球的體積和表面積(附答案)

1、最新資料推薦球的體積和表面積 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積.2.能解決與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一球的體積公式與表面積公式431.球的體積公式V3R (其中 R 為球的半徑 ).2.球的表面積公式S 4R2.思考球有底面嗎？球面能展開(kāi)成平面圖形嗎？答球沒(méi)有底面，球的表面不能展開(kāi)成平面.知識(shí)點(diǎn)二球體的截面的特點(diǎn)1.球既是中心對(duì)稱(chēng)的幾何體，又是軸對(duì)稱(chēng)的幾何體，它的任何截面均為圓，它的三視圖也都是圓 .2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要途徑 .題型一球的表面積和體積例 1(1) 已知球的表面積為64，求

2、它的體積；500(2) 已知球的體積為3 ，求它的表面積 .解 (1) 設(shè)球的半徑為 R，則 4R2 64，解得 R 4，4343256所以球的體積V3R343.(2) 設(shè)球的半徑為 R，則 43R3 5003，解得 R 5，所以球的表面積 S4R2 4 52100.跟蹤訓(xùn)練 1一個(gè)球的表面積是 16，則它的體積是 ()6432A.64 B. 3C.32 D.3答案D1最新資料推薦解析設(shè)球的半徑為R，則由題意可知4R2 16，故 R 2.所以球的半徑為2，體積 V 43R332 3 .題型二球的截面問(wèn)題例 2平面 截球 O 的球面所得圓的半徑為1.球心 O 到平面 的距離為2，則此球的體積為(

3、)A. 6 B.4 3 C.4 6 D.6 3答案 B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O，M 為截面圓上任一點(diǎn)，則 OO 2，O M 1.OM 2 2 1 3.即球的半徑為3.434 3.V (3)3跟蹤訓(xùn)練 2已知長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為3， 5， 15，則它的外接球表面積為_(kāi).答案9解析如圖，是過(guò)長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線AB 的截面，設(shè)長(zhǎng)方體有公共頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)分別為x， y，z，則由已知，xy 3，x 3，得 yz 5，解得 y 1，zx 15，z 5.所以球的半徑R1AB1x2 y2 z2 3，222所以 S 球 4R2 9.題型三球的組合體與三視圖例 3某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，求

4、該幾何體的表面積和體積.2最新資料推薦解由三視圖可知該幾何體的下部是棱長(zhǎng)為2 的正方體， 上部是半徑為1 的半球， 該幾何體的表面積為S 12 4 126 22 12 24 .該幾何體的體積為V 23 14 13 823.23跟蹤訓(xùn)練3有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比.解設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是正方體六個(gè)面的中心，經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖 (1) 所示，則有2r1 a，即 r1 a，所以 S1 4r21a2. 2球與正方體的的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的

5、對(duì)角面得截面，2如圖 (2) 所示，則2r 22a，即 r2 2 a，3最新資料推薦所以 S2 4r222 2a .正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖 (3) 所示，則有2r33a，即 r 332a，所以 S3 4r223 3a .綜上可得S1S2S3 1 23.軸截面的應(yīng)用例 4有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)部放一個(gè)半徑為r 的鐵球，并注入水，使水面沒(méi)過(guò)鐵球和球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度.分析分別表示出取出鐵球前后水的體積 由水的體積不變建立等式 求出所求量 .解如圖， O 是球的最大截面，它內(nèi)切于 ABC，球的半徑為 r

6、.設(shè)將球取出后，水平面在MN 處， MN 與 CD 交于點(diǎn) E.則 DO r， AD 3r， AB ACBC 2 3r ，12123.CD 3r.由圖形知 V 圓錐 CE V 圓錐 CD 3ME CE 3AD CD CE3 CD3r)23r 3r3，又 V 圓錐 CD (3V 圓錐 CE V 圓錐 CD V 球 O 3r3 43r3 53r3，35r3333 3r CE (3r) ， CE15r .球從容器中取出后，水的深度為3 15r.1.直徑為 6 的球的表面積和體積分別是()A.36 ，144 B.36 ， 36C.144 ，36D.144 ， 144 4最新資料推薦2.若球的體積與其表

7、面積數(shù)值相等，則球的半徑等于()1A. 2B.1 C.2 D.33.兩個(gè)半徑為1 的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)大球的半徑是_.4.若球的半徑由R 增加為 2R，則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍.5.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_(kāi).一、選擇題1.設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是 ()48A. 3B. 3C.43D.3232.一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1 的球面上，則正方體的表面積為 ()A.8B.82C.83D.423.兩個(gè)球的半徑之比為1 3，那么兩個(gè)球的表面積之比為 ()A.1 9B.1 27C.1 3D.1 14.設(shè)正方體的表面積為24 cm2

8、，一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是()33238343A.6 cmB. 3 cmC.3 cmD. 3 cm5.若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r ， R，則球的表面積為 ()A.4 (r R)2B.4 r2R2C.4 RrD. (R r) 26.已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為()324A.3B.4 C.2 D. 37.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)5最新資料推薦球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為 ()500 3866 3A. 3cmB

