會發(fā)生。,1)與運算,與邏輯表達式：,一、邏輯運算,2）或運算,或邏輯表達式： LA+B,或邏輯當決定一件

2、事情的幾個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，這件事情就發(fā)生。,3）非運算,非邏輯表達式：,非邏輯某事情發(fā)生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發(fā)生；條件不具備時事情才發(fā)生。,2、其他常用邏輯運算,2）或非 由或運算和非運算組合而成。,1）與非 由與運算 和非運算組合而成。,3）異或,異或是一種二變量邏輯運算，當兩個變量取值相同，邏輯函數(shù)值為0；當兩個變量取值不同時，邏輯函數(shù)值為1。,異或的邏輯表達式為：,4）同或（異或非）,二、邏輯函數(shù)的運算定律及規(guī)則,常用公式： 1）摩根公式：,推廣,證明：,2),*邏輯規(guī)則,1）代入規(guī)則：,指在一個邏輯等式中，如將其中某個變

3、量，都代之 以另一個邏輯函數(shù)，則該等式依然成立,在摩根律,中用BC代替B，得,2）對偶規(guī)則,一個邏輯函數(shù)Y，如將其中的與換成或， 或換成與， 0換成1，1換成0， 而變量及反變量本身保持不變，經這樣置換后的新函數(shù)Y*，便是原函數(shù)Y的對偶函數(shù)。,與或互換、0和1互換，變量和反變量不變，非不變,3）反演規(guī)則,將某邏輯函數(shù)Y中的“與”與“或”對換， 0和1對換， 原變量和反變量也同時對換， 這樣對換后的新函數(shù)，便是原函數(shù)Y的反函數(shù) 。,與或互換、0和1互換 ，變量和反變量互換。,舉例,三、邏輯函數(shù)的表示方法,1真值表將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應的 函數(shù)值排列在一起而組成的表格。,2函數(shù)表達式由

4、邏輯變量和“與”、“或”、“非”等多種運 算符所構成的表達式。,3邏輯圖由邏輯符號及它們之間的連線而構成的圖形。,4波形圖由輸入和輸出的波形圖可構成函數(shù)的對應形式。,F,斷“0”,合“1”,亮“1”,滅“0”,0,0,0,0,1,1,0, 挑出函數(shù)值為1的項,1, 每個函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個乘積項, 這些乘積項作邏輯加,解：第一步：設置自變量和因變量。 第二步：狀態(tài)賦值。 對于變量A、B、C設： 同意為邏輯“1”， 不同意為邏輯“0”。 對于函數(shù)F設： 事情通過為邏輯“1”， 沒通過為邏輯“0”。,例1. 三個人表決一件事情，結果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則 決定，試建立該邏輯函數(shù)。

5、,第三步：根據(jù)題義及上述規(guī)定 列出函數(shù)的真值表。,由真值表可以轉換為函數(shù)表達式。 由“三人表決”函數(shù)的真值表可寫出邏輯表達式：,解：該函數(shù)有兩個變量， 有4種取值的可能組合， 將他們按順序排列起來 即得真值表。,反之，由函數(shù)表達式也可以轉換成真值表。,例2 列出下列函數(shù)的真值表：,例4 寫出如圖所示 邏輯圖的函數(shù)表達式。,由函數(shù)表達式可以畫出邏輯圖。,解：可用兩個非門、 兩個與門 和一個或門組成。,由邏輯圖也可以寫出表達式。,解：,例3 畫出函數(shù) 的邏輯圖：,等式右邊,公式可推廣：,A B,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,用真值表證明,例7、試用真值表證明,1）

6、、最小項和最大項,2、函數(shù)表達式：與或式,n個變量有2n個最小項，記作mi,3個變量有23（8）個最小項,m0,m1,000,001,0,1,n個變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個變量的乘積項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）,最小項,二進制數(shù),十進制數(shù),編號, 最大項,n個變量有2n個最大項，記作i,n個變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個變量的和項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）,M0,M1,000,001,0,1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,010,011,100,101,110,111,2,3,4,5,6,7,最大項,二進制數(shù),十進制數(shù),編號,

