線性代數(shù)（第五版）課件：5-4 對稱矩陣的對角化

1、4 對稱矩陣的對角化,定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關(guān) （P.120定理2）,可逆矩陣 P ，滿足 P 1AP = L （對角陣）,AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n),A 的 特征值,對應(yīng)的 特征向量,其中,?,(Ali E) pi = 0,矩陣 P 的 列向量組 線性無關(guān),定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1,

2、 l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關(guān)（P.120定理2） 定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量（P.123定理4） 推論：如果 A 有 n 個不同的特征值，則 A 和對角陣相似 說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關(guān) 的特征向量，從而不一定能對角化（P.118例6）,定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是與之對應(yīng)的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，則 p1, p2, , pm 線性無關(guān)（P.120

3、定理2） 定理：設(shè) l1 和 l2 是對稱陣 A 的特征值， p1, p2 是對應(yīng)的特 征向量，如果 l1 l2 ，則 p1, p2 正交（P.124定理6） 證明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是對稱陣） l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0 因?yàn)閘1 l2 ，則 p1T p2 = 0，即 p1, p2 正交,定理：設(shè) A 為 n 階對稱陣，則必有正交陣 P，使得

4、 P 1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 個特征值為對角元的對角陣（不唯一）. （P.124定理7）,定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量 （P.123定理4） 推論：如果 A 有 n 個不同的特征值，則 A 和對角陣相似 說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關(guān) 的特征向量，從而不一定能對角化,定理： n 階矩陣 A 和對角陣相似（即 A 能對角化）的充分 必要條件是 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量 （P.123定理4） 推論：如果 A 有 n 個不同的特征值，則 A 和對角

5、陣相似 說明：當(dāng) A 的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關(guān) 的特征向量，從而不一定能對角化,推論：設(shè) A 為 n 階對稱陣，l 是 A 的特征方程的 k 重根，則 矩陣 A lE 的秩等于 n k， 恰有 k 個線性無關(guān)的特征向量與特征值 l 對應(yīng),例：設(shè) ，求正交陣 P，使P1AP = L對角陣. 解：因?yàn)?A 是對稱陣，所以 A 可以對角化 求得 A 的特征值 l1 = 2， l2 = l3 = 1 ,當(dāng) l1 = 2 時， 解方程組 (A + 2E) x = 0 ，得基礎(chǔ)解系 當(dāng) l2 = l3 = 1 時， 解方程組 (AE) x = 0 ，得 令 ，則 . 問題：這樣的解法

6、對嗎？,當(dāng) l1 = 2時，對應(yīng)的特征向量為 ； 當(dāng) l2 = l3 = 1 時，對應(yīng)的特征向量為 . 顯然，必有x1x2 ， x1x3 ，但x2x3 未必成立 于是把 x2, x3 正交化： 此時x1h2 ， x1h3 ，h2h3 ,單位化： 當(dāng) l1 = 2時，對應(yīng)的特征向量為 ； 當(dāng) l2 = l3 = 1 時，對應(yīng)的特征向量為 .,當(dāng) l1 = 2時，對應(yīng)的特征向量為 ； 當(dāng) l2 = l3 = 1 時，對應(yīng)的特征向量為 于是 p1, p2, p3 構(gòu)成正交陣 從而 ,把對稱陣 A 對角化的步驟為： 求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, , ls ，它們的重數(shù)依次為k1,

7、k2, , ks （k1 + k2 + + ks = n） 對每個 ki 重特征值 li ，求方程組 | Ali E | = 0 的基礎(chǔ)解系，得 ki 個線性無關(guān)的特征向量 把這 ki 個線性無關(guān)的特征向量正交化、單位化，得到 ki 個兩兩正交的單位特征向量 因?yàn)閗1 + k2 + + ks = n ，總共可得 n 個兩兩正交的單位特征向量 這 n 個兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣 P，便有 P 1AP = L L 中對角元的排列次序應(yīng)于中列向量的排列次序相對應(yīng).,例：設(shè) ，求 An . 分析： 數(shù)學(xué)歸納法,定理：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 和 B 的特征多項(xiàng)式相同, 從而 A 和 B 的特征值也相同 推論：若 n 階矩陣 A 和 B 相似，則 A 的多項(xiàng)式 j (A) 和 B 的 多項(xiàng)式 j (B) 相似 若 n 階矩陣 A 和 n 階對角陣 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，則 從而通過計(jì)算j (L) 可方便地計(jì)算j (A). 若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩陣）.,例：設(shè) ，求 An . 分析： 數(shù)學(xué)歸納法 因?yàn)?A 是對稱陣，所以 A 可以對角化 求得 A 的特征值 l1 = 1， l2 = 3 下面求滿足 P 1AP = 的可逆矩陣 P ,下面求滿足 P