02 線代-張翀02 第二講 矩陣_W

1、 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira第二講矩陣【考試要求】 1. 理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質(zhì) 2. 掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì) 3. 理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件， 理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣 4. 理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法 5. 了解分塊矩陣及其運算 考點：矩陣的概念和基本運算1. 定義1）矩陣 由m n 個數(shù)aij (i =

2、 1, 2, m; j =1, 2, n) 排成m 行n 列的數(shù)表 a11a1n a1222 aaa2n 21 aaa m1mn m2稱為一個m 行n 列矩陣，簡稱m n 矩陣，矩陣通常用大寫黑體字母表示，記作 A或 Amn .當(dāng)m = n 時，稱 An 為n 階矩陣(或n 階方陣).A 稱為 A 的行列式.2）元素 這m n 個數(shù)aij 稱為矩陣 A 的第i 行第 j 列元素，簡稱為元. 以數(shù)aij 為元素的矩陣可簡記作 A = (aij ) 或(aij )mn (i = 1, 2,其中橫排為行，豎排為列., m; j =1, 2, n)，3）實矩陣 元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣（考研僅考察實

3、矩陣）2. 常見矩陣關(guān)系 1） 同型矩陣： 行數(shù)、列數(shù)都相同的矩陣稱為同型矩陣.2） 矩陣相等： 如果兩個同型矩陣 A = (aij )mn 和 B = (bij )mn 的各元素也對應(yīng)相等，1 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira即= bij (i =1, 2, m; j = 1, 2,aij, n) ，則稱 A 和 B 相等，記作 A = B .3. 矩陣與行列式的區(qū)別 1） 矩陣是一個數(shù)表，行數(shù)和列數(shù)可以不相等；行列式是一個算式，行數(shù)和列數(shù)必須相等； 2） 兩個矩陣相等是指兩個矩陣同型且對應(yīng)元素完全相同；兩個行列式的值相等不一定有對應(yīng)元素相等，甚至階數(shù)也不一定相等.4. 矩陣的

4、線性運算 1）矩陣的加法： n 矩陣加法定義：設(shè)有兩個m n 矩陣 A = (aij ) 和 B = (bij ) ，規(guī)定 a11 + b11a12 + b12a1n + b1n aa+ ba+ b+ bA + B = (a + b ) = 2n2n 21212222ijij a+ ba+ ba+ b m1m1mnmn m2m2注：只有同型矩陣才能相加.矩陣的加法滿足運算律： 交換律： A + B = B + A ; 結(jié)合律： ( A + B) + C = A + (B + C ) ; A + O = A ; A + (- A) = O .2）矩陣的數(shù)量乘法（數(shù)乘） 矩陣數(shù)乘定義 設(shè)k 是任意

5、常數(shù)， A = (aij ) ，將k 乘到矩陣的每個 A 元素上，即 ka11 kaka12 kaka1n 2n kakA = (ka ) = 2122ij kakakam1mn m22 /29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira矩陣的數(shù)乘滿足運算律 加乘分配律: k ( A + B) = kA + kB ， (k + l) A = kA + lA ； 數(shù)乘結(jié)合律： k (lA) = (kl) AcA = O c = 0 或 A = O.5.矩陣的乘法 a11a1222a1n b11b1222b1s a baabb1）定義 設(shè)m n 矩陣 A = 2n 和n s 矩陣 B = 2s ，212

6、1 a baabb m1mn n1ns m2n 2m s 矩陣，其中則 A, B 的乘積 AB = (cij )ms 是一個n+ ainbnj=a bcij = ai1b1 j + ai 2b2 j +ik kjk =1即矩陣C = AB 的第i 行第 j 列元素cij 是 A 第i 行的n 個元素與 B 第 j 列對應(yīng)的n個元素分別相乘的乘積之和，有 b1 jb2 ji aa= aciin i1i 2ijmn msbnsnjjj2）矩陣乘法滿足的運算律 結(jié)合律： (AB)C=A(BC);左、右分配律： C (A+B) =CA + CB;(A+B)C =AC+BC；數(shù)乘結(jié)合律： (kA)(lB

