不定積分的常用求法(定稿)

1、 不定積分的常用求法工程學(xué)院 11設(shè)計（3）班張瑩 摘要微積分是微分學(xué)與積分學(xué)的簡稱，微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上最重要的事情之一。不定積分的相關(guān)知識是微積分中重要的知識，掌握不定積分的求法是學(xué)好微積分的前提。另外，不定積分的求法和定積分的求法有一定的相關(guān)性，在求面積以及質(zhì)量中也有一定的應(yīng)用。但是不定積分的計算是數(shù)學(xué)分析中的難點之一。求不定積分的方法靈活多樣，本文介紹了微分學(xué)的來源，創(chuàng)立以及發(fā)展歷史。并且基于自己對不定積分的理解，通過實例對不定積分的求法進行了總結(jié)。關(guān)鍵字：微積分，微分學(xué)，積分學(xué)，不定積分，求解方法。 目錄：一，前言。-4二，不定積分基本原理-6（一） 原函數(shù)與不定積分-6（二）不定

2、積分的基本性質(zhì)-6（三）基本積分公式-6三、不定積分求法的具體運用-7（一）利用不定積分的定義來求不定積分。-7（二）直接積分法求不定積分。-7（三）第一類換元積分法（湊微分法）-8（四）第二類換元積分法-91，三角代換-102，倒代法-103，去根號法-11（五），分部積分法-12四、總結(jié)-13五、參考文獻-14 一、前言微積分是高等數(shù)學(xué)的一個主要內(nèi)容，不定積分是微積分的重要部分，首先向大家闡述微積分的時代背景及其創(chuàng)立原因。1.1、微積分的時代背景微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的簡稱。微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上最重要的事件之一。其基本思想源于古希臘的求積術(shù)，但直接原因是17世紀的科技問題。下面是當(dāng)時有關(guān)

3、微積分創(chuàng)作的研究項目。（1）運動問題。已知物體移動的位置關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式，求物體在任意時刻的速度或加速度；反之，已知物體的加速度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式，求任意時刻的速度與距離。因運動物體的速度與加速度時刻都在變化，瞬時速度的求法超出了常規(guī)數(shù)學(xué)的范圍。拋射體行星的運動都屬于此列。（2）切線問題。17世紀許多數(shù)學(xué)家參與了透鏡的設(shè)計。要研究光線通過透鏡后的通道，必須知道射線射入透鏡的角度，以便應(yīng)用光的反射定律，這就需要求出光線在入射點的法線或切線。同時，運動物體在它的軌跡上任意一點處的運動方向都是軌跡的切線方向。在當(dāng)時，切線的定義與求法也都沒有出現(xiàn)，對于復(fù)雜曲線求切線更是無從下手。（3）極值問題。

4、即求函數(shù)的最大值與最小值。例如求炮彈能獲得最大射程的發(fā)射角，求行星離開太陽的最遠距離等。17世紀初已有一些實際推測，但缺乏理論上嚴謹?shù)淖C明。（4）求積問題。包括求曲線的長度，曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體的重心等，這些問題的研究都對科技的發(fā)展有重要的意義。窮竭法只對一些簡單的面積和體積有效，但它卻是微積分的萌芽，給了數(shù)學(xué)家創(chuàng)作微積分的靈感。 1.2、微積分的早期工作在數(shù)學(xué)史上，積分概念先于微分概念產(chǎn)生，積分是與某些面積、體積和弧長相聯(lián)系的求和過程中發(fā)展起來的。后來數(shù)學(xué)家們對曲線作切線問題和函數(shù)的極大值、極小值問題的研究產(chǎn)生了微分。再往后人們才注意到：積分和微分彼此為逆運算而相互關(guān)聯(lián)。（1

5、）極限概念。它是整個微積分學(xué)的基礎(chǔ)。芝諾悖論就涉及極限的問題，例如二分說，追龜論等，窮竭法也使用了極限概念。（2）窮竭法。最早，古希臘人在研究化圓為方時，提出一種將圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷加倍逼近圓周的方法，后人認為這是窮竭法的最早形式。當(dāng)多邊形的邊數(shù)不斷加倍時，圓內(nèi)接正多邊形與圓周之間存在著空隙逐漸被“窮竭”了。公元前4世紀，就出現(xiàn)了“歐多克索斯原理”：設(shè)給定兩個不相等的量，如果從其中較大的量減去比它的一半大的量，再從所余的量中減去比這余量的一半大的量 ，繼續(xù)重復(fù)這一過程，必有某個余量將小于給定的較小的量。他利用這一原理建立建立了完善的窮竭法，求出了棱錐體積和圓錐體積。后來，窮竭法被歐幾里得收

