高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件下第12_8常系數(shù)齊次

1、,常系數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第八節(jié),齊次線性微分方程,基本思路:,求解常系數(shù)線性齊次微分方程,求特征方程(代數(shù)方程)之根,轉(zhuǎn)化,第十二章,二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得,稱為微分方程的特征方程,1. 當(dāng),時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根,方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:,因此方程的通解為,( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為,則微分,其根稱為特征根.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 當(dāng),時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根,則微分方程有一個(gè)特解,設(shè)另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 則得,因此原方程的通解為,機(jī)動(dòng)

2、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 當(dāng),時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:,因此原方程的通解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,小結(jié):,特征方程:,實(shí)根,以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,若特征方程含 k 重復(fù)根,若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng),則其通解中必含,對(duì)應(yīng)項(xiàng),特征方程:,推廣:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,例2. 求解初值問題,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,

3、利用初始條件得,于是所求初值問題的解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,解:,由第七節(jié)例1 (P293) 知, 位移滿足,質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),初始,求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,立坐標(biāo)系如圖,設(shè) t = 0 時(shí)物體的位置為,取其平衡位置為原點(diǎn)建,因此定解問題為,自由振動(dòng)方程 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始條件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 無阻尼自由振動(dòng)情況 ( n = 0 ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解的特征:,簡(jiǎn)諧振動(dòng),A: 振幅, : 初相,周期:,固有頻率,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

4、下頁 返回 結(jié)束,(僅由系統(tǒng)特性確定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:,2) 有阻尼自由振動(dòng)情況,大阻尼: n k,臨界阻尼: n = k,解的特征,解的特征,解的特征,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( n k ),小阻尼自由振動(dòng)解的特征 :,由初始條件確定任意常數(shù)后變形,運(yùn)動(dòng)周期:,振幅:,衰減很快,隨時(shí)間 t 的增大物體 趨于平衡位置.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( n k ),大阻尼解的特征:,1) 無振蕩現(xiàn)象;,此圖參數(shù):,2) 對(duì)任何初始條件,即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,

5、( n = k ),臨界阻尼解的特征 :,任意常數(shù)由初始條件定,最多只與 t 軸交于一點(diǎn);,即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,2) 無振蕩現(xiàn)象 ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解為,例5.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不難看出, 原方程有特解,推廣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6.,解: 特征方程:,即,其根為,方程通解 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7.,解: 特征方程:,特征根為,則方程通解 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),特征根:,(1) 當(dāng),時(shí), 通解為,(2) 當(dāng),時(shí), 通解為,(3) 當(dāng),時(shí), 通解為,可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),求方程,的通解 .,答案:,通解為,通解為,通解為,作業(yè) P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3,第九節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題,為