《空間任意力系x》PPT課件.ppt

1、第一節(jié) 空間任意力系的簡化,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,一、空間任意力系向一點(diǎn)簡化,設(shè)有空間任意力系F1、F2、Fn，各力分別作用于A1、A2、An各點(diǎn)。 任取一點(diǎn)作簡化中心，將各力平行移至點(diǎn)，并各附加一力偶，得到一個(gè)匯交力系和一個(gè)附加力偶系。,圖4-1 空間任意力系向O點(diǎn)簡化,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,各附加力偶矩應(yīng)作為矢量，分別垂直于相應(yīng)的力與點(diǎn)所決定的平面，并分別等于相應(yīng)的力對(duì)于點(diǎn)的矩。,匯交力系1、2、n可合成為一個(gè)力R ，等于各力的矢量和，即R=1+2+n，亦即：,(4-1),附加力偶系可合成為一個(gè)力偶，力偶矩O等于各附加力偶矩的矢量和，即MO=M+M2+Mn，亦即等于原力系中各力

2、對(duì)于簡化中心的矩的矢量和,(4-2),矢量 稱為原力系的主矢量，矢量 稱為原力系對(duì)于簡化中心的主矩。,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,可知，空間力系向一點(diǎn)（簡化中心）簡化的結(jié)果一般是一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力作用于簡化中心，等于原力系中所有各力的矢量和，亦即等于原力系的主矢量；這個(gè)力偶的矩等于原力系中所有各力對(duì)于簡化中心的矩的矢量和，亦即等于原力系對(duì)于簡化中心的主矩。,如果選取不同的簡化中心，主矢量并不改變，所以，一個(gè)力系的主矢量是一常量，與簡化中心的位置無關(guān)。但是，力系中各力對(duì)于不同的簡化中心的力矩是不同的，因而它們的矢量和一般說來也不相等。所以，主矩一般將隨簡化中心位置不同而改變。,第一節(jié) 空間

3、任意力系的簡化,對(duì)于不同的兩個(gè)簡化中心及來說，力系對(duì)于它們的主矩之間存在如下的關(guān)系：,(4-3),由此可知，當(dāng)簡化中心沿主矢量的作用線移動(dòng)時(shí)，主矩將保持不變。,為了計(jì)算主矢量和主矩，可過簡化中心取直角坐標(biāo)系Oxyz。 由,(4-4),第一節(jié) 空間任意力系的簡化,得到：,而的大小及方向余弦為：,(4-6),（4-5）,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,相似地，主矩o在坐標(biāo)軸上的投影x、y、z，則分別等于各力對(duì)點(diǎn)的矩在對(duì)應(yīng)軸上的投影之和，亦即等于各力對(duì)于對(duì)應(yīng)軸的矩之和，即：,上式還可寫成：,（4-7）,（4-8）,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,已知主矩o的投影，則可求得o的大小及方向余弦為：,(4-9),

4、第一節(jié) 空間任意力系的簡化,二、空間平行力系,取z軸平行于各力作用線，則有FRx0，F(xiàn)Ry0,Mz0， 得：,(4-10),第一節(jié) 空間任意力系的簡化,三、空間任意力系簡化結(jié)果討論,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,若FR ，MO ，則原力系簡化為一個(gè)合力，合力的作用線通過簡化中心O點(diǎn)，其大小和方向等于原力系的主矢量。,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,若FR，MO，但MOFR，這表明MO所代表的力偶與FR在同一平面內(nèi) ，于是，可以繼續(xù)合成為一個(gè)合力FR ,如圖4-2所示。,圖4-2,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,空間任意力系的合力矩定理數(shù)學(xué)表達(dá)式為：,借助于圖（4-2）可證明合力矩定理（略）,第一節(jié) 空間

