




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
1、 不定積分的常用求法工程學(xué)院 11設(shè)計(3)班張瑩 摘要微積分是微分學(xué)與積分學(xué)的簡稱,微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上最重要的事情之一。不定積分的相關(guān)知識是微積分中重要的知識,掌握不定積分的求法是學(xué)好微積分的前提。另外,不定積分的求法和定積分的求法有一定的相關(guān)性,在求面積以及質(zhì)量中也有一定的應(yīng)用。但是不定積分的計算是數(shù)學(xué)分析中的難點之一。求不定積分的方法靈活多樣,本文介紹了微分學(xué)的來源,創(chuàng)立以及發(fā)展歷史。并且基于自己對不定積分的理解,通過實例對不定積分的求法進行了總結(jié)。關(guān)鍵字:微積分,微分學(xué),積分學(xué),不定積分,求解方法。 目錄:一,前言。-4二,不定積分基本原理-6(一) 原函數(shù)與不定積分-6(二)不定
2、積分的基本性質(zhì)-6(三)基本積分公式-6三、不定積分求法的具體運用-7(一)利用不定積分的定義來求不定積分。-7(二)直接積分法求不定積分。-7(三)第一類換元積分法(湊微分法)-8(四)第二類換元積分法-91,三角代換-102,倒代法-103,去根號法-11(五),分部積分法-12四、總結(jié)-13五、參考文獻-14 一、前言微積分是高等數(shù)學(xué)的一個主要內(nèi)容,不定積分是微積分的重要部分,首先向大家闡述微積分的時代背景及其創(chuàng)立原因。1.1、微積分的時代背景微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的簡稱。微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上最重要的事件之一。其基本思想源于古希臘的求積術(shù),但直接原因是17世紀的科技問題。下面是當(dāng)時有關(guān)
3、微積分創(chuàng)作的研究項目。(1)運動問題。已知物體移動的位置關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式,求物體在任意時刻的速度或加速度;反之,已知物體的加速度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式,求任意時刻的速度與距離。因運動物體的速度與加速度時刻都在變化,瞬時速度的求法超出了常規(guī)數(shù)學(xué)的范圍。拋射體行星的運動都屬于此列。(2)切線問題。17世紀許多數(shù)學(xué)家參與了透鏡的設(shè)計。要研究光線通過透鏡后的通道,必須知道射線射入透鏡的角度,以便應(yīng)用光的反射定律,這就需要求出光線在入射點的法線或切線。同時,運動物體在它的軌跡上任意一點處的運動方向都是軌跡的切線方向。在當(dāng)時,切線的定義與求法也都沒有出現(xiàn),對于復(fù)雜曲線求切線更是無從下手。(3)極值問題。
4、即求函數(shù)的最大值與最小值。例如求炮彈能獲得最大射程的發(fā)射角,求行星離開太陽的最遠距離等。17世紀初已有一些實際推測,但缺乏理論上嚴謹?shù)淖C明。(4)求積問題。包括求曲線的長度,曲線圍成的面積,曲面圍成的體積,物體的重心等,這些問題的研究都對科技的發(fā)展有重要的意義。窮竭法只對一些簡單的面積和體積有效,但它卻是微積分的萌芽,給了數(shù)學(xué)家創(chuàng)作微積分的靈感。 1.2、微積分的早期工作在數(shù)學(xué)史上,積分概念先于微分概念產(chǎn)生,積分是與某些面積、體積和弧長相聯(lián)系的求和過程中發(fā)展起來的。后來數(shù)學(xué)家們對曲線作切線問題和函數(shù)的極大值、極小值問題的研究產(chǎn)生了微分。再往后人們才注意到:積分和微分彼此為逆運算而相互關(guān)聯(lián)。(1
