高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件下第10_1對(duì)弧長(zhǎng)和曲線積分

1、,第十章,積分學(xué) 定積分二重積分三重積分,積分域 區(qū)間域 平面域 空間域,曲線積分,曲線域,曲面域,曲線積分,曲面積分,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,對(duì)面積的曲面積分,對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,曲面積分,曲線積分與曲面積分,第一節(jié),一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì),二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,第十章,一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì),假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占,其線密度為,“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”,可得,為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量,采用,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑

2、曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作,若通過(guò)對(duì) 的任意分割,局部的任意取點(diǎn),2.定義,下列“乘積和式極限”,則稱此極限為函數(shù),在曲線,或第一類曲線積分.,稱為被積函數(shù)，, 稱為積分弧段 .,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量,和對(duì),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,如果 L 是閉曲線 , 則記為,則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積,分為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ?,否!,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中,dx 可能為負(fù).,3. 性質(zhì),（k 為

3、常數(shù)),( 由 組成),( l 為曲線弧 的長(zhǎng)度),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法,基本思路:,計(jì)算定積分,定理:,且,上的連續(xù)函數(shù),證:,是定義在光滑曲線弧,則曲線積分,求曲線積分,根據(jù)定義,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,點(diǎn),設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為,對(duì)應(yīng)參數(shù)為,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,說(shuō)明:,因此積分限必須滿足,(2) 注意到,因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.,因此,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,如果曲線 L 的方程為,則有,如果方程為極坐標(biāo)形式:,則,推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1.

4、 計(jì)算,其中 L 是拋物線,與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 .,解:,上點(diǎn) O (0,0),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算半徑為 R ,中心角為,的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì),稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線密度 = 1).,解: 建立坐標(biāo)系如圖,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 計(jì)算,其中L為雙紐線,解: 在極坐標(biāo)系下,它在第一象限部分為,利用對(duì)稱性 , 得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 計(jì)算曲線積分,其中為螺旋,的一段弧.,解:,線,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 計(jì)算,其中為球面,被平面 所截的圓周.,解: 由對(duì)稱性可知,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

5、下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考: 例5中 改為,計(jì)算,解: 令, 則,圓的形心在原點(diǎn), 故, 如何,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例6. 計(jì)算,其中為球面,解:,化為參數(shù)方程,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7. 有一半圓弧,其線密度,解:,故所求引力為,求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 定義,2. 性質(zhì),( l 曲線弧 的長(zhǎng)度),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 計(jì)算, 對(duì)光滑曲線弧, 對(duì)光滑曲線弧, 對(duì)光滑曲線弧,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 已知橢圓,周長(zhǎng)為a , 求,提示:,原式 =,利用對(duì)稱性,分析:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為,(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,(2) 求它的質(zhì)心 .,解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).,(2) L的質(zhì)量,而,(1),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故重心坐標(biāo)為,作業(yè) P131 3 (3) , (4) , (6) , (7) 5,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題,1. 設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線,及,所圍區(qū)域的邊界, 求,提示: 分段積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)