非線性物理2-2.ppt

1、第二章 分岔與奇怪吸引子,第三節(jié) 流體不穩(wěn)定性與洛倫茲方程,1.流體中的不穩(wěn)定性 2.洛倫茲方程解的分岔,1900年, 法國科學(xué)家貝納德(E.Benard)做了一個(gè)著名的對流實(shí)驗(yàn).,1.流體中的不穩(wěn)定性,在一水平容器中放一薄層液體，從底部徐徐均勻地加熱，開始液體沒有任何宏觀的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)上下溫差達(dá)到一定的程度，液體中突然出現(xiàn)規(guī)則的六邊形對流圖案。照片中每個(gè)小六角形中心較暗處液塊向上浮，邊緣較暗處液塊向下沉。 當(dāng)上下溫差加大時(shí)，為什么對流不積微漸著，而是突然從無到有地產(chǎn)生?, 貝納德對流,當(dāng)上下溫差加大時(shí)，對流突然從無到有產(chǎn)生。 貝納德圖案是對流與抑止因素(黏性和熱擴(kuò)散)競爭的結(jié)果。,這是現(xiàn)代用硅油

2、做實(shí)驗(yàn)拍攝的照片。,貝納德對流實(shí)驗(yàn),理想裝置：兩塊平行平板中間充滿液體，y方向無限伸展，下底加熱。 現(xiàn)象：實(shí)驗(yàn)時(shí)，下面板均勻緩慢地加熱，上下平板之間出現(xiàn)溫差。平板間的液體開始是靜止的，當(dāng)加熱到一定程度時(shí)，液體開始翻動(dòng)，出現(xiàn)對流現(xiàn)象。發(fā)生翻動(dòng)對流時(shí)會(huì)形成一種象蛋卷一樣很規(guī)則的圖形，溫差進(jìn)一步增加時(shí)，規(guī)則的對流圖形將受到破壞，進(jìn)入到湍流狀態(tài)。 分析：隨溫度上升，流體經(jīng)歷由穩(wěn)定到不穩(wěn)定再到新的穩(wěn)定態(tài)的分岔過程。,1.流體中的不穩(wěn)定性,瑞利數(shù),1916年，英國學(xué)者瑞利對貝納德實(shí)驗(yàn)作了解釋。認(rèn)為是浮力和粘滯力間的關(guān)系決定液體向上運(yùn)動(dòng)。由此定義了一個(gè)無量綱參數(shù)R (瑞利數(shù)) ： g-為重力加速度，a-為熱

3、脹系數(shù)，d-兩塊板間距，h-粘滯系數(shù)，DT-擴(kuò)散系數(shù)。,瑞利數(shù)R與溫度差成正比，溫度差加大時(shí)R值增加，有一臨界值RC，當(dāng)R 超過RC時(shí)，流體出現(xiàn)翻動(dòng)與對流，稱為貝納德不穩(wěn)定性。臨界值RC為： 其中k是 x 方向環(huán)流波數(shù) 。,1.流體中的不穩(wěn)定性,倍周期分岔的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn),從分岔觀點(diǎn)看，平板間液體隨著溫差升高出現(xiàn)的從靜止到對流也是一種分岔現(xiàn)象。帶著這樣觀點(diǎn)利布沙伯(Libchaber-低溫物理學(xué)家)于1980年用液氦重做了貝納德對流實(shí)驗(yàn)。 實(shí)驗(yàn)裝置：一個(gè)很小的不銹鋼液氦的容器，其尺寸為3mm1.5mm1.25mm。用高純度銅做容器的底板，容器蓋是用蘭寶石做的，在蘭寶石上嵌入兩個(gè)精巧的溫度計(jì)，用以監(jiān)視

