對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)典例題講義

1、1對(duì)數(shù)的概念如果axN(a0，且a1)，那么數(shù)x叫做_，記作_，其中a叫做_，N叫做_2常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做_，以e為底的對(duì)數(shù)叫做_，log10N可簡(jiǎn)記為_(kāi)，logeN簡(jiǎn)記為_(kāi)3對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系若a0，且a1，則axNlogaN_.對(duì)數(shù)恒等式：alogaN_；logaax_(a0，且a1)4對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)1的對(duì)數(shù)為_(kāi)；(2)底的對(duì)數(shù)為_(kāi)；(3)零和負(fù)數(shù)_1有下列說(shuō)法：零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)；任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)；以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D42有以下四個(gè)結(jié)論：lg(lg 10)0；ln(ln

2、e)0；若10lg x，則x100；若eln x，則xe2.其中正確的是()A B C D3在blog(a2)(5a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa5或a2 B2a5 C2a3或3a5 D3a0，且a1)，據(jù)此可得兩個(gè)常用恒等式：(1)logaabb；(2) N.2在關(guān)系式axN中，已知a和x求N的運(yùn)算稱(chēng)為求冪運(yùn)算；而如果已知a和N求x的運(yùn)算就是對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)相同而形式不同，互為逆運(yùn)算3指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化1對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)_；(2)loga_；(3)logaMn_(nR)2對(duì)數(shù)換底公式logab(a0，且a1，b0，c0，且c1

3、)；特別地：logablogba_(a0，且a1，b0，且b1)一、選擇題1下列式子中成立的是(假定各式均有意義)()Alogaxlogayloga(xy)B(logax)nnlogaxC.logaD.logaxlogay2計(jì)算：log916log881的值為()A18 B. C. D.3若log5log36log6x2，則x等于()A9 B. C25 D.4已知3a5bA，若2，則A等于()A15 B.C D2255已知log89a，log25b，則lg 3等于()A. B.C. D.6若lg a，lg b是方程2x24x10的兩個(gè)根，則(lg)2的值等于()A2 B. C4 D.72log

4、510log50.25()_.8(lg 5)2lg 2lg 50_.92008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震，給人民的生命財(cái)產(chǎn)造成了巨大的損失里氏地震的等級(jí)最早是在1935年由美國(guó)加州理工學(xué)院的地震學(xué)家里特判定的它與震源中心釋放的能量(熱能和動(dòng)能)大小有關(guān)震級(jí)Mlg E3.2，其中E(焦耳)為以地震波的形式釋放出的能量如果里氏6.0級(jí)地震釋放的能量相當(dāng)于1顆美國(guó)在二戰(zhàn)時(shí)投放在廣島的原子彈的能量，那么汶川大地震所釋放的能量相當(dāng)于_顆廣島原子彈三、解答題10(1)計(jì)算：lglglg 12.5log89log34；(2)已知3a4b36，求的值11若a、b是方程2(lg x)2lg

5、x410的兩個(gè)實(shí)根，求lg(ab)(logablogba)的值能力提升12下列給出了x與10x的七組近似對(duì)應(yīng)值：組號(hào)一二三四五六七x0.301 030.477 110.698 970.778 150.903 091.000 001.079 1810x235681012假設(shè)在上表的各組對(duì)應(yīng)值中，有且僅有一組是錯(cuò)誤的，它是第_組()A二 B四C五 D七13一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年的剩余質(zhì)量約是原來(lái)的75%，估計(jì)約經(jīng)過(guò)多少年，該物質(zhì)的剩余量是原來(lái)的？(結(jié)果保留1位有效數(shù)字)(lg 20.301 0，lg 30.477 1)1在運(yùn)算過(guò)程中避免出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：loga(MN)logaM

6、logaN.loga.logaNn(logaN)n.logaMlogaNloga(MN)2根據(jù)對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算法則可以得到對(duì)數(shù)換底公式：logab(a0且a1，c0且c1，b0)由對(duì)數(shù)換底公式又可得到兩個(gè)重要結(jié)論：(1)logablogba1；(2) logab.3對(duì)于同底的對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)常用方法：(1)“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；(2)“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成兩對(duì)數(shù)的和(差)對(duì)于常用對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，充分利用“l(fā)g 5lg 21”來(lái)解題1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般地，我們把_叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是_2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)定義ylogax (a0，且

7、a1)底數(shù)a10a0且a1)和指數(shù)函數(shù)_互為反函數(shù)1函數(shù)y的定義域是()A(3，) B3，) C(4，) D4，)2設(shè)集合My|y()x，x0，)，Ny|ylog2x，x(0,1，則集合MN等于()A(，0)1，) B0，) C(，1 D(，0)(0,1)3已知函數(shù)f(x)log2(x1)，若f()1，則等于()A0 B1 C2 D34函數(shù)f(x)|log3x|的圖象是()5已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax(a0，a1)，且過(guò)點(diǎn)(9,2)，f(x)的反函數(shù)記為yg(x)，則g(x)的解析式是()Ag(x)4x Bg(x)2x Cg(x)9x Dg(x)3x6若loga0，且a1)(1)設(shè)a2，函