7、)=(kl)(AB)； Em Amn = Amn En = Amn ； AO = O, OA = O3）注意矩陣乘法與數(shù)的乘法的區(qū)別： 矩陣乘法左邊矩陣的列數(shù)必須與右邊矩陣的行數(shù)相同，否則不能相乘；矩陣乘法不滿換律，一般 AB BA ； 矩陣乘法中， AB = O /A = O 或 B = O ； 3 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira6. 矩陣的轉(zhuǎn)置 1）矩陣轉(zhuǎn)置的定義： a11a1n a1222 aaa2n 的行與列的元素互換位置，得到的一個 將 m n 矩陣 A = 21 aaa m1mn m2n m 矩陣，稱為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 AT ，即 a11a2122am1 aa

8、aAT = m2 12 aaa 1nmn 2n2）轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)： ( AT )T = A ; ( A + B)T = AT + BT ; (kA)T= kAT ; ( AB)T = BT AT【例1】求矩陣A = -2 與 B = 424-2 -3-6 1的乘積 AB 及 BA【例2】設(shè)矩陣 A = 1 , 0, 1 ,B = E - AT A, C = E + 2 AT A ，其中 E 為 3 階單 22 位陣，求 BC .直覺訓(xùn)練 T 和T4 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira考點：常見特殊矩陣1. 行矩陣（列矩陣）：只有一行的矩陣 A = (a11, a12， , a1

9、n ) 稱為行矩陣，又稱 b1 b 行向量. 只有一列的矩陣 B = 2 稱為列矩陣或列向量. b n 2. 零矩陣： m n 個元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作O .3. 三角矩陣：主對角線下方元素全為 0 的 n 階矩陣稱為上三角矩陣，主對角線上方元素全為 0 的 n 階矩陣稱為上三角矩陣，上、下三角矩陣合稱為三角矩陣. 形狀分別如下： a11a1n a11a1222aaaa2n ,2122aaaann n1nn n2上（下）三角矩陣具有如下性質(zhì)： 如果 A, B 為同型的三角矩陣，則kA, A + B, AB 仍為三角矩陣； 如果 A 為上（下）三角矩陣，則 AT 為下（上）三角矩陣；=

10、 a11a22ann .A4. 對角矩陣：主對角線上的元素是任意常數(shù)，其余元素都為 0 的n 階矩陣，稱 為n 階對角矩陣(簡稱對角陣)，記作 ，即 a1a = ，2an , an ) .或記作diag(a1, a2 ,對角矩陣有如下性質(zhì)：5 / 29醒腦提問：不同型的零矩陣是否相等？ 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira 若 A, B 為同階對角矩陣，則kA, A + B, AB 仍為同階對角矩陣； 若 A 為對角矩陣，則 AT = A ； = a1a2 若 A 為對角矩陣，則Aan .5. 單位矩陣：主對角線上的元素都為 1 的n 階對角矩陣,，稱為n 階單位矩陣 ( 簡 稱 單 位 陣

11、) ， 記 作 I 或 E . 單 位 矩 陣 的 作 用 類 似 常 數(shù) 1 ， 如 E A= AE = A, A0 = E 等.m mnmn nmn6. 數(shù)量矩陣：若對角矩陣主對角線上的元素相等，則稱為數(shù)量矩陣.數(shù)量矩陣有如下性質(zhì)： 如果 A, B 為同階數(shù)量矩陣，則kA, A + B, AB 仍為同階的數(shù)量矩陣； AT = A ； A = aE （ a 為 A 的主對角元）； AB = BA = aB （ A 為數(shù)量矩陣， B 為同階方陣）；= an .A7. 對稱矩陣：設(shè) A = (aij ) 是一個n 階矩陣，如果aij = aji (i, j = 1, 2,., n) ，即 AT=