4、兩點(diǎn)的溫度。,容器中的液氦對溫度非常敏感，上下液面千分之一的溫差出現(xiàn)對流。對流發(fā)生時(shí)液氦在中心升起，往兩側(cè)分流沿腔壁下降形成兩個(gè)對流圈。,1.流體中的不穩(wěn)定性,利布沙伯通過對液氦對流信息的分析,發(fā)現(xiàn)開始時(shí)只有對流翻動(dòng)頻率為 f 的基波峰，相應(yīng)兩個(gè)對流圈翻動(dòng)。隨著瑞利數(shù)增大，在功率譜出現(xiàn)基波頻率一半的倍周期(f/2)諧波，接著又出現(xiàn) f/4、f/8等次諧波。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯然是倍周期分岔現(xiàn)象。,倍周期分岔的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn),1.流體中的不穩(wěn)定性,倍周期分岔普遍性,利布沙伯的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明,倍周期分岔不僅在平方映射中存在，而且在真實(shí)的物理學(xué)系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)。 后來,人們相繼在 LCR 振蕩、激光振蕩、化學(xué)反應(yīng)等許多

5、過程中都發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象，這表明倍周期分岔是存在于許多動(dòng)力學(xué)過程中的一種普遍現(xiàn)象。,1.流體中的不穩(wěn)定性,洛倫茲的設(shè)想,2.洛倫茲方程,洛倫茲的設(shè)想,60年代初，美國數(shù)學(xué)家洛倫茲(E. Lorenz)在氣象部門工作。他把將大氣對流與貝納德液體對流聯(lián)系起來，想用數(shù)值方法進(jìn)行長期天氣預(yù)報(bào)。,2.洛倫茲方程,洛倫茲方程,洛倫茲從貝納德對流出發(fā)，利用流體力學(xué)中的納維葉-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、熱傳導(dǎo)方程和連續(xù)性方程，推導(dǎo)出描述大氣對流的微分方程，即著名的洛倫茲方程。,x -對流的翻動(dòng)速率; y -比例于上流與下流液體之間的溫差; z-是垂直方向的溫度梯度; s -無量綱因子,

6、稱為 Prandtl 數(shù); b-速度阻尼常數(shù); r -相對瑞利數(shù) r = R/RC,2.洛倫茲方程,洛倫茲方程解的分岔,2.洛倫茲方程,洛倫茲方程有三個(gè)平衡點(diǎn),若r 1，只存在一個(gè)平衡點(diǎn)x=y=z=0。此平衡點(diǎn)是洛倫茲方程的不動(dòng)點(diǎn)，相應(yīng)于貝納爾德實(shí)驗(yàn)中液體的靜止?fàn)顟B(tài)。 洛倫茲方程的平衡點(diǎn)隨瑞利數(shù) r 的增加而發(fā)生分裂，原來穩(wěn)定的平衡點(diǎn)變?yōu)椴黄胶鉅顟B(tài)。,原點(diǎn)的穩(wěn)定性,2.洛倫茲方程,C1與 C2的穩(wěn)定性,當(dāng) r 1, 坐標(biāo)原點(diǎn)為鞍點(diǎn)，兩個(gè)新平衡點(diǎn) C1與 C2是穩(wěn)定的焦點(diǎn)，它們是C1與 C2鄰域螺旋線的吸引點(diǎn)，如圖所示。 C1、C2 坐標(biāo)為： 現(xiàn)說明貝納德實(shí)驗(yàn)形成了穩(wěn)定的定態(tài)對流。,2.洛倫茲方