7、最小項與最大項的關系,相同編號的最小項和最大項存在互補關系,即:,mi =,Mi,Mi =,mi,若干個最小項之和表示的表達式F，其反函數(shù)F可用等同個與這些最小項相對應的最大項之積表示。,=,=,2）、邏輯函數(shù)的標準形式,解：F(A、B、C),解:, 從真值表找出F為1的對應最小項,解:, 然后將這些項邏輯加,F(A、B、C),例11：已知函數(shù)的真值表，寫出該函數(shù)的最大項之積表達式, 從真值表找出F為0 的對應最大項,解:, 然后將這些項邏輯乘,F(A、B、C),完全描述的邏輯函數(shù)：真值表中各行的輸出都是明確的， 非0即1,非完全描述的邏輯函數(shù)：真值表中有些行的輸出是明確的， 還有些行的輸出是

8、未加規(guī)定的 ， 稱為無關項或任意項，用d和D表 示。,3）、未完全描述函數(shù)的真值表及表達式,例、試寫出表中所示真值表的邏輯函數(shù),解：,表中有兩行是任意項,將任意項作1看待， 函數(shù)的最小項之和表達式為,將任意項作0看待， 函數(shù)的最大項之積表達式為, 邏輯電路所用門的數(shù)量少, 每個門的輸入端個數(shù)少, 邏輯電路構成級數(shù)少, 邏輯電路保證能可靠地工作,四、邏輯函數(shù)的簡化,最簡式的標準, 首先是式中乘積項最少, 與或表達式的簡化,1、代數(shù)法化簡函數(shù),與門的輸入端個數(shù)少, 消項： 利用A + AB = A消去多余的項AB,代數(shù)法化簡函數(shù),解：,2.卡諾圖化簡函數(shù), 卡諾圖（K圖）,A B,0 0,0 1,

9、1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,B,AB,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,A,BC,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,四變量卡諾圖：,圖形法化簡函數(shù), k圖為方形圖。n個變量的函數(shù)-k圖有2n個小方格，分別對應2n個最小項；, k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項之間具有邏輯相鄰性。, 相鄰情況：上下，左右，上下底，左右邊，四角相

10、鄰。（相對）,相對相鄰,圖形法化簡函數(shù), k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項之間具有邏輯相鄰性。,圖形法化簡函數(shù), 與或表達式的簡化, 先將函數(shù)填入相應的卡諾圖中，存在的最小項對應的方格填1，其它填0。,合并：按作圈原則將圖上相鄰填1的 個 方格圈起來，要求圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復包圍但每個圈內必須有新的最小項。, 每個圈寫出一個與項。按取同去異原則, 最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達式, 根據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖,1、已知函數(shù)為最小項表達式，存在的最小項對應的格 填1，其余格均填0。,2、若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值為1的 那些最小項對應的方格填1，其余格均

11、填0。,3、函數(shù)為一個復雜的運算式，則先將其變成與或式， 再用直接法填寫。, 作圈的步驟,1、孤立的單格單獨畫圈,2、圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復包圍但每個圈內必 須有新的最小項,3、含1的格都應被圈入，以防止遺漏積項,圖形法化簡函數(shù),F(A,B,C)=BC+AC+AB,圈1法, 含有無關項的函數(shù)的化簡, 填函數(shù)的卡諾圖時只在無關項對應的格內填任意符號“-”、“”、“d或“”。,處理方法：,對于變量的某些取值組合，所對應的函數(shù)值是不定的。通常約束項和任意項在邏輯函數(shù)中統(tǒng)稱為無關項, 化簡時可根據(jù)需要視為“1”也可視為“0”，使函數(shù)化到最簡。,圖形法化簡函數(shù),例1 畫出函數(shù)Y=f(A,B,C,D

