高一數(shù)學教案：2.9.3函數(shù)應用舉例3

1、 題 ： 2.9.3 函數(shù)應用舉例3教學目的：1使學生適 各學科的橫向 系.2.能 建立一些物理 的數(shù)學模型.3.培養(yǎng)學生分析 、解決 的能力.教學重點： 數(shù)學建模的方法教學 點： 如何把 抽象 數(shù)學 .授 型： 新授 安排： 1 課時教具：多媒體、 物投影 教學 程 ：一、復 引入：上一 ，我 主要學 了有關增 率的數(shù)學模型， 種模型在有關 量、 、糧食、人口等等增 常被用到 . 一 ，我 學 有關物理 的數(shù)學模型二、新授內(nèi)容：例 1（ 本第86頁例 2） 海拔 x m 的大氣 是y pa，y 與 x 之 的函數(shù)關系式是y cekx ，其中c，k 常量，已知某地某天在海平面的大氣 1.01

2、10 5pa， 1000 m 高空的大氣 0.90105pa，求： 600 m 高空的大氣 （ 果保留3 個有效數(shù)字）解 ： 將 x =0,y= 1.01 10 5 ； x= 1000, y =0.90105 ，代 入y cekx 得 ：1.01105cek 0c1.01105(1)0.90105cek 10000.90105ce1000k(2)將 (1) 代入 (2) 得：0.90 1051.01105 e1000kk1ln 0.9010001.01 算得： k1.1510 4 y1.01 105e 1.15 104 x將 x = 600代入 ,得： y1.01 105e 1.15 10 4

3、600 算得： y1.01105e 1.15 10 4600 0.943 105(pa)答：在 600 m 高空的大氣 0.943 105pa. 明：（ 1）此 利用數(shù)學模型解決物理 ；（2）需由已知條件先確定函數(shù)式；（3）此 已知自 量的 ，求 的函數(shù) 的數(shù)學 ；（4）此 要求學生能借助 算器 行比 復 的運算 .例 2 在 量某物理量的 程中，因 器和 察的 差，使得n 次 量分 得到a1 , a2 , ,a n 共 n 個數(shù)據(jù)， 我 定所 量的物理量的“最佳近似 ” a 是 一個量：與其他近似 第 1頁共 4頁比 a 與各數(shù)據(jù)差的平方和最小.依次 定，從a1 , a2 , , an 推出

4、的 a=_.(1994 年全國高考 )分析：此 排除物理因素的干 ，抓準 中的數(shù)量關系，將 化 函數(shù)求最 .解：由 意可知，所求a 使 y=(a- a1 ) 2 +(a- a2 ) 2 + +(a- an ) 2 最小由于 y=na 2-2( a1 + a2 + an )a+( a12+ a22+ + an2)若把 a 看作自 量， y 是關于 a 的二次函數(shù)，于是 化 求二次函數(shù)的最小 .因 n 0,二次函數(shù) f(a) 象開口方向向上 .當 a= 1 ( a1 + a2 + + an )， y 有最小 .n所以 a= 1( a1 + a2 + + an )即 所求 .n 明： 此 在高考中是

5、具有 向意 的 ，它以物理知 和 數(shù)學知 基 ，并以物理學科中的 背景， 出一個新的定 ， 要求學生 懂 目， 抽象其中的數(shù)量關系，將文字 言 化 符號 言，即y=(a- a1 ) 2 +(a- a2 ) 2 + +(a- an ) 2 ，然后運用函數(shù)的思想、方法去解決 ，解 關 是將函數(shù)式化成以 a 自 量的二次函數(shù)形式， 是函數(shù)思想在解決 中的 用.例 3 某種放射性元素的原子數(shù)n 隨 t 的 化 律是 n= n 0 e t ,其中 n 0，是正的常數(shù) .（1） 明函數(shù)是增函數(shù) 是減函數(shù)；（2）把 t 表示成原子數(shù)n 0n 的函數(shù)； （ 3）求當 n=2 ， t 的 .解：（ 1）由于n

6、00, ，函數(shù)n=n 0et是屬于指數(shù)函數(shù)y=ex 型的，所以它是減0函數(shù)，即原子數(shù)n 的 隨 t 的增大而減少（2）將 n= n 0e t 寫成 e t=nn 0根據(jù) 數(shù)的定 有 - t=lnnn 0所以 t=-1(lnn-ln n 0 )=1(ln n 0 -lnn)(3) 把 n=n 0 代入 t=1(ln n 0 -lnn) 得 t=1(lnn 0 -lnn 0 )1212=(ln n 0 -ln n 0 +ln2)=ln2.三、 ：1如 ，已知 o 的半徑 r，由直徑 ab 的端點 b 作 的切 ，從 周上任一點p 引 切 的垂 ，垂足 m ， ap 設 ap=x第 2頁共 4頁寫出

7、 ap+2pm 關于 x 的函數(shù)關系式求此函數(shù)的最值解：過 p 作 pdab 于 d，連 pb設 ad=a 則 x 22r ax22rx 2apm2r2r f (x) ap 2pmx2x 4r (0 x 2r)r f (x)1 ( xr ) 217 rr24dcp當 xr 時 f ( x) max17 rb24adoa當 x 2r 時 f ( x)min 2r2距離船只 a 的正北方向 100 海里處有一船只b，以每小時20 海里的速度，沿北偏西 60角的方向行駛， a 船只以每小時15 海里的速度向正北方向行駛，兩船同時出發(fā)，問幾小時后兩船相 距最近？解：設 t 小時后 a 行駛到點 c，

8、b 行駛到點 d ，則 bd=20bc=100-15t過 d 作 debc 于 ede=bdsin60=103 tbe=bdcos60 =10tec=bc+be=100-5tcd= de 2ce 210 3t21005t 2=t2t100003251000t= 20 時 cd 最小，最小值為2003 ，即兩船行駛20 小時相距最近1313133一根均勻的輕質(zhì)彈簧，已知在 600n 的拉力范圍內(nèi)， 其長度與所受拉力成一次函數(shù)關系，現(xiàn)測得當它在100n 的拉力作用下，長度為0.55m,在 300n 拉力作用下長度為0.65，那么彈簧在不受拉力作用時，其自然長度是多少？解：設拉力是x n (0 x

9、600) 時，彈簧的長度為 y m設： y = k x + b 由題設：0.55100kbk0.00050.65300kbb0.50所求函數(shù)關系是： y = 0.0005 x + 0.50當 x = 0 時， y = 0.50 ,即不受拉力作用時，彈簧自然長度為0.50 m四、小結 ：通過本節(jié)學習，進一步熟悉數(shù)學建模的方法，能運用數(shù)學模型解決一定的關于物理的實際問題，提高解決數(shù)學應用題的應變能力.五、課后作業(yè) ：要使火車安全行駛，按規(guī)定， 鐵道轉彎處的圓弧半徑不允許小于600m 如果某段鐵路兩端相距 156m，弧所對的圓心角小于180o,試確定圓弧弓形的高所允許的取值范圍分析：以弓形的高 x 為自變量，半徑 r 為孫函數(shù)，求出 r 關于 x 的函數(shù)關系式解：如圖，設圓弧的半徑oa=ob=rm,圓弧弓形的高 cd=xm,在 rt bod中， db=78， od=r-x第 3頁