計算方法：第二章習題答案

1、第二章答案1. 計算下列函數(shù)關于的：注：， 解：（1） （2） （3）（4） 2. 令，試證是在上帶權的正交多項式，并求。解：是在上帶權的正交多項式。3. 是區(qū)間上帶權的最高次項系數(shù)為1的正交多項式族，其中，求。 解法一：解法二：設，則由4. 求，使積分取得最小值。解：題意即為在中求的最佳平方逼近多項式，故滿足法方程或者按下述方法：因為上式分別對求偏導，并令其為零，有從而也有 ，5. 對，定義 問它們是否構成內積？（1）推出,即為常數(shù)，但不一定為0，故（1）不構成內積。（2）顯然內積公理的1），2），3）均滿足，考察第四條 若，則必有反之，若，則且，由此可推得, 即內積公理第四條滿足，故（2）

2、構成內積。6. 對權函數(shù)，區(qū)間，試求首項系數(shù)為1的正交多項式。解： 7. 利用正交化方法求上帶權的前三個正交多項式。解：8. 判斷函數(shù)在上兩兩正交，并求一個三次多項式，使其在上與上述函數(shù)兩兩正交。解：（1）， ， 所以，在上兩兩正交。（2）設所求多項式為 9. 用最小二乘原理求矛盾方程組的最小二乘解。注：給定線性代數(shù)方程組，當時，稱其為超定方程組。求使得 取最小值。應用微分學中多元函數(shù)求極值的方法可以證明為方程組 的解。稱為超定方程組的最小二乘解。解法一：由題意得：所以即是所求的最小二乘解。誤差平方和為 解法二：求，使誤差平方和為最小，令得方程組如下： 解方程組有： 10. 用最小二乘法求一個

3、形如的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并估計平方誤差。 192531384419.032.349.073.397.8解：將=19,25,31,38,44分別代入，得 所以誤差11. 求形如的經(jīng)驗公式，使它能和下表給出的數(shù)據(jù)相擬合。123456781532052743664916568781176解：設，兩邊取對數(shù)得令，則有 設，于是得到正規(guī)方程組:其中, ， 正規(guī)方程組化為:得=2.43689 =0.291211=2.43689所以=11.45 =0.291211=2.43689所以=11.45 1=0.29121112. 求函數(shù)在給定區(qū)間上對于的最佳平方逼近多項式： 解：設（1）(2) 。 13. 上求關于的最佳平方逼近多項式。解：Legendre是-1，1上的正交多項式取，=14. 求在上的三次最佳平方逼近多項式。解：15. 已知勒讓德多項式，試在二次多項式類中求一多項式，使其成為上的最佳平方逼近函數(shù)