12、 A，則稱 A 為對稱矩陣.同階對稱矩陣 A, B 有如下性質(zhì)： kA, A + B 仍為對稱矩陣； 若 AB = BA ，則 AB 也為對稱矩陣； 對任意矩陣C, CT C 及CC T 均為對稱矩陣.設(shè)列矩陣 X = ( x , x)T 滿足 X T X = 1 ， E 為 n 階單位矩陣，【例1】, x12nH = E - 2XX T ,證明 H 是對稱矩陣，且 HH T = E6 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira8. 反對稱矩陣：設(shè) A = (aij ) 是一個n 階矩陣，如果aij = -aji (i, j = 1, 2,., n) ，即 AT= -A ，則稱 A 為反對

13、稱矩陣.反對稱矩陣有如下性質(zhì)：反對稱矩陣的主對角元aii 全為零； = 0；A對于奇數(shù)階的反對稱矩陣 A ，有 A, B 為同階反對稱矩陣，則kA, A + B 仍為反對稱矩陣； 若 AB = -BA ，則 AB 也為反對稱矩陣； 任意一個n 階矩陣都可表示為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和.-2 0103 設(shè) A = 2-1A .【例2】，求 -30 7 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira考點：方陣的冪和多項式1. 矩陣可交換 定義： A, B 為同階方陣，若有 AB = BA ，則稱矩陣 A 與 B 可交換A, B 可交換，即有以下等價命題成立：AB = BA ( A B)2

14、=A2 2AB+B2 (A + B)(A - B) = A2 - B2n ( A +B)n =C ABkn-kknk =02. 方陣的冪 設(shè) A 是n 階矩陣，定義 Ak = AAk個AA ，稱 Ak 為 A 的k 次冪. 特別地，若存在整數(shù) m，使 Am = O ，稱 A 為冪零矩陣. 規(guī)定 A0 = E= Am+n= An Am ; ( Am )n = ( A)mn （ m, n 為正整數(shù)）.運算規(guī)律： Am An注: 只有方陣才有冪； 顯然，方陣的冪是可交換的.3. 方陣的多項式 定義：設(shè) x 的k 次多項式 f (x) = a xk + axk -1 + a x + a ，A 是n 階

15、矩陣，稱k -1k10f ( A) = a Ak + aAk -1 + a A + a E ， kk -110 n為矩陣 A 的一個k 次多項式性質(zhì)： 1） 矩陣 A 的兩個多項式 f ( A) 和j( A) 總是可交換的.（因為 Ak , Al , E 都可交換）2） 矩陣 A 的多項式可以像數(shù)的多項式一樣相乘或因式分解. 例如 A2 + 2 A - 3E = ( A + 3E)( A - E) ， ( A + E)(E - 2A)= - 2A2 - A + E 等.8 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira11010設(shè) A = 00 ，求 An【例1】01 04 200【例2】設(shè)

16、A = 03 ,求矩陣 A2 , A3 , A4 . 00 1 已知矩陣 A = PQ ，其中 P = 2 ， Q = (2, -1, 2) ，求矩陣 A, A2 , A100 .【例3】 1 9 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira考點：逆矩陣和伴隨矩陣 1. 逆矩陣的定義： 設(shè) A 是 n 階矩陣，如果存在 n 階矩陣 B，使得AB = BA = E,則稱 A 為可逆矩陣(簡稱 A 可逆)，記為 A-1 .注： 1） 可逆矩陣一定都是方陣； 2） 設(shè) A 是 n 階矩陣，若存在 n 階矩陣 B，使得 AB= E，則 BA=E. 即只要有AB=E 或 BA=E，即可得出 A, B