6、入幾何原本中，成為幾何證明得一種方法。（3）不可分原理。1635年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里建立了不可分原理。原理為：“兩同高得立體，若在等高處的截面積恒相等，則它們的體積相等；如果截面積成定比，則它們的體積之比等于截面積之比?！被诖死碚撋?，他用巧妙的幾何方法求出若干曲邊圖形的面積，還證明了旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積公式等，極大程度上啟發(fā)了微積分的創(chuàng)立。（4）切線求法。1637年法國費馬給出一種求切線的方法，與現(xiàn)代方法基本一致。費馬還在文中講述了求最大值和最小值的方法，確立了多項式方程代表的曲線上的極大點、極小點和拐點。他還將這一方法用在了如物體的重心、曲線的長度及旋轉(zhuǎn)面的面積等各類問題的求法，并應(yīng)用

7、于光學(xué)問題研究，其工作被認為是“微積分新計算的第一發(fā)明人”。1670年，英國數(shù)學(xué)家巴羅應(yīng)用幾何方法對曲線進行計算，在求切線時提出了“微分三角形”概念。巴羅還使用了與費馬同樣的方法求曲線的切線，并且可能當(dāng)時認識到了微分法是積分法的逆運算，是第一個如此認為的數(shù)學(xué)家。1.3、微積分的創(chuàng)立后來微積分的大量知識積累起來，但這些知識往往沉湎于細節(jié)，而且多用幾何方法尋求嚴密的推理，忽略了新發(fā)展的解析幾何。英國的牛頓和德國的萊布尼茨最終完成了微積分的創(chuàng)造，歷時上對于誰先創(chuàng)造了微積分還有很大的爭議，后來數(shù)學(xué)史統(tǒng)一認為兩位數(shù)學(xué)家都死微積分的創(chuàng)作者。（1）牛頓。據(jù)牛頓自述，他于1665年發(fā)明正流數(shù)術(shù)（即微分法），1

8、666年建立反流數(shù)術(shù)（即積分法），1666年寫出第一篇微積分論文流數(shù)簡述，其中以速度形式引進了流數(shù)，使用無窮小瞬概念，建立了“微積分基本定理”,并討論了正、反微分運算的各種應(yīng)用。但到了1687年，牛頓的自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理在倫敦出版，這才是他第一次公開表述了微積分方法。（2）萊布尼茨。1673年闡述了特征三角形（即微分三角形）思想，并通過積分變換，得到平面曲線的面積公式。1675年10月，他使用了不定積分符號，用不定積分表示面積，還得到分部積分公式。1675-1676年他得到微積分基本定理，后來后來這一原理被稱為“牛頓萊布尼茨公式”。1677年他明確定義了dy為函數(shù)的微分，給出了dy的演算規(guī)則。

9、1684年，萊布尼茨發(fā)表第一篇微積分論文。 二、不定積分的基本原理 2.1.原函數(shù)與不定積分2.1.1 定義 1 設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間I 有定義，若F (x) = f (x), x I ，則稱F(x)是f (x)在I 的一個原函數(shù).定義 2 設(shè)F(x)是f (x)在I 的一個原函數(shù)，則稱F(x) + c為的f (x)不定積分，記作 f (x)dx = F(x) + c2.1.2不定積分的幾何意義：函數(shù)f (x)的原函數(shù)圖形成為f (x)的積分曲線，此積分曲線為一族積分曲線，f (x)為積分曲線的斜率。 22. 不定積分的基本性質(zhì)2.2.1f (x) + g(x)dx = f (x)d

10、x + g(x)dx2.2.2f (x)dx= f (x), d f (x)dx = f (x)2.2.3F(x)dx = F(x) + c, dF(x) = F(x) + c2.3基本積分公式2.3.10dx = c；2.3.2.；2.3.3; 2.3.4.sin xdx = cos x + c；cos xdx = sin x + c；2.3.5. 2.3.6.2.3.7.2.3.8.2.3.9.2.3.10.三、不定積分求法的運用3.1利用不定積分的定義來求不定積分。具備知識：定義，設(shè)F（x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)的全部原函數(shù)成為f(x)的不定積分，記做，即=F（x)+C（

11、C為常數(shù)).例題：3.1.1，求不定積分解：因為d=所以 =ln(2+)+C.由于積分和求導(dǎo)互為逆運算，所以它們有如下關(guān)系：可以利用這些關(guān)系和不定積分的求法來求不定積分。注意：利用不定積分的定義來求不定積分關(guān)鍵在于能夠找到f(x)的一個原函數(shù)。3.2直接積分法求不定積分。具備知識：直接積分法求不定積分是經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，將被積函數(shù)化為基本積分公式中的幾個被積函數(shù)的代數(shù)和，再利用基本積分公式和性質(zhì)來求不定積分的方法。例題：3.2.1，求不定積分解：原式=3.2.2，求不定積分解：原式3.2.3，求不定積分解：原式注意：利用直接積分法的關(guān)鍵在于將被積函數(shù)恒等化為基本積分公式中的幾個被積函數(shù)的代數(shù)