5、)極限概念。它是整個微積分學(xué)的基礎(chǔ)。芝諾悖論就涉及極限的問題,例如二分說,追龜論等,窮竭法也使用了極限概念。(2)窮竭法。最早,古希臘人在研究化圓為方時,提出一種將圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷加倍逼近圓周的方法,后人認為這是窮竭法的最早形式。當(dāng)多邊形的邊數(shù)不斷加倍時,圓內(nèi)接正多邊形與圓周之間存在著空隙逐漸被“窮竭”了。公元前4世紀,就出現(xiàn)了“歐多克索斯原理”:設(shè)給定兩個不相等的量,如果從其中較大的量減去比它的一半大的量,再從所余的量中減去比這余量的一半大的量 ,繼續(xù)重復(fù)這一過程,必有某個余量將小于給定的較小的量。他利用這一原理建立建立了完善的窮竭法,求出了棱錐體積和圓錐體積。后來,窮竭法被歐幾里得收
6、入幾何原本中,成為幾何證明得一種方法。(3)不可分原理。1635年,意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里建立了不可分原理。原理為:“兩同高得立體,若在等高處的截面積恒相等,則它們的體積相等;如果截面積成定比,則它們的體積之比等于截面積之比?!被诖死碚撋?,他用巧妙的幾何方法求出若干曲邊圖形的面積,還證明了旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積公式等,極大程度上啟發(fā)了微積分的創(chuàng)立。(4)切線求法。1637年法國費馬給出一種求切線的方法,與現(xiàn)代方法基本一致。費馬還在文中講述了求最大值和最小值的方法,確立了多項式方程代表的曲線上的極大點、極小點和拐點。他還將這一方法用在了如物體的重心、曲線的長度及旋轉(zhuǎn)面的面積等各類問題的求法,并應(yīng)用
7、于光學(xué)問題研究,其工作被認為是“微積分新計算的第一發(fā)明人”。1670年,英國數(shù)學(xué)家巴羅應(yīng)用幾何方法對曲線進行計算,在求切線時提出了“微分三角形”概念。巴羅還使用了與費馬同樣的方法求曲線的切線,并且可能當(dāng)時認識到了微分法是積分法的逆運算,是第一個如此認為的數(shù)學(xué)家。1.3、微積分的創(chuàng)立后來微積分的大量知識積累起來,但這些知識往往沉湎于細節(jié),而且多用幾何方法尋求嚴密的推理,忽略了新發(fā)展的解析幾何。英國的牛頓和德國的萊布尼茨最終完成了微積分的創(chuàng)造,歷時上對于誰先創(chuàng)造了微積分還有很大的爭議,后來數(shù)學(xué)史統(tǒng)一認為兩位數(shù)學(xué)家都死微積分的創(chuàng)作者。(1)牛頓。據(jù)牛頓自述,他于1665年發(fā)明正流數(shù)術(shù)(即微分法),1
8、666年建立反流數(shù)術(shù)(即積分法),1666年寫出第一篇微積分論文流數(shù)簡述,其中以速度形式引進了流數(shù),使用無窮小瞬概念,建立了“微積分基本定理”,并討論了正、反微分運算的各種應(yīng)用。但到了1687年,牛頓的自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理在倫敦出版,這才是他第一次公開表述了微積分方法。(2)萊布尼茨。1673年闡述了特征三角形(即微分三角形)思想,并通過積分變換,得到平面曲線的面積公式。1675年10月,他使用了不定積分符號,用不定積分表示面積,還得到分部積分公式。1675-1676年他得到微積分基本定理,后來后來這一原理被稱為“牛頓萊布尼茨公式”。1677年他明確定義了dy為函數(shù)的微分,給出了dy的演算規(guī)則。
9、1684年,萊布尼茨發(fā)表第一篇微積分論文。 二、不定積分的基本原理 2.1.原函數(shù)與不定積分2.1.1 定義 1 設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間I 有定義,若F (x) = f (x), x I ,則稱F(x)是f (x)在I 的一個原函數(shù).定義 2 設(shè)F(x)是f (x)在I 的一個原函數(shù),則稱F(x) + c為的f (x)不定積分,記作 f (x)dx = F(x) + c2.1.2不定積分的幾何意義:函數(shù)f (x)的原函數(shù)圖形成為f (x)的積分曲線,此積分曲線為一族積分曲線,f (x)為積分曲線的斜率。 22. 不定積分的基本性質(zhì)2.2.1f (x) + g(x)dx = f (x)d
