數(shù)字電路課件：第2章邏輯函數(shù)與邏輯門

1、第二章 邏輯函數(shù)及邏輯門,杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院,教材原著：數(shù)字電路 龔之春 編著,邏輯函數(shù),用有限個(gè)與、或、非邏輯運(yùn)算符，按某種邏輯關(guān)系將邏輯變量A、B、C、.連接起來(lái)，所得的表達(dá)式F = f（A、B、C、.）稱為邏輯函數(shù)。,取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對(duì)立的兩種邏輯態(tài),第二章 邏輯函數(shù)及邏輯門,1、基本邏輯運(yùn)算,設(shè)：開(kāi)關(guān)閉合=“1” 開(kāi)關(guān)不閉合=“0” 燈亮，L=1 燈不亮，L=0,與邏輯只有當(dāng)決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會(huì)發(fā)生。,1)與運(yùn)算,與邏輯表達(dá)式：,一、邏輯運(yùn)算,2）或運(yùn)算,或邏輯表達(dá)式： LA+B,或邏輯當(dāng)決定一件

2、事情的幾個(gè)條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件具備，這件事情就發(fā)生。,3）非運(yùn)算,非邏輯表達(dá)式：,非邏輯某事情發(fā)生與否，僅取決于一個(gè)條件，而且是對(duì)該條件的否定。即條件具備時(shí)事情不發(fā)生；條件不具備時(shí)事情才發(fā)生。,2、其他常用邏輯運(yùn)算,2）或非 由或運(yùn)算和非運(yùn)算組合而成。,1）與非 由與運(yùn)算 和非運(yùn)算組合而成。,3）異或,異或是一種二變量邏輯運(yùn)算，當(dāng)兩個(gè)變量取值相同，邏輯函數(shù)值為0；當(dāng)兩個(gè)變量取值不同時(shí)，邏輯函數(shù)值為1。,異或的邏輯表達(dá)式為：,4）同或（異或非）,二、邏輯函數(shù)的運(yùn)算定律及規(guī)則,常用公式： 1）摩根公式：,推廣,證明：,2),*邏輯規(guī)則,1）代入規(guī)則：,指在一個(gè)邏輯等式中，如將其中某個(gè)變

3、量，都代之 以另一個(gè)邏輯函數(shù)，則該等式依然成立,在摩根律,中用BC代替B，得,2）對(duì)偶規(guī)則,一個(gè)邏輯函數(shù)Y，如將其中的與換成或， 或換成與， 0換成1，1換成0， 而變量及反變量本身保持不變，經(jīng)這樣置換后的新函數(shù)Y*，便是原函數(shù)Y的對(duì)偶函數(shù)。,與或互換、0和1互換，變量和反變量不變，非不變,3）反演規(guī)則,將某邏輯函數(shù)Y中的“與”與“或”對(duì)換， 0和1對(duì)換， 原變量和反變量也同時(shí)對(duì)換， 這樣對(duì)換后的新函數(shù)，便是原函數(shù)Y的反函數(shù) 。,與或互換、0和1互換 ，變量和反變量互換。,舉例,三、邏輯函數(shù)的表示方法,1真值表將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應(yīng)的 函數(shù)值排列在一起而組成的表格。,2函數(shù)表達(dá)式由

4、邏輯變量和“與”、“或”、“非”等多種運(yùn) 算符所構(gòu)成的表達(dá)式。,3邏輯圖由邏輯符號(hào)及它們之間的連線而構(gòu)成的圖形。,4波形圖由輸入和輸出的波形圖可構(gòu)成函數(shù)的對(duì)應(yīng)形式。,F,斷“0”,合“1”,亮“1”,滅“0”,0,0,0,0,1,1,0, 挑出函數(shù)值為1的項(xiàng),1, 每個(gè)函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個(gè)乘積項(xiàng), 這些乘積項(xiàng)作邏輯加,解：第一步：設(shè)置自變量和因變量。 第二步：狀態(tài)賦值。 對(duì)于變量A、B、C設(shè)： 同意為邏輯“1”， 不同意為邏輯“0”。 對(duì)于函數(shù)F設(shè)： 事情通過(guò)為邏輯“1”， 沒(méi)通過(guò)為邏輯“0”。,例1. 三個(gè)人表決一件事情，結(jié)果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則 決定，試建立該邏輯函數(shù)。

