金融工程實(shí)驗(yàn)三

1、金融工程實(shí)驗(yàn)三金融系 阮堅(jiān)CAPM估計(jì)系數(shù)金融系 阮堅(jiān) 馬科維茨的均值方差模型提出了證券的選擇問題，解決了最優(yōu)地持有有效證券組合，即在同等收益水平之下風(fēng)險最小的證券組合 夏普等人在該模型基礎(chǔ)上發(fā)展了它的經(jīng)濟(jì)含義任何證券或證券組合收益率與某個共同因素的關(guān)系，即資產(chǎn)定價模型（CAPM） CAPM實(shí)質(zhì)上要解決的是，假定所有投資者都運(yùn)用馬氏證券組合選擇方法，在有效邊界上尋求有效組合，從而在所有的投資者都厭惡風(fēng)險的情況，最終每個人都投資于一個有效組合。 將如何測定組合中每單個證券的風(fēng)險？ 風(fēng)險與投資者們的預(yù)期和要求的收益率之間是什么關(guān)系？B無差異曲線，根據(jù)個人偏好而不同允許無風(fēng)險借貸情況下的線性有效集風(fēng)

2、險資產(chǎn)的機(jī)會集最優(yōu)風(fēng)險投資組合A最優(yōu)投資組合CAL(capital allocation lines)資本配置線，無風(fēng)險資產(chǎn)和任意風(fēng)險資產(chǎn)的組合資本市場線的圖形E(rp)ME(rM)E（rp） rFACrfO1CpMCML(capital market lines)資本市場線，無風(fēng)險資產(chǎn)和市場組合的組合任何無效組合都將位于資本市場線的下方，位于資本市場線上方的組合意味 著存在套利機(jī)會。(R)r= r+ rM- rfspfspM分離定理以利率r借貸資金的可能性把這一投資過程分成了兩個步驟：1. 第一步，確定市場證券組合m，它落在資本市場線（CML）和風(fēng)險資產(chǎn)的有效集相切的那一點(diǎn)上。這一切點(diǎn)處的證

3、券組合是所有的投資者都期望的風(fēng)險證券組合。2. 第二步，每個投資者都通過借貸資金使他效用傾向最大化。（注意不是收益最大化）第一個步驟對所有的投資者來說都是客觀的和共同的；無需為了確定市場證券組合M而了解每個投資者的獨(dú)特偏好（即了解各自的無差異曲線）。第二個步驟則帶有主觀性，因而我們必需了解每個投資者的偏好；它是由無差異曲線決定的，而無差異曲線又因投資者而異。這種把投資過程劃分成兩個步驟，這被稱為分離定理（separation theorem）或分離特性（separation property）。分離定理的核心在于揭示以下事實(shí)：1、在均衡條件下，每一位投資者只要向風(fēng)險資產(chǎn)投資則必定持有切點(diǎn)組合。

4、2、如果切點(diǎn)組合的構(gòu)造已知，或者有一個切點(diǎn)組合基金，則均衡條件下的投資組合工作大為簡化，投資者只需將資金適當(dāng)分配于無風(fēng)險資產(chǎn)和切點(diǎn)組合即可實(shí)現(xiàn)最佳投資。3、一個投資者的最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)組合是與投資者對風(fēng)險和收益的偏好狀況無關(guān)的。I1E（rp）O1MDI2O2ACOp資本市場線的方程如果M點(diǎn)所代表有風(fēng)險資產(chǎn)組合的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差和 s M ，投資于無風(fēng)險證券的資金比例是1- xM ，rM分別是xM投資于這一有風(fēng)險資產(chǎn)組合的資金比例是。則加上無風(fēng)險證券后的組合的預(yù)期收益率rp和標(biāo)準(zhǔn)差s p分別為o p= xMs Mr= r+ rM- rfspfspM對資本市場線的理解：在市場均衡時有效組合的風(fēng)險和收

5、益將滿足一種簡單的線性關(guān)系，對有效組合而言，風(fēng)險越大，收益越大，并且這時有效組合的總風(fēng)險就等于系統(tǒng)風(fēng)險。有效組合的風(fēng)險補(bǔ)償與該 組合的風(fēng)險成正比例變化， 其比例因子是：它是資本市場線的斜率，也稱為風(fēng)險報(bào)酬率，即風(fēng)險的價格。而且是市場組合的風(fēng)險的價格。 E(rM ) - rF s MCAPM與證券市場線CAPM要討論的是單項(xiàng)風(fēng)險資產(chǎn)在資本市場上的定價問題，即如何確定單個證券的期望回報(bào)和標(biāo)準(zhǔn)差之間的均衡關(guān)系？任何證券或者證券組合i和有效證券組合p之間滿足如下關(guān)系：E(r ) - r= cov(rp , ri ) (E(r) - r) = b(E(r) - r)ifs 2 (r)pfippfp當(dāng)市場