7、程,當(dāng) r 繼續(xù)增加直到 r =13.962時(shí)，兩個(gè)螺旋線外徑會(huì)接觸合并一起。,r = rc 時(shí)兩個(gè)平衡點(diǎn)C1與 C2發(fā)展成了中心點(diǎn), 其鄰域的相軌線是橢圓. r rc 時(shí), C1與C2成了不穩(wěn)定的焦點(diǎn). 定態(tài)對流失穩(wěn)，是不穩(wěn)定的. 這時(shí)將出現(xiàn)一次新分岔霍夫分岔, 平衡點(diǎn)C1與C2失穩(wěn)發(fā)展成為奇怪吸引子.,2.洛倫茲方程,C1與 C2的穩(wěn)定性,洛倫茲吸引子,r = rc 時(shí)兩個(gè)平衡點(diǎn)C1與 C2發(fā)展成了中心點(diǎn), 其鄰域的相軌線是橢圓. r rc 時(shí)將出現(xiàn)一次新分岔霍夫分岔, 平衡點(diǎn)C1與C2失穩(wěn)發(fā)展成為奇怪吸引子.,第四節(jié) 李雅普諾夫指數(shù)與奇怪吸引子,1. 李雅普諾夫指數(shù) 2. 埃儂映射與埃儂

8、吸引子 3. 洛倫茲吸引子,1.李雅普諾夫指數(shù),奇怪吸引子,吸引子 所謂吸引子是指相軌線經(jīng)過長時(shí)間之后所表現(xiàn)的終極形態(tài).它可能是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)或是周期性軌道;也可能是繼續(xù)不斷變化,沒有明確規(guī)則或次序的有許多回轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的曲線.前者也被稱為平庸吸引子,后者被稱為奇怪吸引子.,1.李雅普諾夫指數(shù),奇怪吸引子,平庸吸引子 能量耗散系統(tǒng)最終收縮到的一種定常狀態(tài)。這是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)在t 時(shí)所呈現(xiàn)的與時(shí)間無關(guān)的定態(tài)，并且不管選取什么樣的初始值其終值的定態(tài)只有一個(gè)，也就是說終值與初始值無關(guān)。這類吸引子也稱平庸吸引子。 如：阻尼單擺有不動(dòng)點(diǎn)吸引子，范德玻耳方程有極限環(huán)吸引子，等等。 奇怪吸引子 相對于平庸吸引子而言，

9、它們的特點(diǎn)之一是終態(tài)值與初始值密切相關(guān)，或者說對初始值具有極端敏感性；初始取值的細(xì)微差別可能會(huì)導(dǎo)致完全不同的結(jié)果，這時(shí)的吸引子毫無周期可言，即所謂混沌。,考察平方映射的兩個(gè)迭代運(yùn)算,取m = 4，并取有一點(diǎn)微小的差別的兩個(gè)初始值 x0 =0.370 與 y0=0.380。運(yùn)算結(jié)果如表所列，經(jīng)過前第四次迭代,兩個(gè)運(yùn)算結(jié)果還沒有顯出太大差別，但是從第五次開始迭代結(jié)果的差別就非常顯著了。,奇怪吸引子,1.李雅普諾夫指數(shù),奇怪吸引子,取m =2.1，并取有較大差別的三個(gè)初始值 x01 =0.08，x02=0.12, x03=0.16。運(yùn)算結(jié)果如左圖，經(jīng)過五次迭代,三個(gè)運(yùn)算結(jié)果趨于一致，045. 取m

10、=3.7，取差別很小兩個(gè)初始值 x01 =0.04，x02=0.05。運(yùn)算結(jié)果如右圖，第二迭代差別就已顯示出來,以后雖在第七次迭代時(shí)很接近，但隨后又快速分離開來。,1.李雅普諾夫指數(shù),兩個(gè)系統(tǒng)： 設(shè)其初始值存在微小誤差 ，經(jīng)過一次迭代以后有： 式中：,李雅普諾夫指數(shù)公式,1.李雅普諾夫指數(shù),由第二次迭代得： 經(jīng)過第 n 次迭代得：,李雅普諾夫指數(shù)公式,1.李雅普諾夫指數(shù),可見，兩個(gè)系統(tǒng)對初始擾動(dòng)的敏感度由導(dǎo)數(shù) 決定，它與初始值 x0 有關(guān)。映射整體對初值敏感性需對全部初始條件平均，要進(jìn)行 n 次迭代：,李雅普諾夫指數(shù)公式,1.李雅普諾夫指數(shù),每次迭代平均分離值為：,兩個(gè)系統(tǒng)如初始存在微小誤差，

