高三數(shù)學(xué)教案函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(1)

1、課題： 3 3 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(1)教學(xué)目的：1. 理解兩個(gè)函數(shù)的和 ( 或差 ) 的導(dǎo)數(shù)法則，學(xué)會(huì)用法則求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.理解兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)法則，學(xué)會(huì)用法則求乘積形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)： 用定義推導(dǎo)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則教學(xué)難點(diǎn)： 函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)授課類型： 新授課課時(shí)安排： 1 課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1.導(dǎo)數(shù)的定義： 設(shè)函數(shù) yf ( x) 在 xx0 處附近有定義，如果x0 時(shí)，y 與x 的比y（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即y 無限趨近于某個(gè)常數(shù)，xx我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)y f (x) 在 xx0 處的 導(dǎo)數(shù) ，記作

2、y/x x0，即f / ( x0 )limf (x0x)f (x0 )x 0x2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 是曲線 y f (x) 上點(diǎn)（ x0 , f ( x0 ) ）處的切線的斜率因此，如果 yf ( x) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo)，則曲線 yf (x) 在點(diǎn)（ x0 , f (x0 ) ）處的切線方程為 yf (x0 ) f / ( x0 )( x x0 )3. 導(dǎo)函數(shù) ( 導(dǎo)數(shù) ): 如果函數(shù) y f (x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè) x(a,b) ，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f / (x) ，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù) f / (x) ,稱這個(gè)函數(shù) f / (x) 為函數(shù)

3、 yf ( x) 在開區(qū)間內(nèi)的 導(dǎo)函數(shù) ，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù) ，4.可導(dǎo) : 如果函數(shù)yf (x) 在開區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)yf (x) 在開區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo)第 1頁(yè)共 5頁(yè)5. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系： 如果函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)， 那么函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0 處連續(xù)， 反之不成立 . 函數(shù)具有連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件 .6. 求函數(shù) y f (x) 的導(dǎo)數(shù)的一般方法 ：（ 1）求函數(shù)的改變量yf ( xx)f ( x)（ 2）求平均變化率yf ( xx)f ( x)xxy（ 3）取極限，得導(dǎo)數(shù)y / f (x)limx 0x7

4、. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：c0 ； ( x n )nx n 1 ； (sin x)cos x ； (cos x)sin x二、講解新課：法則 1兩個(gè)函數(shù)的和 ( 或差 ) 的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差 )，即(uv)uv證明：令 yf ( x)u(x)v( x) ，yu( xx)v( xx) u( x)v(x) u( xx)u( x)v(xx)v( x)uv ，yuv ，xxxlimylimuvlimuvxxxxlimx 0x 0x 0x 0 x即u(x) ()u ( )v ()v xxx法則 2 兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)

5、數(shù)，即(uv)u vuv證明：令 yf ( x)u(x)v( x) ，則yu( xx) v( xx) - u( x)v(x)u( xx)v(xx) - u( x) v(xx) + u(x)v(xx) -u( x)v( x) ，第 2頁(yè)共 5頁(yè)yu( xx) u( x) v(xx) + u(x) v( xx)v(x)xxx因?yàn)?v( x) 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，所以它在點(diǎn)x處連續(xù)，于是當(dāng)x0時(shí)，v( xx)v(x) ，從而limylimu( xx)u( x)v(xx) +u( x)limxxx 0x 0x 0v( xx)v( x)xu ( x)v( x)u( x)v (x) ，即y(uv)u vuv

6、 說明： (uv)u v ，(uv)uv ；(cu) c ucu 0cu cu 常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積一定可導(dǎo)；兩個(gè)不可導(dǎo)函數(shù)和、差、積不一定不可導(dǎo)三、講解范例：例 1 求 y=x3+sin x 的導(dǎo)數(shù) .解： y =( x3+sin x) =( x3) +(sin x) =3x2+cos x 例 2 求 y=x4x2 x+3 的導(dǎo)數(shù) .解： y =( x4 x2 x+3) =( x4) ( x2) x +3 =4x3 2x 1，例 3 求 y2x33x25x4 的導(dǎo)數(shù)解：y3x26x 5例 4 求 y(2 x23)(3 x2)的導(dǎo)數(shù)解：y( 2

7、x23) (3x2)(2 x23)(3x2)4x(3x 2) (2x 23) 318 x28x 9例 5 y=3x2+xcos x，求導(dǎo)數(shù) y .22解： y =(3 x +xcos x) =(3 x ) +( xcos x) =3 2x+x cos x+x(cos x) =6x+cosx+xsin x例 6 y=5x10sin x 2x cos x9，求 y .解： y =(5 x10sin x 2x cos x 9) =(5 x10sin x) (2x cos x) 9=5( x10) sin x+5x10(sin x) 2(x ) cos x+2x (cos x) 0第 3頁(yè)共 5頁(yè)11

8、=5 10x9sin x+5x10 cosx ( 2 1 x 2 cos x 2 x sin x)2=50x9sin x+5x10cos x 1cos x+2x sin xx=(50 x9+2 x )sin x+(5 x10 1)cos xx四、課堂練習(xí)：1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .(1)y=2 x3+3x2 5x+4解： (2 x3+3x2-5 x+4) =(2 x3) +(3 x2) -(5 x) +4 =2 3x2+32x-5=6 x2+6x-5(2) y=sin x x+1解： y =(sin x x+1) =(sin x) x +1 =cosx 1(3) y=(3 x2+1)(2 x)解：

9、 y =(3 x2+1)(2 x) =(3 x2+1) (2 x)+(3 x2+1)(2 x) 22=3 2x(2 x)+(3 x +1)( 1)= 9x +12x 1(4) y=(1+ x2)cos x解： y =(1+ x2)cos x =(1+ x2) cos x+(1+ x2)(cos x) =2 cosx+(1+x2)( sinx)=2xcosx(1+x2)sinxx2. 填空：(1) (3 x2+1)(4 x2 3) =( )(4x2 3)+(3 x2+1)( )解： (3 x2+1)(4 x2 3) =(3 x2+1) (4 x23)+(3 x2+1)(4 x2 3) =3 2x(4 x2 3)+(3 x2+1)(4 2x)=(6 x)(4 x2 3)+(3 x2+1)(8 x)(2)(x3sinx) =( )x2sin+ 3( )x x解： ( x3sin x) =( x3) sin x+x3(sinx) =(3) x2sin x+x2(cos x)3. 判斷下列求導(dǎo)是否正確，如果不正確，加以改正. (3+ x2)(2 x3) =2x(2 x3)+3 x2 (3+ x2)解：不正確 . (3+ x) 2(2 x3) =(3+ x2) (2 x3) (3 x2)(2 x3) =2