5、任意力系的簡化,對(duì)于空間平行力系，當(dāng) FR 和MO 都不等于零時(shí)，MO 總是垂直于FR，所以必能簡化成為一個(gè)合力，合力矩定理也必定成立，且由合力矩定理可以確定合力作用線位置。,若FR，MO，且MO 與FR 不相垂直，如圖（4-3a） ，則可用下述方法進(jìn)一步簡化。,圖4-3 力 螺 旋,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,將MO 分解為垂直于FR 的M1 和平行于FR 的MR。因M1 所代表的力偶與力 FR 位于同一平面V（ M1）內(nèi)，故可合成為作用于O 點(diǎn)的一個(gè)力FR，再將MR 平移至O 點(diǎn)與FR 重合，如圖4-3(b)。這時(shí)，MR 所代表的力偶位于與FR垂直的平面內(nèi)，成為圖4-3(c)所示的情況。這

6、樣的一個(gè)力和一個(gè)力偶稱為力螺旋。,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,這樣的一個(gè)力和一個(gè)力偶稱為力螺旋。 直線O P 稱為原力系的中心軸； 如MR 與FR 同方向，則稱為右手螺旋； 如MR 與FR 方向相反，則稱為左手螺旋。,力螺旋是空間力系簡化的最簡單形式。而且，對(duì)于確定的空間力系，組成力螺旋的力和力偶矩是確定的，力螺旋的中心軸的位置也是確定的，MR是力系的最小主矩。,第一節(jié) 空間任意力系的簡化,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,如果空間任意力系的主矢量及對(duì)于任意簡化中心的主矩同時(shí)等于零，則該力系為平衡力系。反之，如空間任

7、意力系成平衡，其主矢量與對(duì)于任一簡化中心的主矩必分別等于零。,空間任意力系成平衡的必要與充分條件是力系的主矢量與力系對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零。,過O點(diǎn)取直角坐標(biāo)系Oxyz，上述條件可用代數(shù)方程表示為：,（4-16）,式（4-16）的六個(gè)方程就是空間任意力系的平衡方程。它們表示：力系中所有的力在三個(gè)直角坐標(biāo)軸中的每一軸上的投影的代數(shù)和等于零，所有的力對(duì)于每一軸的矩的代數(shù)和等于零。,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,對(duì)空間平行力系，令z軸平行于各力，則Fix，F(xiàn)iy，Miz?？臻g平行力系的平衡方程成為：,注意：方程（4-16）雖然是由直角坐標(biāo)系導(dǎo)出的，但在解答具體問題時(shí)，不一定使三個(gè)投影軸

8、或矩軸垂直，也沒有必要使矩軸和投影軸重合而可以分別選取適宜軸線為投影軸或矩軸，使每一平衡方程中包含的未知量最少，以簡化計(jì)算。,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,式 (4-16) 稱為平衡方程的基本形式 有時(shí)為了方便，也可減少平衡方程中的投影方程，而增加力矩方程。如取二個(gè)投影方程和四個(gè)力矩方程(四力矩形式)，或取一個(gè)投影方程和五個(gè)力矩方程(五力矩形式)，或全部取六個(gè)力矩方程(六力矩形式)， 但不管采用何種平衡方程的形式，它最多只能有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程。但要注意，不同平衡方程形式中投影軸與矩軸需滿足一定的條件，才能保證方程是相互獨(dú)立的。,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,三輪卡車自

9、重(包括車輪重)Fw=8kN，載重Fp=10kN，作用點(diǎn)位置如圖4-4所示，求靜止時(shí)地面作用于三個(gè)輪子的反力。圖中長度單位為m。,圖4- 例4-1附圖,例4-1,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,解：作三輪卡車的受力圖，各力組成一平衡的空間平行力系。,取坐標(biāo)軸如圖，寫出平衡方程求解各未知量。,解得：,例4-1,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,解得：,解得：,例4-1,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,重Fw=100N的均質(zhì)矩形板ABCD,在A點(diǎn)用球鉸，B點(diǎn)用普通鉸鏈，并用繩DE支承于水平位置（圖4-5）。力FP作用在過C點(diǎn)的鉛直面內(nèi)。設(shè)力FP的大小為200N，a=1m

