伯努利方程推導(dǎo)[課資內(nèi)容]

1、基本概念： 流體： 具有流動(dòng)性的液體或氣體； 流體動(dòng)力學(xué)： 研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及流體與其他物體之間相互作用的力學(xué)；,1,資料類,理想流體的穩(wěn)定流動(dòng),一.基本概念 1.流體的粘滯性： 實(shí)際流體在流動(dòng)時(shí)其內(nèi)部有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的相鄰兩部分之間存在類似兩固體相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)存在的摩擦阻力(內(nèi)摩擦力)，流體的這種性質(zhì)稱為粘滯性。 2.流體的可壓縮性： 實(shí)際流體在外界壓力作用下、其體積會(huì)發(fā)生變化，即具有可壓縮性； 3.理想流體模型： 絕不可壓縮、沒(méi)有粘滯性的流體叫做理想流體； 一般情況下，密度不發(fā)生變化的氣體或者液體、粘滯性小的流體均可看成理想流體,2,資料類,2. 定常流動(dòng)： 流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)空間各點(diǎn)的流速雖然可以不

2、同，但如果空間每一點(diǎn)的流速不隨時(shí)間而改變，這樣的流動(dòng)方式稱為定常流動(dòng)，也稱為穩(wěn)定流動(dòng) 是一種理想化的流動(dòng)方式。,二.流體的運(yùn)動(dòng)形式：,1. 一般流動(dòng)形式： 通常流體看做是由大量流體質(zhì)點(diǎn)所組成的連續(xù)介質(zhì)。 一般情況流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于流體各部分可以有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，各部分質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)速度是空間位置的函數(shù)，又是時(shí)間t的函數(shù),3,資料類,三.流線、流管,流線：為了形象地描述定常流動(dòng)的流體 而引入的假想的直線或曲線 流線上任意點(diǎn)的切線方向就是流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)該點(diǎn)的速度方向 穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，流線的形狀和分布不隨時(shí)間變化，且流線與流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡重合； 流線的疏密程度可定性地表示流體流速的大??； 流線不相交； 2.流管：流

3、體內(nèi)部，通過(guò)某一個(gè)截面的流線圍成的管狀空間； 流體質(zhì)點(diǎn)不會(huì)任意穿出或進(jìn)入流管 ；（與實(shí)際管道相似） 流體可視為由無(wú)數(shù)個(gè)穩(wěn)定的流管組成，分析每個(gè)流管中流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是掌握流體整體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)；,4,資料類,四.連續(xù)性原理,1. 推導(dǎo)過(guò)程：,假設(shè)： .取一個(gè)截面積很小的細(xì)流管，垂直于流管的同一截面上的各點(diǎn)流速相同； .流體由左向右流動(dòng) ； .流體具有不可壓縮性 ； .流體質(zhì)點(diǎn)不可能穿入或者穿出流管 ； .在一個(gè)較短的時(shí)間t內(nèi)，流進(jìn)流管的流體質(zhì)量等于流出流管的流體質(zhì)量（質(zhì)量守恒），即：,5,資料類,2. 理想流體的連續(xù)性方程(連續(xù)性原理、流量方程)：,流體在同一細(xì)流管中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，通過(guò)任一截面

4、S的體積流量保持不變。 推廣，對(duì)于不可壓縮的實(shí)際流體，任意流管、真實(shí)導(dǎo)流管、流體管道都滿足連續(xù)性原理。 如果同一截面上流速相同，不可壓縮的流體在流管中做穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)流體的流速與流管的截面積S成反比，即截面大處流速小，狹窄處流速大。,體積流量：表示單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)任意截面S的流體體積，稱為體積流量，簡(jiǎn)稱流量，用QV表示，單位為m3/s.,6,資料類,伯努利方程,伯努利方程：理想流體在重力場(chǎng)中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，能量守衡定律在流動(dòng)液體中的表現(xiàn)形式。,伯努利方程是瑞士物理學(xué)家伯努利提出來(lái)的，是理想流體作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的基本方程，對(duì)于確定流體內(nèi)部各處的壓力和流速有很大的實(shí)際意義、在水利、造船、航空等部門有著廣泛的應(yīng)

