高中數(shù)學(xué)講義微專題54《數(shù)列求和（含通項公式與求和習(xí)題》講義

1、微專題54 數(shù)列求和問題數(shù)列求和問題是高考數(shù)列中的一個易考類型，在已知通項公式的前提下，要通過觀察通項公式（或者項）的特點決定選擇哪種方法進(jìn)行求和?？疾閷W(xué)生的觀察能力與辨析能力。所以在復(fù)習(xí)的過程中要抓住每種求和方法相對應(yīng)的通項公式特點，并在練習(xí)中熟悉解法一、基礎(chǔ)知識：1、根據(jù)通項公式的特點求和：（1）等差數(shù)列求和公式： （2）等比數(shù)列求和公式： （3）錯位相減法：通項公式特點：等差等比，比如，其中代表一個等差數(shù)列的通項公式（關(guān)于的一次函數(shù)），代表一個等比數(shù)列的通項公式（關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)），那么便可以使用錯位相減法方法詳解：以為例，設(shè)其前項和為 先將寫成項和的形式 兩邊同時乘以等比部分的公比，得

2、到一個新的等式，與原等式上下排列 ，發(fā)現(xiàn)乘完公比后，對比原式項的次數(shù)，新等式的每項向后挪了一位。 然后兩式相減： 除了首項與末項，中間部分呈等比數(shù)列求和特點，代入公式求和，再解出即可 所以 對“錯位相減法”的深層理解：通項公式的特點在錯位相減法的過程中體現(xiàn)了怎樣的作用？通過解題過程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比時實現(xiàn)了“錯位”的效果。而等差的部分錯位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等差部分的公差），從而可圈在一起進(jìn)行等比數(shù)列求和。體會到“錯位”與“相減”所需要的條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進(jìn)行數(shù)列求和（4）裂項相消：通項公式特點：的表達(dá)式能

3、夠拆成形如的形式（），從而在求和時可以進(jìn)行相鄰項（或相隔幾項）的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項，達(dá)到求和目的。其中通項公式為分式和根式的居多方法詳解：以為例 裂項：考慮（這里），在裂項的過程中把握兩點：一是所裂兩項要具備“依序同構(gòu)”的特點，比如這里的結(jié)構(gòu)相同，且分母為相鄰的兩個數(shù)；二是可以先裂再調(diào)：先大膽的將分式裂成兩項的差，在將結(jié)果通分求和與原式進(jìn)行比較并調(diào)整（調(diào)整系數(shù)），比如本題中，在調(diào)整系數(shù)使之符合通項公式即可 求和：設(shè)前項和為 ，求和的關(guān)鍵在于確定剩下的項。通過觀察可發(fā)現(xiàn)正項中沒有消去，負(fù)項中沒有消去。所以一般來說，裂開的項中有個正項，個負(fù)項，且由于消項的過程中是成對消掉。所以保留項中正

4、負(fù)的個數(shù)應(yīng)該相同。(5）分類求和：如果通項公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時可將通項公式的項分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進(jìn)行相加。例： 可知通項公式為，那么在求和的過程中可拆成3部分：分別求和后再相加 2、根據(jù)項的特點求和： 如果數(shù)列無法求出通項公式，或者無法從通項公式特點入手求和，那么可以考慮觀察數(shù)列中的項，通過合理的分組進(jìn)行求和（1）利用周期性求和：如果一個數(shù)列的項按某個周期循環(huán)往復(fù)，則在求和時可將一個周期內(nèi)的項歸為一組求和，再統(tǒng)計前項和中含多少個周期即可（2）通項公式為分段函數(shù)（或含有 ，多為奇偶分段。若每段的通項公式均可求和，則可以考慮奇數(shù)項一組，偶數(shù)項一組分別求和，但要

5、注意兩點：一是序數(shù)的間隔（等差等比求和時會影響公差公比），二是要對項數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論（可見典型例題）；若每段的通項公式無法直接求和，則可以考慮相鄰項相加看是否存在規(guī)律，便于求和（3）倒序相加：若數(shù)列中的第項與倒數(shù)第項的和具備規(guī)律，在求和時可以考慮兩項為一組求和，如果想避免項數(shù)的奇偶討論，可以采取倒序相加的特點，即： 兩式相加可得： 二、典型例題例1：已知函數(shù)，求： 思路：觀察可發(fā)現(xiàn)頭尾的自變量互為倒數(shù)，所以考慮其函數(shù)值的和是否具備特點。即，所以考慮第個與倒數(shù)第個放在一起求和，可用倒序相加法解： 小煉有話說：此類問題要抓自變量之間的聯(lián)系，并嘗試發(fā)現(xiàn)其函數(shù)值的和是否有特點（常數(shù)或者與相關(guān)），本