10、，b=0.4m，=45o，求A、B兩處的約束力及繩DE的拉力。,圖4-5 例4-2附圖,例4-2,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,解: 考慮矩形板的平衡。球鉸和鉸鏈的約束力，用它們的分量表示如圖，并設(shè)繩子的拉力為FT 。,取坐標(biāo)系如圖所示。按以下次序列平衡方程,(1),(2),(3),例4-2,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,(4),(5),(6),解之得：,例4-2,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,某廠房支承屋架和吊車梁的柱子如圖4-6所示，下端固定。柱頂承受屋架傳來的力FP1，牛腿上承受吊車梁傳來的鉛直力FP2及水平制動(dòng)力FT 。,例4-3,第二節(jié) 空間任意力

11、系的平衡條件 平衡方程,圖4-6 例4-3附圖,圖4-6 例4-3附圖,已知：e10.1m，e20.34m， h6m，F(xiàn)P1120kN，F(xiàn)P2300kN，制動(dòng)力FT平行于x軸， FT25kN，柱所受重力FQ 可認(rèn)為沿z軸作用，且FQ40kN。試求基礎(chǔ)對(duì)柱作用的約束力及力偶矩。,例4-3,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,圖4-6 例4-3附圖,解: 柱子下端的約束力和約束力偶如圖示。 事實(shí)上固定端的約束力是作用在柱端表面的一個(gè)分布力，向點(diǎn)簡化后可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，計(jì)算時(shí)用其分量表示。,例4-3,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,按以下次序列六個(gè)平衡方程,例4-3,第二節(jié) 空

12、間任意力系的平衡條件 平衡方程,將已知值代入，解得：,Fox25kN， Foy0，F(xiàn)oz460kN， Mox90kNm，Moy150kNm，Moz8.5kNm。,例4-3,第二節(jié) 空間任意力系的平衡條件 平衡方程,第三節(jié) 一般平行分布力的簡化,第三節(jié) 一般平行分布力的簡化,一、沿平面曲線分布的平行力,沿狹長面積分布的平行力可以簡化為沿平面曲線分布的平行力。,設(shè)力沿平面曲線AB分布，則荷載圖成為一曲面。取直角坐標(biāo)系的z軸平行于分布力，曲線AB位于xy平面內(nèi)。,令坐標(biāo)為x、y處的荷載集度為q，則在該處微小長度s上的力的大小為Fqs，亦即等于s上荷載圖的面積A。于是，線段AB上所受的力的合力大小等于

13、: FFqsA線段AB上荷載圖的面積。,第三節(jié) 一般平行分布力的簡化,合力F 的作用線位置可用合力矩定理求得。分別對(duì)y 軸及x 軸求矩有:,xcFxqsxA - ycF-yqs-yA,由此得：,這就是荷載圖形心的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)。,沿平面曲線分布的平行分布力的合力的大小等于荷載圖的面積，合力作用線通過荷載圖面積的形心。,(4-18),第三節(jié) 一般平行分布力的簡化,二、平行分布于平面上的力,如圖4-8為面積A上的荷載圖，取直角坐標(biāo)系的中z軸平行于分布力，荷載作用面為xy面。在面積A內(nèi)坐標(biāo)為（x，y）處取微小面積A，若該處荷載集度為p，則微小面積A上所受的力的大小為FpA，亦即等于A上荷載圖的體積V

14、。,圖4-8 面積A上的分布力,第三節(jié) 一般平行分布力的簡化,面積A上所受的力的合力大小為：,= 面積上荷載圖的體積。,第三節(jié) 一般平行分布力的簡化,合力作用線的位置仍用合力矩定理求出，可得,可見，平行分布的面力的合力的大小等于荷載圖的體積，合力通過荷載圖體積的形心。,水平半圓形（半徑）梁上受鉛直分布荷載，其集度按q=qosin變化，如圖(4-9)所示。求分布荷載的合力的大小及作用線位置。,圖4-9 例4-4附圖,例4-4,第三節(jié) 一般平行分布力的簡化,解：首先求合力F 的大小。,在處，長ds=Rd的梁上所受的力dF=qRd=Rqosind，所以整個(gè)梁上所受荷載的合力的大小為：,再求F 的作用