17、互為逆矩陣的結(jié)論， A-1 = B, B-1 = A .3） 單位矩陣的逆矩陣是它本身.【例1】 設(shè)n 階方陣 A, B,C 均滿足 ABC = E ，則必有（）(A) ACB = E(B)CBA = E(C) BAC = E(D) BCA= EA2 + B2 + C 2 等于(D) O設(shè) A, B, C 均為n 階方陣，且 AB = BC = CA = E ，則【例2】(A) 3E(B) 2E(C) E設(shè) A 是 n 階方陣，且( A + E)2 = O ，證明 A + 2E 可逆并求其逆矩陣.【例3】10 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira【例4】(2005)設(shè) A, B, C

18、 均為n 階矩陣， E 為n 階單位矩陣，若 B = E + AB,C = A + CA ，則 B - C 為 .2. 逆矩陣的性質(zhì)：1）若 A 可逆，則 A-1 唯一；1A 0 ，此時 A-1 =A* ；2）A 可逆的充要條件是A3）若 A 可逆，則 AT ， A-1 均可逆，且有( AT )-1 = ( A-1 )T , ( A-1 )-1 = A ； 4）若 A 可逆，且k 0 ，則(kA)-1 = 1 A-1 ； k5）設(shè) A, B 為同階可逆矩陣，則 AB 也可逆，且( AB)-1 = B-1 A-1 .推廣：（A AA）-1 =A -1 A-1A -1 A -1 ； A-k( Ak

19、 )-1 = ( A-1 )kss-11 2s21A -1 ；A-1=6）7）如果 A 是可逆矩陣，則 A* 也可逆，且( A* )-1 = A= ( A-1 )* .A11 / 29醒腦提問：若 A, B 為同階可逆矩陣，則 A + B 一定可逆嗎？若 A, B, A + B 為同階可逆矩陣，則一定有( A + B)-1 = A-1 + B-1 嗎？若不成立，試表示真正的( A + B)-1 ？ 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira3. 伴隨矩陣的定義： a11a1222a1n aaa2n 的行列式為方陣 A = 21設(shè) AA 中a 的代數(shù)式，定義 ijij aaa n1nn n 2 A11

20、A2122An1 AAAn 2 ()A* = T12= Aijnn AAA 1n為方陣 A 的伴隨矩陣，記作 A* .nn 2n4. 伴隨矩陣的性質(zhì)（“一招通關(guān)”）：1) 核心公式 AA* = A* A = A E ；A*1AA A-1 ， A =， (A* )=-1-1若 A 可逆，則 A* =AAA n-1A*=(n 2)2)3) ( A* )* =A n-2 A(n 2)4) A 可逆， ( A* )-1 = ( A-1 )* , ( AT )* = ( A* )T5) ( AB)* = B* A* （ A, B 均為n 階方陣）6) (kA)* = kn-1 A* （ k 為數(shù)， A

21、為n 階方陣）再思考：為什么將 A* 定義為轉(zhuǎn)置 a11a13 A11A31 a1222A2122AA* = a AaaAA23 1232 21 a AaaAA 3133 1333 3223 a11 A11 + a12 A12 + a13 A13a11 A21 + a12 A22 + a13 A23a11 A31 + a12 A32 + a13 A33 = a A + a A + a Aa A + a A + a Aa A + a A + a A21 3122 3223 33 21 1122 1223 1321 2122 2223 23 aA + a A + a Aa A + a A + a

22、Aa A + a A + a A 31 1132 1233 1331 3132 3233 33 31 2132 2233 2312 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira00 10 A000= =A 010 =A00A E 01 A 00 2021【例5】設(shè) A = 1()-1*3 ， 求 A 32 5. 利用伴隨矩陣求逆矩陣（低階數(shù)值型矩陣求逆）：A*A公式： A=-1【例6】 求下列矩陣的逆 1224312 4 （2） B = 21 ；（1） A = ； 3 33l1 l1（3） = (l； （4） C = ll(l 0) 0).2i2i ll3 313 / 29 線性代數(shù)全考點精