6、題求和的項就呈現(xiàn)出倒數(shù)關(guān)系。另外在求和過程中倒序相加的方法可以有效地避免項數(shù)的奇偶討論。例2：設(shè)數(shù)列滿足 （1）求數(shù)列的通項公式（2）令，求數(shù)列的前項和 解：（1） （2）思路：由（1）可得：，盡管整個通項公式不符合任何一種求和特征，但可以拆成，在求和的過程中分成三組分別求和，再匯總到一起。解： 例3：已知數(shù)列滿足，且對于，設(shè)的前項和為，則_思路：原遞推公式很難再有變化，考慮向后再寫一個式子進(jìn)行變形。，兩式相減可得： ，由可得：，為周期是3的數(shù)列，所以求和時可先求出一個周期中項的和，再看中含多少周期即可。解：得： 為周期是3的數(shù)列 在中令 解得： 而 答案： 例4：已知是等差數(shù)列，其前項和為，

7、是等比數(shù)列，且（1）求數(shù)列與的通項公式（2）記，求證： 解：（1）設(shè)的公差為，的公比為則 即，解得： （2）思路：雖然所涉及數(shù)列通項公式不是“”形式，但觀察到中的項具備“等差等比”的特點，所以考慮利用錯位相減法求出 ，再證明等式即可解： 所證恒等式左邊 右邊 即左邊右邊所以不等式得證例5：已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，且，數(shù)列 （1）求的通項公式（2）求數(shù)列的前項和 解：（1） （2）思路：由（1）可得：，所以在求和時首先要考慮項數(shù)是否大于5，要進(jìn)行分類討論，其次當(dāng)，求和可分成組分別求和再匯總解：當(dāng)時， 當(dāng)時， 例6：（2014，桐鄉(xiāng)市校級期中）：設(shè)數(shù)列，其前項和，為單調(diào)遞增的等比數(shù)列， （

8、1）求數(shù)列的通項公式（2）若，求數(shù)列的前項和 解：（1）時， 時，符合上式 為等比數(shù)列 設(shè)的公比為，則 而 解得：或單調(diào)遞增 （2）思路：由（1）可得：，觀察到分母為兩項乘積，且具備“依序同構(gòu)”的特點，所以聯(lián)想到進(jìn)行裂項相消，考慮，剛好為，所以直接裂項然后相消求和即可解： 例7：已知等差數(shù)列的首項，公差，前項和為 （1）若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和 （2）若對一切恒成立，求的取值范圍（1）思路：先利用已知條件求出的通項公式，然后用錯位相減法求和解：成等比數(shù)列，代入可得： 由可得： （2）思路：雖然不知道的通項公式，但根據(jù)其等差數(shù)列特征可得： 所以，從而可將不等式的左邊通過裂項相消求和，然后根據(jù)

9、不等式恒成立解的范圍即可解： 對一切均成立 設(shè)，由可得：為增函數(shù) 例8：已知數(shù)列，其中相鄰的兩個被隔開，第對之間有個，則該數(shù)列的前項的和為_思路：本題求和的關(guān)鍵是要統(tǒng)計一共有多少個1，多少個2相加。那么首先應(yīng)該確定第的位置，（即位于第幾對1中的第幾個2），可將1個與之后個劃為一組，則第組數(shù)中含有個數(shù)。即，可估算出，所以即該數(shù)列的第項位于第組第10個數(shù)。可分析前48組中含有48個1，含有個，在第49組中有1個1，9個2，所以前項和為 答案：2419小煉有話說：對于這種“規(guī)律性”（不含通項公式）的數(shù)列，首先要抓住此數(shù)列中數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律確定出所求和的最后一項的位置。再將求和中的項進(jìn)行合理分

10、組使之可以進(jìn)行求和，再匯總即可。例9：已知是數(shù)列的前項和，且（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和解：（1） 可得： 即為的等比數(shù)列（2）思路：若要求和，需要先求出的通項公式。所以先利用（1）構(gòu)造等比數(shù)列求出，從而得到，對于，處理方式既可以將進(jìn)行奇偶分類，進(jìn)而分組求和，也可放入到通項公式中進(jìn)行求和解：由（1）可得：令代入 方法一：直接求和 設(shè)小煉有話說：本題雖然可以直接求和，但是過程和結(jié)果相對形式比較復(fù)雜方法二：分組求和當(dāng)為偶數(shù)時當(dāng)為奇數(shù)時 小煉有話說：本題在分組求和時要注意以下幾點（1）相鄰兩項一組，如果項數(shù)為奇數(shù)，那么會留出一項，項數(shù)為偶數(shù)，那么剛好分組。所以要對項數(shù)進(jìn)行奇偶的