15、線位置。設(shè)作用線與xy平面的交點(diǎn)為C。由對(duì)稱性，點(diǎn)C必位于y軸上，故xC=0，只需求yC。,例4-4,第三節(jié) 一般平行分布力的簡化,由合力矩定理，可得：,于是得到：,例4-4,第三節(jié) 一般平行分布力的簡化,第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心,第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心,重心的位置對(duì)于物體的平衡和運(yùn)動(dòng)，都有很大關(guān)系。 在工程上，設(shè)計(jì)擋土墻、重力壩等建筑物時(shí)，重心位置直接關(guān)系到建筑物的抗傾覆穩(wěn)定性及其內(nèi)部的受力狀態(tài)。 機(jī)械的轉(zhuǎn)動(dòng)部分，有的（如偏心輪）應(yīng)使其重心離開轉(zhuǎn)動(dòng)軸一定的距離，以便利用由于偏心而產(chǎn)生的效果；有的（特別是高速轉(zhuǎn)動(dòng)者）卻必須使其重心盡可能不偏離轉(zhuǎn)動(dòng)軸，以避免產(chǎn)生不良影響。 所以，如何確定物體重

16、心的位置，在實(shí)踐上有著重要意義。,一、基本公式,設(shè)物體任一微小部分Mi所受的重力為FPi，所有各力FPi（i=1,2,n）的合力FP就是整個(gè)物體所受的重力。,不論物體在空中取什么樣的位置，合力FP的作用線必通過某一確定點(diǎn)C，這一點(diǎn)C就稱為物體的重心。,第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心,各部分的FPi 可以看作平行力，所以，合力 的大小FP FPi ，而物體重心位置則可利用合力矩定理求得。,由于工程上的物體都遠(yuǎn)較地球?yàn)樾。x地心又很遠(yuǎn)，所以各部分的FPi 可以看作平行力而足夠精確。這樣，合力FP 的大?。凑麄€(gè)物體的重量） FP FPi ，而物體重心位置則可利用合力矩定理求得。,為此，使物體固定于坐標(biāo)系

17、Oxyz內(nèi)。令Mi及相對(duì)于點(diǎn)的矢徑為ri及rC 。,第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心,由合力矩定理有：,沿重力的方向取單位矢量p0，則：,可得：,第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心,或,無論p0的方向如何，上式恒成立，即得,將上式兩邊投影到x、y、z 軸上，即得求物體重心公式：,（4-21）,第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心,如微小部分Mi的質(zhì)量為mi，物體的質(zhì)量為m，重力加速度為g，則FPi=mig，F(xiàn)P=mig。由求重心的公式（4-20 ）可得:,（4-22）,由式（4-22）所確定的C點(diǎn)稱為物體的質(zhì)心，可見，在地面附近物體的重心與質(zhì)心是重合的。,相應(yīng)地，式(4-21)成為：,（4-23）,第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心

18、,如果物體是均質(zhì)的，即質(zhì)量密度是常數(shù)，則每單位體積的重力也為常數(shù)，命Mi的體積為Vi，整個(gè)物體的體積為Vi ，則FPi= Vi，F(xiàn)P= ，而,代入式（4-21）或式（4-23），就得到：,（4-24）,第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心,式(4-24)表明，對(duì)于均質(zhì)物體，其重心和質(zhì)心的位置完全決定于物體的幾何形狀。,由式(4-24)所確定的點(diǎn)便稱為幾何形體的形心。,對(duì)于曲面或曲線，只須在公式（4-24）中分別將Vi改為Ai(面積)或Li(長度)，V改為A或L，即可得相應(yīng)的重心坐標(biāo)公式。,對(duì)于平面圖形或平面曲線，如取所在的平面為xy面，則顯然zc，而xc及yc可由公式（4-24）中的前兩式求得。,第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心,在公式（2-29）中，如令V趨近于零而取和式的極限，可得到計(jì)算形心坐標(biāo)的積分公式為：,(4-25),由形心計(jì)算公式可見，凡具有對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的均質(zhì)物體（或幾何形體)，其重心(或形心）必定在對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心上。,第四節(jié) 重心、質(zhì)心和形心,書中表4-1 給出了一些常見簡單形體的形心坐標(biāo)公式。,二、組合形體,形狀較復(fù)雜的