10、x + g(x)dx2.2.2f (x)dx= f (x), d f (x)dx = f (x)2.2.3F(x)dx = F(x) + c, dF(x) = F(x) + c2.3基本積分公式2.3.10dx = c;2.3.2.;2.3.3; 2.3.4.sin xdx = cos x + c;cos xdx = sin x + c;2.3.5. 2.3.6.2.3.7.2.3.8.2.3.9.2.3.10.三、不定積分求法的運用3.1利用不定積分的定義來求不定積分。具備知識:定義,設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù),則f(x)的全部原函數(shù)成為f(x)的不定積分,記做,即=F(x)+C(
11、C為常數(shù)).例題:3.1.1,求不定積分解:因為d=所以 =ln(2+)+C.由于積分和求導(dǎo)互為逆運算,所以它們有如下關(guān)系:可以利用這些關(guān)系和不定積分的求法來求不定積分。注意:利用不定積分的定義來求不定積分關(guān)鍵在于能夠找到f(x)的一個原函數(shù)。3.2直接積分法求不定積分。具備知識:直接積分法求不定積分是經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?,將被積函數(shù)化為基本積分公式中的幾個被積函數(shù)的代數(shù)和,再利用基本積分公式和性質(zhì)來求不定積分的方法。例題:3.2.1,求不定積分解:原式=3.2.2,求不定積分解:原式3.2.3,求不定積分解:原式注意:利用直接積分法的關(guān)鍵在于將被積函數(shù)恒等化為基本積分公式中的幾個被積函數(shù)的代數(shù)
12、和,要注意的是在恒等變化時不要犯錯,以及基本積分公式要牢記,不要犯錯。3.3第一類換元積分法(湊微分法)預(yù)備知識:定理:(第一換元法)設(shè)g(u)的原函數(shù)F(u),u=可導(dǎo),則有換元公式例題:3.3.1,求不定積分解:因為sinxdx=-dcosx,所以原式=(令u=cosx)=(將u=cosx代回)=3.3.2,求不定積分解:被積函數(shù)可分解為和所以=3.3.3,求不定積分解:原式=(當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)的乘積時,拆開奇次項去湊微分)3.3.4求不定積分解:(當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)的偶次冪時,常用半角公式降低冪次得方法計算)注意:湊微分法就是把被積式子中的某一部分看成一個整體,而把被積式子湊成關(guān)于
13、這個整體的積分公式。注:常見的湊微分f (cos x)sin xdx = f (cos x)d cos xf (sin x) cos xdx = f (sin x)d sin x 3.4第二類換元積分法預(yù)備知識:定理:(第二類換元法)設(shè)x=是單調(diào),可導(dǎo)函數(shù),且,又設(shè)具有原函數(shù)F(t),則其中(x)是x+(t)的反函數(shù)。第二類換元法常用的換元技巧如下:1,三角代換;2,倒代法;3. 去根號法。我們將在下面搭配著例題詳細介紹這幾種常用的換元技巧。3.4.1,三角代換。以三角式換去消去二次根式,一般這種方法稱為三角代換法。一般的,根據(jù)被積函數(shù)的根式類型,常用的變換如下:(1) 被積函數(shù)中含有,令x=
14、asint或x=acost;(2) 被積函數(shù)中含有,令x=atant或x=acott;(3) 被積函數(shù)中含有,令x=asect或x=acsct例題:1,求不定積分解:令x=asect,dx=asect,;所以原式=回代sect,tant,得3.4.2,倒代法。對于某些被積函數(shù),若分母中含有因子時,可做倒代換,即令:,從而可得出積分。一般在當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階數(shù)較高時常使用。例題1,求不定積分解:令,則所以原式=3.4.3,去根號法。(1)當(dāng)被積函數(shù)中僅有一種簡單根式時,可以令t等于該根式進行代換。根式有理化是化簡不定積分的常用方法。例題:1,求不定積分解:令t=,即做變量代換,從而;所以2