5、用。 伯努利個(gè)人簡(jiǎn)介：（Daniel Bernouli,17001782）瑞士物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、醫(yī)學(xué)家。他是伯努利這個(gè)數(shù)學(xué)家族（4代10人）中最杰出的代表，16歲時(shí)就在巴塞爾大學(xué)攻讀哲學(xué)與邏輯，后獲得哲學(xué)碩士學(xué)位，1720歲又學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)，并于1721年獲醫(yī)學(xué)碩士學(xué)位，成為外科名醫(yī)并擔(dān)任過(guò)解剖學(xué)教授。但在父兄熏陶下最后仍轉(zhuǎn)到數(shù)理科學(xué)。伯努利成功的領(lǐng)域很廣，除流體動(dòng)力學(xué)這一主要領(lǐng)域外，還有天文測(cè)量、引力、行星的不規(guī)則軌道、磁學(xué)、海洋、潮汐等等。,7,資料類,一. 伯努利方程的推導(dǎo)：,穩(wěn)定流動(dòng)的理想流體中，忽略流體的粘滯性，任意細(xì)流管中的液體滿足能量守恒和功能原理！,設(shè)：流體密度，細(xì)流管中分析一段流體

6、a1 a2 : a1處：S1，1，h1, p1 a2處：S2，2，h2, p2,經(jīng)過(guò)微小時(shí)間t后，流體a1 a2 移到了b1 b2, 從整體效果看，相當(dāng)于 將流體 a1 b1 移到了a2 b2, 設(shè)a1 b1段流體的質(zhì)量為m，則：,機(jī)械能的增量：,8,資料類,9,資料類,二. 對(duì)于同一流管的任意截面，伯努利方程：,含義：對(duì)于理想流體作穩(wěn)定流動(dòng)，在同一流管中任一處，每單位體積流體的動(dòng)能、勢(shì)能和該處壓強(qiáng)之和是一個(gè)恒量。,伯努利方程，是理想流體作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的基本方程； 對(duì)于實(shí)際流體，如果粘滯性很小，如：水、空氣、酒精等，可應(yīng)用伯努利方程解決實(shí)際問(wèn)題； 對(duì)于確定流體內(nèi)部各處的壓力和流速有很大的實(shí)際意義

7、、在水利、造船、航空等部門有著廣泛的應(yīng)用。,10,資料類,在水平流動(dòng)的流體中，流速大的地方壓強(qiáng)??；流速小的地方壓強(qiáng)大。 在粗細(xì)不均勻的水平流管中，根據(jù)連續(xù)性原理，管細(xì)處流速大，管粗處流速小，因而管細(xì)處壓強(qiáng)小，管粗處壓強(qiáng)大； 如：水流抽氣機(jī)、噴霧器、內(nèi)燃機(jī)的汽化器的基本原理都基于此；,一.水平流管的伯努利方程：,伯努利方程的應(yīng)用,11,資料類,生活中的實(shí)例：,在海洋中平行航行的兩艘大輪船，相互不能靠得太近，否則就會(huì)有相撞的危險(xiǎn)，為什么？ 逆流航行的船只行到水流很急的岸邊時(shí)，會(huì)自動(dòng)地向岸靠攏； 汽車駛過(guò)時(shí)，路旁的紙屑常被吸向汽車； 簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)：用兩張窄長(zhǎng)的紙條，相互靠近，用嘴從兩紙條中間吹氣，會(huì)發(fā)

8、現(xiàn)二紙條不是被吹開(kāi)而是相互靠攏，就是“速大壓小”的道理。 打開(kāi)的門窗，有風(fēng)吹過(guò)，門窗會(huì)自動(dòng)的閉合，然后又張開(kāi)；,12,資料類,6.飛機(jī)的機(jī)翼的翼型使得飛行中前面的空氣掠過(guò)機(jī)翼向后時(shí)，流經(jīng)機(jī)翼上部的空氣要通過(guò)的路程大于流經(jīng)機(jī)翼下部的空氣通過(guò)的路程，因此上部空氣流速大于下部空氣的流速，上部空氣對(duì)機(jī)翼向下的壓力就會(huì)小于下部空氣對(duì)機(jī)翼向上的壓力，從而產(chǎn)生升力 ；,13,資料類,應(yīng)用實(shí)例. 水流抽氣機(jī)、噴霧器,空吸作用：當(dāng)流體流速增大時(shí)壓強(qiáng)減小，產(chǎn)生對(duì)周圍氣體或液體的吸入作用；,水流抽氣機(jī)、噴霧器就是根據(jù)空吸作用的原理（速度大、壓強(qiáng)?。┰O(shè)計(jì)的。,14,資料類,應(yīng)用實(shí)例1-3.文丘利流量計(jì) 文丘利管：特制

