初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題解題技巧-Du

1、動(dòng)點(diǎn)問題解題技巧以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題。動(dòng)態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點(diǎn)是圖形中的某些元素（點(diǎn)、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素?cái)?shù)量和關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋。所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目，注重對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查。解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題. 在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)

2、學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。 從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對(duì)稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力等。從數(shù)學(xué)思想的層面上講需要具備以下思想：分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、 轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想。常見的動(dòng)點(diǎn)問題1、 數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題離不開數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于對(duì)這類問題的分析，先明確以下3個(gè)問題： 1.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距

3、離，即為這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對(duì)值，也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)左邊點(diǎn)表示的數(shù)。 2.點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎较颍虼讼蛴疫\(yùn)動(dòng)的速度看作正速度，而向左運(yùn)動(dòng)的速度看作負(fù)速度。這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為ab；向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。 3數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。 例1 如圖A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上，A表示的數(shù)為-10，B表示的數(shù)為14，點(diǎn)C在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間

4、，且AC=BC（1）求A、B兩點(diǎn)間的距離； （2）求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/s，乙的速度是2個(gè)單位長(zhǎng)度/s，求相遇點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)練習(xí)1 已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1，3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x。 若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)； 數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5？若存在，請(qǐng)求出x的值。若不存在，請(qǐng)說明理由？ 當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B一每分鐘20個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，問它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后P點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等？ 二、求最

5、值問題利用軸對(duì)稱性質(zhì)實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線”求幾何圖形中一些線段和最小值問題。利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個(gè)： （1）兩點(diǎn)之間線段最短； （2）三角形兩邊之和大于第三邊； （3）垂線段最短。 求線段和最小值問題可以歸結(jié)為：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題。 例2 如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，使PD+PE的值最小，則其最小值是 _ . 特點(diǎn)：已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè)，在直線上確定一動(dòng)點(diǎn)的位置，使動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)線段和最小，求出最小值。思路：解決這類題目的方法是找出其中一定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連

6、結(jié)這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)滿足最值的位置。練習(xí)2 如圖，等邊ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則ECF的度數(shù)為（ ）A15 B.22.5 C.30 D. 45 例3 如圖，AOB=30，內(nèi)有一點(diǎn)P且OP=6，若M、N為邊OA、OB上兩動(dòng)點(diǎn)，那么PMN的周長(zhǎng)最小為（ ）A26 B.6 C. 6/2 D. 6 特點(diǎn)：已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)使線段和最小。思路：這類問題通過做這一定點(diǎn)關(guān)于兩條線的對(duì)稱 點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線”，把線段“移”到同一直線上來解決。練

7、習(xí)3 如圖，已知AOB的大小為，P是AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP=2，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若PEF周長(zhǎng)的最小值等于2，則=（ ）A30 B.45 C.60 D.90 例4 在銳角三角形ABC中，AB=4，BAC=60，BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 _ 特點(diǎn)：兩動(dòng)點(diǎn)在兩條直線上，定點(diǎn)和其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)共 線，求不共線動(dòng)點(diǎn)分別到定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距 離和最小值。思路：（1）利用軸對(duì)稱變換，使不共線動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)的連線段上（兩點(diǎn)之間線段最短）.（2）這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所在直線時(shí)，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長(zhǎng)。

8、練習(xí)4 如圖，在ABC中，C=90，CB=CA=4，A的平分線交BC于點(diǎn)D，若點(diǎn)P、Q分別是AC和AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CQ+PQ的最小值是_. 三、動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形問題此類問題背景是特殊圖形,考查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系;分析過程中,特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置).分析圖形變化過程中變量和其他量之間的關(guān)系，或是找到變化中的不變量，建立方程或函數(shù)關(guān)系解決。1 把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過程;思考運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)時(shí)幾何元素的關(guān)系，以及可求出的量。2 先確定特定圖形中動(dòng)點(diǎn)的位置,畫出符合題意的圖形化動(dòng)為靜。3 根據(jù)已知條件，將動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)距離以及解決問題時(shí)所需要

9、的條件用含t的代數(shù)式表示出來。4 根據(jù)所求,利用特殊圖形的性質(zhì)或相互關(guān)系，找出等量關(guān)系列出方程來解決動(dòng)點(diǎn)問題。例5 如圖，在RtABC中，B=90，AB=5 ，C=30.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t0）.過點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由. 例6 如圖，點(diǎn)A在Y軸上，點(diǎn)B在X軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線L交線段AB于點(diǎn)C，過C作

10、OC的垂線，與直線X=1相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線L繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A向B運(yùn)動(dòng)，但C點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長(zhǎng)為t，分析此圖后，對(duì)下列問題作出探究：（1） 當(dāng)AOC和BCP全等時(shí)，求出t的值。 （2）通過動(dòng)手測(cè)量線段OC和CP的長(zhǎng)來判斷它們之間的大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論。鞏固提升1.如圖在銳角ABC中，AB=42,BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 _. 2.已知，數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，到原點(diǎn)的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，從點(diǎn)A走到點(diǎn)B，要經(jīng)過32個(gè)單位長(zhǎng)度（1）求A、B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）若點(diǎn)C也是數(shù)軸上的點(diǎn)

11、，點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離的3倍，求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）已知，點(diǎn)M從點(diǎn)A向右出發(fā)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B向右出發(fā)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)線段NO的中點(diǎn)為P，線段PO-AM的值是否變化？若不變求其值3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(，0)，B(3，2)，C（0，2)動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)0出發(fā)沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)E作EF上AB，交BC于點(diǎn)F，連結(jié)DA、DF設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1)求ABC的度數(shù)；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，ABDF； 4. 如圖，ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同 的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D （1