23、講考研數(shù)學(xué) Kira考點：方陣的行列式1. 方陣行列式的運算律l A= ln=AT=1)A ；2)A ；3)ABAB；A -1 ；A n-1= A k ；AkA-1=A*=4)5)6)；注：1）一般地， A B A B；2）若 A = O ，則 A= 0 ，但 A= 0 推不出 A = O .2 1設(shè) A 為三階方陣，且 A = 4 ，則 2 A = .【例1】）【例2】設(shè) A, B 為n 階方陣，則下列結(jié)論成立的是（(A) AB O A O 且 B O ；A =0 A = O ；(B)AB =0 A=E A =1 .(C)(D)A =O 或B =O ； b a【例3】設(shè) 3 階方陣 A =

24、3g , B = g ，其中, , , 為 3 維行向量，且已2 2 23 2g g 3 3 = 24,= 3 ，求A -B .知行列式AB14 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira= 3 ， A* 為 A 的伴隨矩陣，求：【例4】設(shè) A 為 5 階方陣，且AA-1AATA*（1）；（2）；（3）；（5） ( A* )*（4） 2A-1 - A*.； 15 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira考點：分塊矩陣及其運算1. 分塊矩陣的定義： 將矩陣 A 用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為 A 的子塊， 以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣 2. 分塊矩陣的運

25、算： 分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則類似.1）加法：設(shè)兩個矩陣行數(shù)、列數(shù)相同，采用相同的分塊法，有A + BA2 + B2 A1ABB2+12=11 A B A+ BA + BAB 34 34 3344 2）數(shù)乘：設(shè)有分塊矩陣和常數(shù)k ，有 k A1AkAkA2 2=1 AA kAkA 34 34 3）乘法：設(shè)兩個分塊矩陣的子塊對應(yīng)的列數(shù)和行數(shù)符合矩陣乘法的要求，則Y = AX + BZAY + BW AB X CD ZW CX + DZCY + DW 4）轉(zhuǎn)置：T AT AAAATAT11121k1121m1 AAAATATATm2 2k = 21221222 AAATATATA m

26、1mk 1kmk m22k5）分塊矩陣的逆矩陣：D -1O -1= B B-1-B-1DC -1 BB-1O= ， OC DC C -1-C DBC-1-1-1O6）分塊（副）對角矩陣的逆矩陣（假設(shè)每個子塊都可逆）:-1 A A -111A -1A2= ,2-1AAn n16 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) KiraA -1A -1 1nA2= .A -12A -1 An17）分塊對角矩陣的冪：n A A n11A2A2n= AnAn n注： 分塊副對角矩陣的冪無此規(guī)律.8）拉普拉斯公式：A*OBAO*B=AB ,AB，OA*BAO= (-1)mn= (-1)mnAB ,AB，B A1A

27、若 ,2= 0(i = 1,2,AAAA,A, k)（設(shè) A 為m 階方陣，12kiAk B 為n 階方陣， Ai 為方陣， i = 1, 2, k ）【例1】設(shè)G = AO ，其中 A, B 均是n 階可逆矩陣，證明矩陣G 可逆，并 CB 求其逆17 / 29醒腦提問：設(shè)G = AB 為k (k 3) 分塊矩陣，且 G 0 ，則一般是否有下列等 CD 式成立？ G = AD - BC； G* = D-B ； G-1 = 1 D-B -CA G -CA 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira300【例2】A = 140 ,則( A - 2E )-1 = .003O *B A【例3】設(shè) A*, B

28、* 分別為n 階可逆矩陣，A, B 對應(yīng)的伴隨矩陣，C* = O= . 18 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira考點：矩陣的初等變換、矩陣等價 1. 引入：消元法解線性方程組（方程組的同解變換） 2. 初等變換的定義： 對矩陣施行以下三種變換稱為矩陣的初等變換 (1) 交換矩陣的兩行（列），即ri rj 或ci cj ；(2)以一個非零的數(shù)k 乘矩陣的某一行（列），即kri 或kci ， k 0 ； (3)將矩陣的某一行（列）乘以常數(shù)k 加到另一行（或列），即ri + krj 或ci + kcj .3. 初等矩陣： 1） 定義：對單位矩陣 E 作一次初等(行或列)變換所得的矩陣.2

