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1、1,第七章 直線與圓的方程,圓的方程,第 講,4,(第一課時),2,3,1. 平面內(nèi)與定點的距離_的點的軌跡是圓. 2. 以點(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_. 3. 圓的一般式方程是_;其中D2+E2-4F_;圓心的坐標(biāo)是_;圓的半徑為_.,等于定長,(x-a)2+(y-b)2=r2,x2+y2+Dx+Ey+F=0,0,4,4. 以點(a,b)為圓心,r為半徑的圓的參數(shù)方程是_(為參數(shù)).,5,1.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0 (tR)表示圓,則t的取值范圍是( ) 解:由D2+E2-4F0,得7t2-6t-10,即- t1.,C,6,2.
2、點P(5a+1,12a)在圓(x-1)2+y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是( ) 解:點P在圓(x-1)2+y2=1內(nèi)部 (5a+1-1)2+(12a)21 |a| .,D,7,3.已知圓心在x軸上,半徑為的圓O位于y軸左側(cè),且與直線x+y=0相切,則圓O的方程是(x+2)2+y2=2.,解法:設(shè)圓心為(a,0)(a0),則r= = ,解得a=-2.,8,1. 已知一個圓的圓心為A(2,1),且與圓x2+y2-3x=0相交于P1、P2兩點.若點A到直線P1P2的距離為5,求這個圓的方程. 解法1:設(shè)圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=r2, 即x2+y2-4x-2y+5-r2=0.,題型1
3、求圓的方程,9,所以直線P1P2的方程為x+2y-5+r2=0. 由已知得 所以r2=6. 故所求圓的方程是(x-2)2+(y-1)2=6. 解法2:已知圓的圓心為點B( ,0), 半徑為 , 所以|AB|= . 連結(jié)AB延長交P1P2于C, 則ACP1P2.,10,所以|AC|= ,從而|BC|= 又|P1B|= ,所以 在RtP1CA中,|P1A|2=|P1C|2+|AC|2=6, 故所求圓的方程是(x-2)2+(y-1)2=6. 點評:求圓的方程一般是利用待定系數(shù)法求解,即設(shè)圓的方程的標(biāo)準(zhǔn)式(或一般式).如本題圓心坐標(biāo)已知,則先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)式,然后求得半徑r即可.,11,12,13,14,
4、2. 已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P,Q兩點,且OPOQ(O為坐標(biāo)原點),求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑. 解法1:將x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0 得5y2-20y+12+m=0. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 則y1、y2滿足條件:y1+y2=4,y1y2= 因為OPOQ,所以x1x2+y1y2=0. 而x1=3-2y1,x2=3-2y2, 所以x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.,題型2 與圓有關(guān)的求值問題,15,所以9-6(y1+y2)+5y1y2=0, 即9-64+12+m=0, 所以m=3,此時0,圓心坐標(biāo)為(- ,3)
5、, 半徑為 . 解法2:如圖所示, 設(shè)弦PQ中點為M, 因為O1MPQ, 所以kO1M=2. 所以O(shè)1M的方程為y-3=2(x+ ),即y=2x+4.,16,由方程組 解得M的坐標(biāo)為(-1,2). 則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x+1)2+(y-2)2=r2. 因為OPOQ,所以點O在以PQ為直徑的圓上. 所以(0+1)2+(0-2)2=r2,即r2=5,MQ2=r2. 在RtO1MQ中,O1Q2=O1M2+MQ2. 所以 所以m=3,所以半徑為 ,圓心為(- ,3).,17,點評:求參數(shù)的值的問題,就是轉(zhuǎn)化題中條件得到參數(shù)的方程(組),然后解方程(組)即可.注意有時還需對方程的解進行檢驗.,18
6、,已知曲線C1: (t為參數(shù)),C2: (為參數(shù)). (1)化C1,C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線; (2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t= ,Q為 C2上的動點,求PQ中點M到直線C3: (t為參數(shù))距離的最小值. 解:(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:,19,C1是圓心為(-4,3),半徑為1的圓. C2是中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,長半 軸長為8,短半軸長為3的橢圓. (2)當(dāng)t= 時,P(-4,4)、Q(8cos,3sin), 所以M(-2+4cos,2+ sin). C3為直線x-2y-7=0, 所以M到C3的距離d= |4cos-3sin-13|. 從而當(dāng)cos= ,sin=- 時, d取得最小值 .,20,1. 由標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程看出圓的方程都含有三個參變數(shù),因此必須具備三個獨立條件,才能確定一個圓.求圓的方程時,若能根據(jù)已知條件找出圓心和半徑,則可用直接法寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,否則可用待定系數(shù)法求解. 2. 解
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