12、)=m(2,5,8,10,12,14,15) 的卡諾圖,例2 畫出函數(shù)Y=f(A,B,C,D)=m(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10)的卡諾圖,化簡：函數(shù)Y=f(A,B,C,D)=m(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10),化簡：函數(shù)Y=f(A,B,C,D)=m(2,5,8,10,12,14,15),圈0法：可得到最簡或與式,5）多輸出函數(shù)的化簡,用卡諾圖對變量相同的多個輸出函數(shù)進行化簡時，應圈出盡量多的公共項,例：試用卡諾圖化簡多輸出函數(shù)：,解：先畫出相應的卡諾圖,按盡量圈公共項的原則，可得：,6）禁止邏輯,設有函數(shù) ，其卡諾圖如圖所示：,用圈1法，可

13、得：,若將圖中原為0的3號小格 打上陰影線，它應為禁止項,現(xiàn)在先將該禁止項圈進，得 新函數(shù) ，再 乘上禁止項之非 ，便得：,例：試用阻塞法化簡函數(shù),解：將函數(shù)畫成卡諾圖,發(fā)現(xiàn)如按圈1法，已是最簡的積之和表達式,若令 為禁止項， 則可寫出：,該表達式具有較少的門電路和連線,與: 相應格的值相與,或: 相應格的值相或,反函數(shù): 每個格的值取反,對偶函數(shù): 每個格填上對偶項值的非 m0-M15 m1-M14 m2-M13 ,五、卡諾圖運算,六、降維卡諾圖（不要求掌握降維卡諾圖的合并化簡）,一個五變量函數(shù)，可以填入四變量的卡諾圖中，小格中除常量0、1及任意項“”外，還會出現(xiàn)另一個變量，后者就稱為圖記變

14、量，而這種卡諾圖就成為降維卡諾圖。,將A選作圖記變量，合并卡諾圖,選B為圖記變量，降成三變量式的 卡諾圖,A=0 A=1,較難:不要求掌握,五、邏輯門、符號和變換,1、邏輯符號 （GB4728.12-85）,1邏輯單元符號：,2輸入輸出記號：,狀態(tài)記號,電平記號,非門,邏輯符號： （GB4728.12-85）,1圖形符號的三種形式,2、門電路符號：,3、表達式電路圖：,1用與非門實現(xiàn)（Y=AB）,與：Y=AB=AB,非：Y=A=AA,或：Y=A+B=A+B=A B,或：一端為A，一端接1,2用或非門實現(xiàn)（Y=A+B）,或：Y=A+B=A+B,非：Y=A=A+A,與：Y=AB=AB=A+B,或：

15、一端為A，一端接0,例1：分別用與非門和或非門表示異或,Y=AB=AB+AB=AB AB,Y=AB=AB+AB=A+B +A+B,函數(shù)表達式的常用形式（重點掌握）, 五種常用表達式,F(A，B，C),“與或”式,“或與”式,“與非與非”式,“或非或非”式,“與或非”式, 表達式形式轉換,利用反演律,特定的邏輯問題，對應的真值表是唯一的，實現(xiàn)的邏輯函數(shù)有多種形式，對應的邏輯電路圖的形式有多種。,例1：多輸入與或非門,4、電路圖表達式,分析下列電路寫出邏輯表達式,5、其他表示法（了解）,1開關網絡（p54）,2文氏圖(p55),3表格法化簡(p56),A,B,F,VL VL,VL,VL,VH,VL,VL VH,VH VL,VH VH,電平關系,正邏輯,負邏輯,正與 = 負或,正或 = 負與,正與非 = 負或非,正或非 = 負與非, 在一種邏輯符號的所有入、出端同時加上或者去掉小圈，當一根線上有兩個小圈，則無需畫圈, 原來的符號互換（與或、同或異或）,（與門）,（或門）,六、正邏輯與負邏輯,邏輯約定：, 幾種常用的數(shù)制：二進制、八進制、十六進制和十進 制以及相互間的轉換, 碼制部分：自然二進制碼、格雷碼、和常用的BCD碼,任意