11、隨時(shí)間(或迭代)產(chǎn)生分離，分離程度常用李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)來度量,它為幾何平均值的對數(shù)：,李雅普諾夫指數(shù)公式,1.李雅普諾夫指數(shù),式中xn為第 n 次迭代值。取 n，得李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算公式：,利用李雅普諾夫指數(shù)l ，相空間內(nèi)初始時(shí)刻的兩點(diǎn)距離將隨時(shí)間(迭代次數(shù))作指數(shù)分離： 在一維映射中l(wèi) 只有一個(gè)值，而在多維相空間情況下一般就有多個(gè) li ，而且沿相空間的不同方向，其 li (i=1,2,)值一般也不同。,李雅普諾夫指數(shù)應(yīng)用,1.李雅普諾夫指數(shù),經(jīng)過n次迭代,設(shè) 為多維相空間中兩點(diǎn)的初始距離，經(jīng) n 次迭代后兩點(diǎn)的距離為： 式中指數(shù) li 值可正可負(fù)。 表示沿該方向擴(kuò)展， 表

12、示沿該方向收縮。在經(jīng)過一段時(shí)間(數(shù)次迭代)以后，兩個(gè)不同李雅普諾夫指數(shù)值將使相空間中原來的圓演變?yōu)闄E圓。,1.李雅普諾夫指數(shù),李雅普諾夫指數(shù)應(yīng)用,李雅普諾夫指數(shù)應(yīng)用,1.李雅普諾夫指數(shù),穩(wěn)定體系的相軌線趨向于某個(gè)平衡點(diǎn)，如果出現(xiàn)越來越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)的情況，則體系是不穩(wěn)定的。正的李雅普諾夫指數(shù)預(yù)示著系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。 研究表明，系統(tǒng)只要有一個(gè)正值的李雅普諾夫指數(shù)就可出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。因此在判別一個(gè)非線性系統(tǒng)是否存在混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)，只需要檢查它的最大李雅普諾夫指數(shù)是否為正值即可。,吸引子與李雅普諾夫指數(shù),1.李雅普諾夫指數(shù),我們可按 的符號對吸引子的性質(zhì)進(jìn)行分類，對于三維空間，有以下幾種吸引子類型：,1、三個(gè)指

13、數(shù) 、 和 均為負(fù)值，相點(diǎn)收縮到一點(diǎn)，即系統(tǒng)存在不動(dòng)點(diǎn)； 2、三個(gè)指數(shù)中有一個(gè)為零，另外兩個(gè)為負(fù)值，相點(diǎn)收縮在一個(gè)環(huán)上，即極限環(huán)； 3、三個(gè)指數(shù)中有兩個(gè)為零，一個(gè)為負(fù)值，相點(diǎn)收縮在一個(gè)二維的環(huán)面上，這是二維環(huán)面吸引子； 4、三個(gè)指數(shù)中有一個(gè)為正值，此時(shí)系統(tǒng)將出現(xiàn)奇怪吸引子。,吸引子與李雅普諾夫指數(shù),1.李雅普諾夫指數(shù),吸引子與李雅普諾夫指數(shù),吸引子可存在于高維相空間內(nèi)。在這相空間中大于零的李雅普諾夫指數(shù)可能不止一個(gè)，這樣體系的運(yùn)動(dòng)將為更復(fù)雜。人們稱高維相空間中有多個(gè)正值指數(shù)的混沌為超混沌。推廣到高維空間后，由指數(shù) 的值決定的各種類型的吸引子歸納如下：,1.李雅普諾夫指數(shù),平方映射的 l 指數(shù),