9、. 3cm1 372 32 048 3C.cmD.cm33二、填空題8.一個(gè)幾何體的三視圖( 單位： m)如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi) m3.99.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為2 ，則正方體的棱長(zhǎng)為 _.10.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積是_.11.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm 的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同 )后，水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示 )，則球的半徑是_cm.三、解答題12.如圖所示，半徑為R 的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB 所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積.(其中

10、 BAC 30)13.一個(gè)高為16 的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972 的球，在圓錐內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)切球，求：(1) 圓錐的側(cè)面積；(2) 圓錐的內(nèi)切球的體積 .6最新資料推薦當(dāng)堂檢測(cè)答案1.答案B243解析球的半徑為3，表面積S 4336，體積 V3336.2.答案D解析設(shè)球的半徑為R，則 4R2 4 3，所以 R 3.3R3.答案3 2解析設(shè)大球的半徑為R，則有 4R3 2 4 13，33R3 2， R 32.4.答案84解析球的半徑為 R 時(shí)，球的體積為 V1 4R3，表面積為 S1 4R2，半徑增加為2R 后，球34332322的體積為 V2 3(2R) 3 R，表面積為S24(2R) 16R

11、.2323223 R16R所以V 8，SV1S14R2 4，433R即體積變?yōu)樵瓉?lái)的8 倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的4 倍 .5.答案3解析由三視圖可知， 該幾何體為一個(gè)半徑為1 的半球，其表面積為半個(gè)球面面積與截面面1積的和，即 4 3.課時(shí)精練一、選擇題1.答案C7最新資料推薦解析由題意可知， 6a2 24， a 2.設(shè)正方體外接球的半徑為R，則43 43.3a 2R， R 3， V 球 3R2.答案A解析 球的半徑為1，且正方體內(nèi)接于球，球的直徑即為正方體的對(duì)角線，即正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為2.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則有3a2 4，即 a24.324正方體的表面積為6a 6 8.3.答案A解析由表面

12、積公式知，兩球的表面積之比為R12 R22 1 9.4.答案D解析由正方體的表面積為24 cm2，得正方體的棱長(zhǎng)為2 cm，故這個(gè)球的直徑為2cm，故這個(gè)球的體積為433 cm.5.答案C解析方法一如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在 Rt CDE 中，DE 2r1，CE R r， DC R r.由勾股定理得4r12 (Rr )2 (R r)2，解得 r1 Rr.故球的表面積為S 球 4r2 4Rr.1方法二如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r 1，連接OA， OB，則在Rt AOB 中， OF 是斜邊 AB 上的高 .由相似三角形的性質(zhì)得OF 2BF AF Rr，即 r 12Rr，故 r 1 Rr，故球的

13、表面積為S 球 4Rr.6.答案D解 析 正 四 棱柱 的底面 邊 長(zhǎng)為1 ， 側(cè)棱 長(zhǎng) 為2 ， 正 四棱 柱 的體 對(duì) 角線 的長(zhǎng)為1 1 2 22.又 正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上， 正四棱柱體對(duì)角線恰好是球的一條直徑， 球的半徑 R 1.故球的體積為V43R3 43.7.答案A解析利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC 8 6 2(cm) ， BM 12AB 12 8 4(cm).設(shè)球的半徑為R cm，則 R2 OM 2 MB2 ( R 2)2 42， R 5，453500 3).V 球 3(cm38最新資料推薦二、填空題8.答案918解析將三視圖還原為實(shí)物圖

14、后求解.由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為32；上面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、 1，所以 V43 278 2 1 3 6 9 18.9.答案3解析先求出球的半徑，再根據(jù)正方體的體對(duì)角線等于球的直徑求棱長(zhǎng).設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，球半徑為 R，則 43R3 92， R 32， 3a 3， a 3. 10.答案 814解析由已知條件可知，球心在正四棱錐的高所在的直線上.設(shè)球的半徑為 R，球心為O，正四棱錐底面中心為E，則 OE |4R|，所以2 (2)229(4 R)R ，解得 R .所以球的表面4281積 S 4R 4 .11.答案4解析設(shè)球的半徑為r，則圓柱形容器的高為6r ，容積為

15、 r2 6r 6r3 ，高度為8 cm 的水的體積為8r2,3 個(gè)球的體積和為 34r3 4r3，由題意得6r3 8r234r3，解得 r 4(cm).三、解答題12.解如圖所示，過(guò) C 作 CO1AB 于 O1.在半圓中可得 BCA 90， BAC 30， AB2R，AC 3R， BC R， CO1322R， S 球 4R ，S圓錐 AO 側(cè) 3R3R3R2，1229最新資料推薦S圓錐 BO1側(cè) 332，2 R R2 RS 幾何體表 S 球 S圓錐 AO 側(cè) S圓錐 BO 側(cè)1111R2 3R21132R2.22故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為113R2.213.解(1)如圖作軸截面，則等腰三角形CAB 內(nèi)接于 O， O1 內(nèi)切于 ABC.設(shè) O 的半徑為 R，由題意，得43R3 972，