9、的玻璃管，兩端較粗，中間較細(xì)，在較粗和較細(xì)的部位連通著兩個(gè)豎直細(xì)管。 文丘利管水平接在液體管道中可以測(cè)定液體的流量；,流速：,體積流量：,只要讀出兩個(gè)豎管的高度差，就可以測(cè)量流速和流量,15,資料類,應(yīng)用實(shí)例4. 小孔流速： 敞口的液槽內(nèi)離開(kāi)液面h處開(kāi)一小孔，液體密度為，液面上方是空氣，在液槽側(cè)面小孔處壓強(qiáng)為大氣壓p0, 求小孔處的液體流速？,托里拆利定律：忽略粘滯性，任何液體質(zhì)點(diǎn)從小孔中流出的速度與它從h高度處自由落下的速度相等；,注：由于液槽中液面下降很慢，可以看成是穩(wěn)定流動(dòng)，把液體作為理想流體；,16,資料類,粘滯流體：如植物組織中的水分，人體及動(dòng)物體內(nèi)的血液以及甘油、蓖麻油。,粘滯流體

10、的流動(dòng),一. 牛頓粘滯定律 粘滯系數(shù),層流:實(shí)際流體在流動(dòng)時(shí)，同一橫截面上各點(diǎn)流速并不相同，管中軸心處流速最大，越接近管壁，流速越小，在管壁處流速為零。這種各層流體流速有規(guī)則逐漸變化的流動(dòng)形式，稱為層流； 每一層為與管同軸的薄圓筒，每一層流速相同，各層之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)但不互相混雜，管道中的流體沒(méi)有橫向的流動(dòng)。 （流速小時(shí)呈現(xiàn)的流動(dòng)形式：河道、圓形管道）,17,資料類,粘滯力： 粘滯流體在流動(dòng)中各層的流速不同，相鄰兩流層之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，互施摩擦力，快的一層給慢的一層以向前的拉力；慢的一層則給快的一層以向后的阻力，這種摩擦力稱為內(nèi)摩擦，又稱粘滯力；,粘滯力和哪些因素有關(guān)？,流體內(nèi)相鄰兩層內(nèi)摩擦力的大

11、?。?與兩流層的接觸面積大小有關(guān)； 還與兩流層間速度變化的快慢有關(guān)；,18,資料類,垂直于流速方向上有相距y的兩個(gè)流層，速度差為 ； 速度變化的快慢程度： 其物理意義是：垂直于流速方向上相距單位距離的兩個(gè)流層的速度的變化率。,垂直于流速方向的流速梯度(或速度梯度)：,19,資料類,流體的湍流 雷諾數(shù),層流不是流動(dòng)的唯一形式； 湍流：流體在管道內(nèi)流動(dòng)，當(dāng)流速超過(guò)某一臨界值，流體的層流狀態(tài)將被破壞，各流層相互混淆，局部有橫向流動(dòng)，呈現(xiàn)不規(guī)則的渦狀流動(dòng)，這種流動(dòng)狀態(tài)稱為湍流。 在自然現(xiàn)象中，比較普遍的流動(dòng)狀態(tài)是湍流，如江河急流、煙囪排出的廢氣流、大氣的流動(dòng)等。,層流與湍流的區(qū)別： 層流：無(wú)橫向流動(dòng)； 湍流：總體向前流動(dòng)，但局部有橫向流動(dòng)；,20,資料類,實(shí)驗(yàn)表明：由層流變成湍流的條件用雷諾數(shù)Re來(lái)確定：,Re