5、,第三步：根據(jù)題義及上述規(guī)定 列出函數(shù)的真值表。,由真值表可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)表達(dá)式。 由“三人表決”函數(shù)的真值表可寫出邏輯表達(dá)式：,解：該函數(shù)有兩個(gè)變量， 有4種取值的可能組合， 將他們按順序排列起來(lái) 即得真值表。,反之，由函數(shù)表達(dá)式也可以轉(zhuǎn)換成真值表。,例2 列出下列函數(shù)的真值表：,例4 寫出如圖所示 邏輯圖的函數(shù)表達(dá)式。,由函數(shù)表達(dá)式可以畫(huà)出邏輯圖。,解：可用兩個(gè)非門、 兩個(gè)與門 和一個(gè)或門組成。,由邏輯圖也可以寫出表達(dá)式。,解：,例3 畫(huà)出函數(shù) 的邏輯圖：,等式右邊,公式可推廣：,A B,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,用真值表證明,例7、試用真值表證明,1）

6、、最小項(xiàng)和最大項(xiàng),2、函數(shù)表達(dá)式：與或式,n個(gè)變量有2n個(gè)最小項(xiàng)，記作mi,3個(gè)變量有23（8）個(gè)最小項(xiàng),m0,m1,000,001,0,1,n個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個(gè)變量的乘積項(xiàng)（每個(gè)變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）,最小項(xiàng),二進(jìn)制數(shù),十進(jìn)制數(shù),編號(hào), 最大項(xiàng),n個(gè)變量有2n個(gè)最大項(xiàng)，記作i,n個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個(gè)變量的和項(xiàng)（每個(gè)變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）,M0,M1,000,001,0,1,M2,M3,M4,M5,M6,M7,010,011,100,101,110,111,2,3,4,5,6,7,最大項(xiàng),二進(jìn)制數(shù),十進(jìn)制數(shù),編號(hào),

7、最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系,相同編號(hào)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)存在互補(bǔ)關(guān)系,即:,mi =,Mi,Mi =,mi,若干個(gè)最小項(xiàng)之和表示的表達(dá)式F，其反函數(shù)F可用等同個(gè)與這些最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)之積表示。,=,=,2）、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式,解：F(A、B、C),解:, 從真值表找出F為1的對(duì)應(yīng)最小項(xiàng),解:, 然后將這些項(xiàng)邏輯加,F(A、B、C),例11：已知函數(shù)的真值表，寫出該函數(shù)的最大項(xiàng)之積表達(dá)式, 從真值表找出F為0 的對(duì)應(yīng)最大項(xiàng),解:, 然后將這些項(xiàng)邏輯乘,F(A、B、C),完全描述的邏輯函數(shù)：真值表中各行的輸出都是明確的， 非0即1,非完全描述的邏輯函數(shù)：真值表中有些行的輸出是明確的， 還有些行的輸出是

8、未加規(guī)定的 ， 稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)或任意項(xiàng)，用d和D表 示。,3）、未完全描述函數(shù)的真值表及表達(dá)式,例、試寫出表中所示真值表的邏輯函數(shù),解：,表中有兩行是任意項(xiàng),將任意項(xiàng)作1看待， 函數(shù)的最小項(xiàng)之和表達(dá)式為,將任意項(xiàng)作0看待， 函數(shù)的最大項(xiàng)之積表達(dá)式為, 邏輯電路所用門的數(shù)量少, 每個(gè)門的輸入端個(gè)數(shù)少, 邏輯電路構(gòu)成級(jí)數(shù)少, 邏輯電路保證能可靠地工作,四、邏輯函數(shù)的簡(jiǎn)化,最簡(jiǎn)式的標(biāo)準(zhǔn), 首先是式中乘積項(xiàng)最少, 與或表達(dá)式的簡(jiǎn)化,1、代數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù),與門的輸入端個(gè)數(shù)少, 消項(xiàng)： 利用A + AB = A消去多余的項(xiàng)AB,代數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù),解：,2.卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù), 卡諾圖（K圖）,A B,0 0,0 1,