14、利用計(jì)算程序可以方便地求得一維映射的。 分析：由圖可見平方映射的指數(shù)隨參數(shù)值變化起伏很大，有一個(gè)臨界值,當(dāng) 時(shí)指數(shù)變化但始終處于負(fù)值。當(dāng) 指數(shù)開始轉(zhuǎn)為正值，就是說平方映射從這里開始由規(guī)則運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為混沌，進(jìn)入到混沌狀態(tài)。 1.00 m 3.00 周期1軌道(不動(dòng)點(diǎn)) 3.00 m 3.4495 周期2軌道 3.4495 m 3.5541 周期4軌道 3.5541 m 3.5644 周期8軌道 3.5644 m 3.5688 周期16軌道,1.李雅普諾夫指數(shù),2. 奇怪吸引子 -埃儂吸引子,埃儂映射,埃儂映射是一個(gè)二維映射。這是天文學(xué)家埃儂(M.Henon)首先計(jì)算的離散型映射,它有兩個(gè)控制參數(shù) m

15、 和 b： 埃儂映射所描述的體系隨參數(shù) b 的取值不同而不同： 當(dāng)b = 1時(shí)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)中保持相平面積不變，描述的是保守系統(tǒng)； 當(dāng)b 1，系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)中相平面面積逐漸縮小，因此描述的是耗散系統(tǒng)。 當(dāng)b = 0時(shí)退化為一維映射： 當(dāng)xn與xn+1的取值0，1時(shí)，則參數(shù) m 的取值0，2。這個(gè)一維映射與平方映射有相同的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。,埃儂吸引子,小方塊是放大20倍后的局部圖形,取參數(shù) m 1.4，b0.3（即 b 1 的耗散體系），進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果顯示在(x,y)相平面上： 開始時(shí)，計(jì)算出的點(diǎn)在平面上隨機(jī)地出現(xiàn)，隨著計(jì)算繼續(xù)，計(jì)算得的點(diǎn)開始顯現(xiàn)成某種圖形，程序運(yùn)行越久圖形中顯現(xiàn)出越多的細(xì)節(jié)，形成如香

16、蕉形狀，具有無窮層次。,2. 奇怪吸引子 -埃儂吸引子,指數(shù) l 隨參數(shù) m 的變化 1. 在 時(shí)始終為負(fù)值； 2. 在 附近由負(fù)值轉(zhuǎn)為正值，并隨 m 增加出現(xiàn)一些規(guī)則運(yùn)動(dòng)的窗口。 3. 當(dāng) 時(shí)軌道變得不再穩(wěn)定，因此曲線也在此終止。 4.在 處計(jì)算得:,埃儂吸引子的 l 指數(shù),b0.3 的最大李氏指數(shù) l 隨 m 的變化曲線,2. 奇怪吸引子 -埃儂吸引子,埃儂吸引子的 l 指數(shù),埃儂映射是二維映射，要用兩個(gè)李氏指數(shù) 描述，上述已計(jì)算出正值指數(shù) ，現(xiàn)在求第二個(gè)負(fù)值指數(shù) 。 對于二維映射，迭代使相空間圓變?yōu)闄E圓。 設(shè)初始圓直徑為 d0 ， 橢圓長軸為 ，短軸 ， 面積 。 迭代產(chǎn)生面積的變化為: 由此有,2. 奇怪吸引子 -埃儂吸引子,洛倫茲方程的解,r 1, 坐標(biāo)原點(diǎn)為鞍點(diǎn)，兩個(gè)新平衡點(diǎn) C1與C2是穩(wěn)定的焦點(diǎn)。rrc=24.7368） C1與C2成了不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。,2.奇怪吸引子-洛倫茲吸引子,洛倫茲吸引子,在洛倫茲方程中，取參數(shù) s =10，b = 8/3，隨參數(shù) r 增加，出現(xiàn)一次新分岔霍夫分岔，平衡點(diǎn) C1 與 C2 將失穩(wěn)發(fā)展成為