29、） 三種初等矩陣（對應(yīng)三種初等變換）： E(i, j): 交換 E 的 i, j 兩行(或列)所得到的矩陣.E(i(c): 用非 0 數(shù) c 乘 E 的第 i 行(或列)所得到的矩陣.E(i,j (c): 把 E 的第 j 行的 c 倍加到第 i 行上(或把第 i 列的 c 倍加到第 j 列上)所得到的矩陣. 010 100 10100 E (1,2) = 100， E (3(2) =00 ， E (3,1(-1) = 00 10例如: 01 02 -11 03）定理 對矩陣 A 作一次初等行(列)變換，相當(dāng)于用一個相應(yīng)的初等矩陣 P 左(右)乘 A .19 / 29線性方程組增廣矩陣4x1

30、+ 8x2 - 4x3 = 6 (1)x - x + 2x = 2 (2)123(1)(2) x1 - x2 + 2x3 = 2(1)4x1 + 8x2 - 4x3 = 6 (2)(2)2 x1 - x2 + 2x3 = 2(1)2x1 + 4x2 - 2x3 = 3 (2)(2)-2(1)0 x1 - x2 + 2x3 = 2(1)+ 6x - 6x = -1 (2)23 48-46 1-122 r1 r2 1-122 48-46 r2 2 1-122 24-23 r2 -2r1 1-122 06-6-1 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira10102580 12580103例如： 計算 -

31、40 46 =1 79 03 10 1 46 00 = 79 03 4）結(jié)論 初等矩陣均可逆，且其逆是同類型的初等矩陣，即 1 ( ( )(i, j ) = E (i, j ),(i, j(k ) = E (i, j(-k )-1E -1-1i k= E i E,EkE (i (k )E (i, j ) = -1,E (i, j(k)= 1 = k, 【例1】設(shè) A 為 3 階矩陣，將 A 的第 2 列加到第 1 列得到矩陣 B，再交換 B 10100 100 的第2 行與第3 行得到單位陣E. 記 P = 10 ，P = 001 ，則A=（）12 01 00 1（B） P -1P（D） P

32、P -1（A） PP（C） P P1 2122 12 1【例2】設(shè) A 為n ( n 2 )階可逆矩陣，交換 A 的第 1 行與第 2 行得矩陣 B ,A* ， B* 分別為 A , B 的伴隨矩陣，則()(A) 交換 A* 的第 1 列與第 2 列得 B* .(B)交換 A* 的第 1 行與第 2 行得 B* .(C) 交換 A* 的第 1 列與第 2 列得-B*(D)交換 A* 的第 1 行與第 2 行得-B* .20 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira4. 幾種初等變換下的特殊矩陣： 1）行階梯形矩陣 定義 非零矩陣若滿足下列條件： 所有零行在非零行的下面； 非零行的首非零元

33、所在列在上一行（如果存在的話）的首非零元所在列的右面， 則稱此矩陣為行階梯形矩陣.-1 123000-3 005100 07 0例如2 00 2）行最簡形矩陣 定義 行階梯形矩陣若還滿足下列條件：各非零行的首非零元為 1； 首非零元所在列的其他元均為 0， 則稱此行階梯形矩陣為行最簡形矩陣.-1 200 1010074000 00 0例如1 00 3）矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形特點是： 左上角是一個單位陣； 其余行列（如果有的話）元素全為 0 10100001000 00 0 0例如00 00 04）定理 任一矩陣 Amn 總可經(jīng)過初等行變換化為行階梯形矩陣，再經(jīng)過初等行變 換化為行最簡形矩陣，最后通過初等