8、數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,63，求函數(shù)f(x)的最值(2)求使f(x)g(x)0的x的取值范圍能力提升12已知圖中曲線(xiàn)C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)yloga1x，yloga2x，yloga3x，yloga4x的圖象，則a1，a2，a3，a4的大小關(guān)系是()Aa4a3a2a1 Ba3a4a1a2 Ca2a1a3a4 Da3a4a2a113若不等式x2logmx0在(0，)內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍1函數(shù)ylogmx與ylognx中m、n的大小與圖象的位置關(guān)系當(dāng)0nm1時(shí)，如圖；當(dāng)1nm時(shí)，如圖；當(dāng)0m10，且a1)的定義域是R，值域?yàn)?0，)，再根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化過(guò)程知道，對(duì)數(shù)函數(shù)yl

9、ogax(a0，且a1)的定義域?yàn)?0，)，值域?yàn)镽，它們互為反函數(shù)，它們的定義域和值域互換，指數(shù)函數(shù)yax的圖象過(guò)(0,1)點(diǎn)，故對(duì)數(shù)函數(shù)圖象必過(guò)(1,0)點(diǎn)1函數(shù)ylogax的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)a的可能取值是()A5 B.C. D.2下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Ay和y()2B|y|x|和y3x3Cylogax2和y2logaxDyx和ylogaax3若函數(shù)yf(x)的定義域是2,4，則yf()的定義域是()A，1 B4,16C， D2,44函數(shù)f(x)log2(3x1)的值域?yàn)?)A(0，) B0，)C(1，) D1，)5函數(shù)f(x)loga(xb)(a0且a1)的圖象經(jīng)過(guò)(1

10、,0)和(0,1)兩點(diǎn)，則f(2)_.6函數(shù)yloga(x2)1(a0且a1)恒過(guò)定點(diǎn)_一、選擇題1設(shè)alog54，b(log53)2，clog45，則()Aacb BbcaCabc Dba0且a1)且f(8)3，則有()Af(2)f(2) Bf(1)f(2)Cf(3)f(2) Df(3)f(4)4函數(shù)f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值與最小值之和為a，則a的值為()A. B. C2 D45已知函數(shù)f(x)lg，若f(a)b，則f(a)等于()Ab BbC. D6函數(shù)y3x(1x0)Bylog3x(x0)Cylog3x(x1)Dy (x2時(shí)恒有|y|1，則a的取值范圍是_9若log

11、a22，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_10已知f(x)loga(3ax)在x0,2上單調(diào)遞減，求a的取值范圍11已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其中a為常數(shù)(1)求a的值；(2)若當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，a1)，若f(x1x2x2 010)8，則f(x)f(x)f(x)的值等于()A4 B8C16 D2log4813已知logm40，且a1)中，底數(shù)a對(duì)其圖象的影響無(wú)論a取何值，對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)的圖象均過(guò)點(diǎn)(1,0)，且由定義域的限制，函數(shù)圖象穿過(guò)點(diǎn)(1,0)落在第一、四象限，隨著a的逐漸增大，ylogax(a1，且a1)的圖象繞(1,0)點(diǎn)在第一象限由左向右順時(shí)針排列，且

12、當(dāng)0a1時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增2比較兩個(gè)(或多個(gè))對(duì)數(shù)的大小時(shí)，一看底數(shù)，底數(shù)相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由“底”的范圍決定，若“底”的范圍不明確，則需分“底數(shù)大于1”和“底數(shù)大于0且小于1”兩種情況討論；二看真數(shù)，底數(shù)不同但真數(shù)相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)可借助于圖象，或應(yīng)用換底公式將其轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)來(lái)比較大小；三找中間值，底數(shù)、真數(shù)均不相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)可選擇適當(dāng)?shù)闹虚g值(如1或0等)來(lái)比較1已知m0.95.1，n5.10.9，plog0.95.1，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是()Amnp BmpnCpmn Dpnm2已知0a1，logamlogan0，則()A1nm B1mnC

13、mn1 Dnmlog0.52.8 Blog34log65Clog34log56 Dlogeloge2若log37log29log49mlog4，則m等于()A. B.C. D43設(shè)函數(shù)若f(3)2，f(2)0，則b等于()A0 B1 C1 D24若函數(shù)f(x)loga(2x2x)(a0，a1)在區(qū)間(0，)內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(，) B(，)C(0，) D(，)5若函數(shù)若f(a)f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)6已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，且f()0，則不等式f(logx)0的解集為()A(0，) B(，)C(，1)(2，) D(0，)(2，)7已知loga(ab)，則logab_.8若log236a，log210b，則log215_.9設(shè)函數(shù)若f(a)，則f(a6)_.10已知集合Ax|x3，Bx|log4(xa)0，a1，函數(shù)f(x)loga(x22x3)有最小值，求不等式loga(x1)0的解集13已知函數(shù)f(x)loga(1x)，其中a1.(1)比較f(0)f(1)與f()的大??；(2)探索f(x11)f(x21)f(1)對(duì)任意x10，x20恒成立1比較同真數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常有兩種方法：(1)利用對(duì)數(shù)