12、和，要注意的是在恒等變化時不要犯錯，以及基本積分公式要牢記，不要犯錯。3.3第一類換元積分法（湊微分法）預(yù)備知識：定理：（第一換元法）設(shè)g(u)的原函數(shù)F（u),u=可導(dǎo)，則有換元公式例題：3.3.1，求不定積分解：因為sinxdx=-dcosx,所以原式=（令u=cosx)=（將u=cosx代回）=3.3.2，求不定積分解：被積函數(shù)可分解為和所以=3.3.3，求不定積分解：原式=（當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)的乘積時，拆開奇次項去湊微分）3.3.4求不定積分解：（當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)的偶次冪時，常用半角公式降低冪次得方法計算）注意：湊微分法就是把被積式子中的某一部分看成一個整體，而把被積式子湊成關(guān)于

13、這個整體的積分公式。注：常見的湊微分f (cos x)sin xdx = f (cos x)d cos xf (sin x) cos xdx = f (sin x)d sin x 3.4第二類換元積分法預(yù)備知識：定理：（第二類換元法）設(shè)x=是單調(diào)，可導(dǎo)函數(shù)，且，又設(shè)具有原函數(shù)F（t）,則其中（x)是x+(t）的反函數(shù)。第二類換元法常用的換元技巧如下：1，三角代換；2，倒代法；3. 去根號法。我們將在下面搭配著例題詳細介紹這幾種常用的換元技巧。3.4.1，三角代換。以三角式換去消去二次根式，一般這種方法稱為三角代換法。一般的，根據(jù)被積函數(shù)的根式類型，常用的變換如下：（1） 被積函數(shù)中含有，令x=

14、asint或x=acost;（2） 被積函數(shù)中含有，令x=atant或x=acott;（3） 被積函數(shù)中含有，令x=asect或x=acsct例題：1，求不定積分解：令x=asect,dx=asect,;所以原式=回代sect,tant,得3.4.2，倒代法。對于某些被積函數(shù)，若分母中含有因子時，可做倒代換，即令：，從而可得出積分。一般在當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階數(shù)較高時常使用。例題1，求不定積分解：令，則所以原式=3.4.3，去根號法。（1）當(dāng)被積函數(shù)中僅有一種簡單根式時，可以令t等于該根式進行代換。根式有理化是化簡不定積分的常用方法。例題：1，求不定積分解：令t=,即做變量代換，從而；所以2

15、，求不定積分解;令t=,即做變量代換，從而；所以（2） 當(dāng)被積函數(shù)中含有與時，可令t=；其中k為m,n的最小公倍數(shù)。注意：第二類換元積分法的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x取積分變量x作為新積分變量t的一個函數(shù)，并且具有反函數(shù)。3.5.分步積分法預(yù)備知識：定理：設(shè)函數(shù)均具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由兩個函數(shù)乘法的微分法則可得：或者；兩邊積分得：稱這個公式為分步積分公式。例題：1，求不定積分解：令，那么；2，求不定積分解：利用分部積分法。有注意：1，v要容易求得。2，要比容易積出。3，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正（余）弦函數(shù)或者冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，可以考慮分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)為u，這樣用一次分部積分就可以使得冪函數(shù)的冪次

16、降低一次。4，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或者冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，可以考慮用分部積分法，并設(shè)對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為u. 四、總結(jié) 不定積分是微積分中重要的部分，不定積分的概念，性質(zhì)，求法，以及應(yīng)用在數(shù)學(xué)分析中有著至關(guān)重要的位置，也是微積分中的基礎(chǔ)部分，所以掌握不定積分的求法是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)，不定積分的求法很多種，這里主要講了利用定義求法、直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分步積分法五種最基本的方法，也是最常用的方法，遇到不定積分的題目時，應(yīng)當(dāng)先分析題目結(jié)構(gòu)，然后選擇最方便求解的方法。本文的寫作目的在于讓大家了解積分的基本知識，認識到積分的學(xué)習(xí)不難，只要細心總結(jié)，認真學(xué)習(xí)基本知識，那么不定積分的求法就可以深刻的掌握，對高等數(shù)學(xué)可以從容應(yīng)對。在這篇論文的寫作過程中，我感受到了知識的丟失和自己知識面的不足，不能系統(tǒng)全面得總結(jié)不定積分的知識。同時認識到即使是舊知識，只要細心總結(jié)，認真思考，都會有所收獲，積分知識關(guān)鍵在于學(xué)習(xí)。 由于時間以及個人的一些原因。本論文未能對不定積分的求法作深入的探討，只考察了不定積分的基本性質(zhì)和不定積分求法