9、1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,B,AB,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,A,BC,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,四變量卡諾圖：,圖形法化簡(jiǎn)函數(shù), k圖為方形圖。n個(gè)變量的函數(shù)-k圖有2n個(gè)小方格，分別對(duì)應(yīng)2n個(gè)最小項(xiàng)；, k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項(xiàng)之間具有邏輯相鄰性。, 相鄰情況：上下，左右，上下底，左右邊，四角相

10、鄰。（相對(duì)）,相對(duì)相鄰,圖形法化簡(jiǎn)函數(shù), k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項(xiàng)之間具有邏輯相鄰性。,圖形法化簡(jiǎn)函數(shù), 與或表達(dá)式的簡(jiǎn)化, 先將函數(shù)填入相應(yīng)的卡諾圖中，存在的最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格填1，其它填0。,合并：按作圈原則將圖上相鄰填1的 個(gè) 方格圈起來(lái)，要求圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復(fù)包圍但每個(gè)圈內(nèi)必須有新的最小項(xiàng)。, 每個(gè)圈寫出一個(gè)與項(xiàng)。按取同去異原則, 最后將全部積項(xiàng)邏輯加即得最簡(jiǎn)與或表達(dá)式, 根據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖,1、已知函數(shù)為最小項(xiàng)表達(dá)式，存在的最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的格 填1，其余格均填0。,2、若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值為1的 那些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格填1，其余格均

11、填0。,3、函數(shù)為一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)算式，則先將其變成與或式， 再用直接法填寫。, 作圈的步驟,1、孤立的單格單獨(dú)畫(huà)圈,2、圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復(fù)包圍但每個(gè)圈內(nèi)必 須有新的最小項(xiàng),3、含1的格都應(yīng)被圈入，以防止遺漏積項(xiàng),圖形法化簡(jiǎn)函數(shù),F(A,B,C)=BC+AC+AB,圈1法, 含有無(wú)關(guān)項(xiàng)的函數(shù)的化簡(jiǎn), 填函數(shù)的卡諾圖時(shí)只在無(wú)關(guān)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的格內(nèi)填任意符號(hào)“-”、“”、“d或“”。,處理方法：,對(duì)于變量的某些取值組合，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是不定的。通常約束項(xiàng)和任意項(xiàng)在邏輯函數(shù)中統(tǒng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng), 化簡(jiǎn)時(shí)可根據(jù)需要視為“1”也可視為“0”，使函數(shù)化到最簡(jiǎn)。,圖形法化簡(jiǎn)函數(shù),例1 畫(huà)出函數(shù)Y=f(A,B,C,D

12、)=m(2,5,8,10,12,14,15) 的卡諾圖,例2 畫(huà)出函數(shù)Y=f(A,B,C,D)=m(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10)的卡諾圖,化簡(jiǎn)：函數(shù)Y=f(A,B,C,D)=m(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10),化簡(jiǎn)：函數(shù)Y=f(A,B,C,D)=m(2,5,8,10,12,14,15),圈0法：可得到最簡(jiǎn)或與式,5）多輸出函數(shù)的化簡(jiǎn),用卡諾圖對(duì)變量相同的多個(gè)輸出函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)圈出盡量多的公共項(xiàng),例：試用卡諾圖化簡(jiǎn)多輸出函數(shù)：,解：先畫(huà)出相應(yīng)的卡諾圖,按盡量圈公共項(xiàng)的原則，可得：,6）禁止邏輯,設(shè)有函數(shù) ，其卡諾圖如圖所示：,用圈1法，可