15、,求不定積分解;令t=,即做變量代換,從而;所以(2) 當(dāng)被積函數(shù)中含有與時,可令t=;其中k為m,n的最小公倍數(shù)。注意:第二類換元積分法的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x取積分變量x作為新積分變量t的一個函數(shù),并且具有反函數(shù)。3.5.分步積分法預(yù)備知識:定理:設(shè)函數(shù)均具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則由兩個函數(shù)乘法的微分法則可得:或者;兩邊積分得:稱這個公式為分步積分公式。例題:1,求不定積分解:令,那么;2,求不定積分解:利用分部積分法。有注意:1,v要容易求得。2,要比容易積出。3,如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或者冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積,可以考慮分部積分法,并設(shè)冪函數(shù)為u,這樣用一次分部積分就可以使得冪函數(shù)的冪次
16、降低一次。4,如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或者冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,可以考慮用分部積分法,并設(shè)對數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為u. 四、總結(jié) 不定積分是微積分中重要的部分,不定積分的概念,性質(zhì),求法,以及應(yīng)用在數(shù)學(xué)分析中有著至關(guān)重要的位置,也是微積分中的基礎(chǔ)部分,所以掌握不定積分的求法是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ),不定積分的求法很多種,這里主要講了利用定義求法、直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分步積分法五種最基本的方法,也是最常用的方法,遇到不定積分的題目時,應(yīng)當(dāng)先分析題目結(jié)構(gòu),然后選擇最方便求解的方法。本文的寫作目的在于讓大家了解積分的基本知識,認識到積分的學(xué)習(xí)不難,只要細心總結(jié),認真學(xué)習(xí)基本知識,那么不定積分的求法就可以深刻的掌握,對高等數(shù)學(xué)可以從容應(yīng)對。在這篇論文的寫作過程中,我感受到了知識的丟失和自己知識面的不足,不能系統(tǒng)全面得總結(jié)不定積分的知識。同時認識到即使是舊知識,只要細心總結(jié),認真思考,都會有所收獲,積分知識關(guān)鍵在于學(xué)習(xí)。 由于時間以及個人的一些原因。本論文未能對不定積分的求法作深入的探討,只考察了不定積分的基本性質(zhì)和不定積分求法
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 護士管理辦法那年頒布
- 菏澤學(xué)院教師管理辦法
- 用電用戶信用管理辦法
- 賬戶支付結(jié)算管理辦法
- 育嬰師職業(yè)資格課件
- 肝衰竭護理課件
- 肝移植護理課件
- 釘釘群直播講數(shù)學(xué)試卷
- 高一普高數(shù)學(xué)試卷
- 團服銷售培訓(xùn)課件
- 2025年高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)Ⅱ卷試卷評析及備考策略(課件)
- 黑龍江司法警官職業(yè)學(xué)院2025年招生政治考察表
- 《鐵路技術(shù)管理規(guī)程》(普速鐵路部分)
- 文獻檢索與閱讀方法課件
- 髂內(nèi)動脈解剖特點PPT
- 8.5.2 直線與平面平行(第2課時)直線與平面平行的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計
- 大班藝術(shù)活動:《有趣的線條》
- 螺旋槳加工與安裝工藝
- 校長競聘試題
- LED顯示屏合同范本
- 初中化學(xué)實驗探究教學(xué)方法講座
評論
0/150
提交評論