11、分類討論（2）在項數(shù)為偶數(shù)的求和過程中要注意的取值變化不再是，而是所以求和時的公比和求和的項數(shù)會對應(yīng)發(fā)生改變。（3）在項數(shù)為奇數(shù)的求和中可利用前面的結(jié)論，簡化求和過程方法三：分奇數(shù)項偶數(shù)項分別求和當(dāng)為偶數(shù)時： 同理：當(dāng)為奇數(shù)時 例10：已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且成等比數(shù)列（1）求的通項公式（2）令，求數(shù)列的的前項和解：（1）成等比數(shù)列 即解得： （2）思路：由第（1）問可得：，考慮相鄰項作和觀察規(guī)律：為偶數(shù)時，然后再進(jìn)行求和即可解：為偶數(shù)時， 為奇數(shù)時： 綜上所述：小煉有話說：本題還可以直接從入手：盡管裂開不是兩項作差，但依靠在求和過程中也可達(dá)到相鄰項相消的目的。進(jìn)而根據(jù)項數(shù)的奇偶進(jìn)行

12、討論求和。三、歷年好題精選1、把等差數(shù)列依次按第一個括號一個數(shù)，第二個括號兩個數(shù)，第三個括號三個數(shù)，第四個括號一個數(shù)，循環(huán)分為則第個括號內(nèi)各數(shù)之和為（ ）A. B. C. D. 2、數(shù)列滿足，則的前60項和為（ ）A. B. C. D. 3、（2016，山東青島12月月考）設(shè)，則在中，正數(shù)的個數(shù)是（ ）A. B. C. D. 4、（2016，長沙一中月考）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，數(shù)列中，是數(shù)列的前項和。若（為正偶數(shù)），則的值為（ ）A. B. C. D. 5、若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為_6、（2015，新課標(biāo)II）設(shè)是數(shù)列的前項和，且，則_7、（2015，江蘇）數(shù)列滿足

13、，且，則數(shù)列的前 項和為_8、在等差數(shù)列中，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，且（1）求（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項和9、（2015，廣東文）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且當(dāng)時， （1）求的值（2）證明：為等比數(shù)列（3）求數(shù)列的通項公式10、（2015，天津）已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列（1）求的值和的通項公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和11、（2014，湖南）已知數(shù)列滿足 （1）若是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值（2）若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項公式12、（2014，全國卷）等差數(shù)列的前項和為，已知為整數(shù)，且 （1）求的通項公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和 13、（2015，山東）設(shè)

14、數(shù)列的前項和為，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.14、（2016，山東濰坊中學(xué)高三期末）在數(shù)列，中，已知，且，成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列（1）求證：是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項和15、定義數(shù)列，且時，（1）當(dāng)時，求（2）若，求證：習(xí)題答案：1、答案：B解析：由前面幾組可得，組中項個數(shù)的循環(huán)周期為3，因為，所以第50組數(shù)含有兩個元素?？芍谝粋€周期中將占有中的6項，所以16個周期共占有96項，從而第49個括號里為 ，第50個括號里含有的項為 ，因為，所以，則2、答案：D解析：時，時， 可得：3、答案：D解析：的周期，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可知：，且，因為單調(diào)遞減，所以

15、則為正，同理可得：也均為正數(shù)，以此類推，可知均為正數(shù)，共個4、答案：B解析：令，為的公差同理代入可得：，解得或設(shè)，同理可知，代入可得：5、答案：解析：設(shè)，即為等差數(shù)列 6、答案： 解析：，即，所以為公差是的等差數(shù)列，所以，即7、答案： 解析：，可得：，進(jìn)行累加可得：，所以，即，故 8、解析：（1）設(shè)的公差和公比分別為，所以解得：或（舍）（2）當(dāng)時，當(dāng)時， 9、解析：（1）令，則 ，解得： （2）即 時，是公比為的等比數(shù)列當(dāng)時，由可驗證得： 綜上可得：是公比為的等比數(shù)列（3）由（2）以及可得： 為公差是4的等差數(shù)列 10、解析：（1）依題意可知： 成等差數(shù)列即 或（舍） 當(dāng)時， ，即 當(dāng)時， ，即 綜上所述： （2）由（1）可得： 設(shè)的前項和為 兩式相減可得： 11、解析：（1）因為是遞增數(shù)列 ，其中 由