13、得：,若將圖中原為0的3號(hào)小格 打上陰影線，它應(yīng)為禁止項(xiàng),現(xiàn)在先將該禁止項(xiàng)圈進(jìn)，得 新函數(shù) ，再 乘上禁止項(xiàng)之非 ，便得：,例：試用阻塞法化簡(jiǎn)函數(shù),解：將函數(shù)畫(huà)成卡諾圖,發(fā)現(xiàn)如按圈1法，已是最簡(jiǎn)的積之和表達(dá)式,若令 為禁止項(xiàng)， 則可寫出：,該表達(dá)式具有較少的門電路和連線,與: 相應(yīng)格的值相與,或: 相應(yīng)格的值相或,反函數(shù): 每個(gè)格的值取反,對(duì)偶函數(shù): 每個(gè)格填上對(duì)偶項(xiàng)值的非 m0-M15 m1-M14 m2-M13 ,五、卡諾圖運(yùn)算,六、降維卡諾圖（不要求掌握降維卡諾圖的合并化簡(jiǎn)）,一個(gè)五變量函數(shù)，可以填入四變量的卡諾圖中，小格中除常量0、1及任意項(xiàng)“”外，還會(huì)出現(xiàn)另一個(gè)變量，后者就稱為圖記變

14、量，而這種卡諾圖就成為降維卡諾圖。,將A選作圖記變量，合并卡諾圖,選B為圖記變量，降成三變量式的 卡諾圖,A=0 A=1,較難:不要求掌握,五、邏輯門、符號(hào)和變換,1、邏輯符號(hào) （GB4728.12-85）,1邏輯單元符號(hào)：,2輸入輸出記號(hào)：,狀態(tài)記號(hào),電平記號(hào),非門,邏輯符號(hào)： （GB4728.12-85）,1圖形符號(hào)的三種形式,2、門電路符號(hào)：,3、表達(dá)式電路圖：,1用與非門實(shí)現(xiàn)（Y=AB）,與：Y=AB=AB,非：Y=A=AA,或：Y=A+B=A+B=A B,或：一端為A，一端接1,2用或非門實(shí)現(xiàn)（Y=A+B）,或：Y=A+B=A+B,非：Y=A=A+A,與：Y=AB=AB=A+B,或：

15、一端為A，一端接0,例1：分別用與非門和或非門表示異或,Y=AB=AB+AB=AB AB,Y=AB=AB+AB=A+B +A+B,函數(shù)表達(dá)式的常用形式（重點(diǎn)掌握）, 五種常用表達(dá)式,F(A，B，C),“與或”式,“或與”式,“與非與非”式,“或非或非”式,“與或非”式, 表達(dá)式形式轉(zhuǎn)換,利用反演律,特定的邏輯問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的真值表是唯一的，實(shí)現(xiàn)的邏輯函數(shù)有多種形式，對(duì)應(yīng)的邏輯電路圖的形式有多種。,例1：多輸入與或非門,4、電路圖表達(dá)式,分析下列電路寫出邏輯表達(dá)式,5、其他表示法（了解）,1開(kāi)關(guān)網(wǎng)絡(luò)（p54）,2文氏圖(p55),3表格法化簡(jiǎn)(p56),A,B,F,VL VL,VL,VL,VH,VL,VL VH,VH VL,VH VH,電平關(guān)系,正邏輯,負(fù)邏輯,正與 = 負(fù)或,正或 = 負(fù)與,正與非 = 負(fù)或非,正或非 = 負(fù)與非, 在一種邏輯符號(hào)的所有入、出端同時(shí)加上或者去掉小圈，當(dāng)一根線上有兩個(gè)小圈，則無(wú)需畫(huà)圈, 原來(lái)的符號(hào)互換（與或、同或異或）,（與門）,（或門）,六、正邏輯與負(fù)邏輯,邏輯約定：, 幾種常用的數(shù)制：二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制和十進(jìn) 制以及相互間的轉(zhuǎn)換, 碼制部分：自然二進(jìn)制碼、格雷碼、和常用的BCD碼,任意