34、列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形 O F = Er. OO mn21 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira-1 1-66-1-2 2-9214311-2 72449【例3】設(shè)矩陣 A = ，試將 A 通過初等行變換：（1）化為行階梯形矩陣；（2）化為行最簡形矩陣；（3）寫出 A 的標(biāo)準(zhǔn)形.5. 矩陣等價的定義： 矩陣 Amn 經(jīng)有限次初等變換化為 B ，即存在一系列m 階初等陣 P1, P2, Pk 和一系列n 階初等陣Q1 ,Q2 ,Ql 使Pk AQ1Q2Q1 = B ， P1P2則稱矩陣 A 與 B 等價，記作 A B .注：如果矩陣 Amn 經(jīng)有限次初等行變換化為 B ，則稱矩陣 A 與 B

35、 行等價；如果 矩陣 Amn 經(jīng)有限次初等列變換化為 B ，則稱矩陣 A 與 B 列等價.6. 矩陣等價的等價命題： 1） A 經(jīng)過有限次初等變換變成 B ；P1AQ1Qt = B, Ps,Q1,2）存在有限個初等陣 P1,Qt 使得 Ps3）存在可逆陣 P, Q ，使得 PAQ = B推論： 1） 若 A 可逆，則 A 與 E 等價； 2） 可逆矩陣可經(jīng)過有限次初等變換化為單位矩陣； 3） 可逆矩陣可以表示為有限個初等矩陣的乘積，即若矩陣 B 可逆，則存在有限個初等陣 P1, Ps ，使得 B = P1Ps22 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira7. 矩陣等價的性質(zhì)： 1） 反身

36、性： A A2） 對稱性：若 A B ，則 B A3） 傳遞性：若 A B ， B C ，則 A C .8. 矩陣等價的充要條件： 若矩陣 A 與 B 同型，則 A 與 B 等價 r( A) = r(B) ；23 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira考點：利用初等變換求逆矩陣 1. 利用初等變換求逆矩陣(A E) 初等行變換(E A-1) 或 A 初等列變換E E -1A 01-1 23【例1】求矩陣 A = 10 的逆.-112. 利用初等變換解矩陣方程 矩陣不能規(guī)定除法，乘法的逆運算是解矩陣方程（含有未知矩陣的等式）：(I) AX=B.(II) XA=B.這里假定 A 是行列式不

37、為 0 的 n 階矩陣（即 A 可逆），在此條件下，這兩個方程 的解都是存在并且唯一的，其中矩陣方程(I) 的解為 X = A-1B ，(II) 的解為 X = BA-1 . 即有 ( A, B) 初等行變換(E,X) 42123設(shè) AX = A + 2X ，其中 A = 10 ，求 X【例2】 -1324 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira考點：矩陣的秩1. 矩陣子式的概念：在矩陣 A中任取k 行和k 列，位于這些行列交叉處的k 2 個元素，不改變它們在mnAmn 中所處的位置次序而得到的k 階行列式，稱為矩陣 Amn 的k 階子式.注:1)2)矩陣 A 的任意一個元素都是 A

38、的一個一階子式.n 階方陣 A 的唯一n 階子式是A .2.矩陣的秩的概念：定義 1 矩陣 A 的所有非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣 A 的秩. 記作r( A) .定義 2 設(shè)在矩陣 A 中有一個不為 0 的 r 階子式，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全為0 ，則數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩.規(guī)定 零矩陣的秩等于 0，故有 A = 0 r( A) = 0 .易知 1）矩陣 A 中有一個 s 階子式不為 0 r( A) s ；2）矩陣 A 中所有 t 階子式全為 0 r( A) t .3. 求數(shù)量型矩陣的秩： 定理 初等變換不改變矩陣的秩方法 1）定義法 最高階子式法 2）初等變換法 可通過初等行變換化矩陣為行階梯形，非零行的行數(shù)即為 矩陣的秩.【例1】 求下列矩陣的秩124035015 （1） A = 006 ； 07 -125 / 29 線性代數(shù)全考點精講考研數(shù)學(xué) Kira 12 020（2） B = 0