6、達(dá)到均衡時，有風(fēng)險的市場組合即為有效證券組合，從而它和任何證券或者證券組合i也滿足上述關(guān)系：= s iMi其中b被稱為第項(xiàng)資產(chǎn)的系數(shù)。biMs2M這就是經(jīng)典的資產(chǎn)定價模型（CAPM）！E(ri ) - rf= biM (E(rM ) - rf )稱證券市場線的斜率這種證券的 b 值與期望回報(bào)率之間的均衡關(guān)系稱為證券市場線（Security Market Line，簡記為SML）。為風(fēng)險價格，而稱 b為證券的E(r)風(fēng)險。由b 的定義，我們可知， 衡量證券風(fēng)險的正確量是其與有風(fēng)險的市場組合的協(xié)方差而不是其方差。SMLE(r)Mrfb01.0證券市場線E(rM ) - rf =1，表示該單項(xiàng)資產(chǎn)的

7、風(fēng)險收益率與市場組合平均風(fēng)險收益率呈同比例變化，其風(fēng)險情況與市場投資組合的風(fēng)險情況一致； 1，說明該單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險收益率高于市場組合平均風(fēng)險收益率，則該單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險大于整個市場投資組合的風(fēng)險； 1，說明該單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險收益率小于市場組合平均風(fēng)險收益率，則該單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險程度小于整個市場投資組合的風(fēng)險。 小結(jié)：值是衡量系統(tǒng)性風(fēng)險9證券市場線（SML） 協(xié)方差的性質(zhì)：一種證券與市場組合的協(xié)方差等于該證券與市場組合中每種證券協(xié)方差的加權(quán)平均數(shù)。 市場組合的標(biāo)準(zhǔn)差等于所有證券與市場組合協(xié)方差的加權(quán)平均數(shù)的平方根，其權(quán)重為各種證券在市場組合中的比例。 單個證券的預(yù)期收益率水平取決于其與市場組合的協(xié)方差

8、。證券市場線（SML） 證券市場線反映了單個證券與市場組合的協(xié)方差和其預(yù)期收益率之間的均衡關(guān)系。-RM - R f-)s iMRi= R f+ (s2M 證券的預(yù)期收益率與無風(fēng)險利率的大小關(guān)系取決于該證券與市場組合的協(xié)方差的符號。證券市場線（SML） b 系數(shù) ：表示一種證券與市場組合協(xié)方差的另一種方式：= s iMbsiM2M 證券市場線可表示為：-+ (R M - R f )b iMR i= R f證券市場線（SML）b 系數(shù)的一個重要特征是，一個證券b 組合的值等于該組合b 中各種證券值的加權(quán)平均數(shù)，權(quán)重為各種證券在該組合中所占的比例：n= X i biM i =1b pMCML 比較：

9、VS.SML1、只有最優(yōu)投資組合才落在資本市場線上，其他組合和證券則落在資本市場線的下方；2、無論是有效組合還是非有效組合， 它們都落在證券市場線上。不均衡舉例：說明 假設(shè)一個b為1.25的證券能提供15%的預(yù)期收益。 根據(jù)SML，在均衡狀態(tài)下，b為1.25 的證券只能提供13%的預(yù)期收益。 該證券價格被低估：提供了超過其風(fēng)險水平的收益率。真實(shí)預(yù)期收益與正常預(yù)期收益之差，我們將其稱為a，該例中的a=2%。 因此，SML為評估投資業(yè)績提供了一個基準(zhǔn)。一項(xiàng)投資的風(fēng)險確定，以b測度其投資風(fēng)險，SML就能得出投資者為補(bǔ)償風(fēng)險所要求的預(yù)期收益率與時間價值。SML的幾何含義E (r )AOEOQEmEQr

10、fQ0mm =1imm OB處在SML上的投資組合點(diǎn)，處于均衡狀態(tài)。如圖中的m、Q點(diǎn)和O點(diǎn)高于或低于直線SML的點(diǎn)，表示投資組合不是處于均衡狀態(tài)。如圖中的 O點(diǎn)和點(diǎn)市場組合m的系數(shù)mm1，表示其與整個市場的波 動相同，即其預(yù)期收益率等于市場平均預(yù)期收益率EmSML對證券組合價格有制約作用市場處于均衡狀態(tài)時，SML可以決定單個證券或組合的預(yù)期收益率，也可以決定其價格高于SML的點(diǎn)（圖中的O點(diǎn)）表示價格偏低的證券。（可以買入，需求增加）其市價低于均衡狀況下應(yīng)有的價格預(yù)期收益率相對于其系統(tǒng)風(fēng)險而言，必高于市場的平均預(yù)期收益率價格偏低，對該證券的需求就會“逐漸”增加，將使其價格上升隨著價格的上升，預(yù)期

11、收益率將下降，直到下降到均衡狀態(tài)為止O點(diǎn)下降到其SML所對應(yīng)的O點(diǎn)低于SML的點(diǎn)（圖中的Q點(diǎn)）表示價格偏高的證券。（應(yīng)該賣出，供給增加）其市價高于均衡狀況下應(yīng)有的價格預(yù)期收益率相對于其系統(tǒng)風(fēng)險而言，必低于于市場的平均預(yù)期收益率價格偏高，對該證券的供給就會“逐漸”增加，將使其價格下降隨著價格的下降，預(yù)期收益率將上升，直到上升到均衡狀態(tài)為止Q點(diǎn)上升到其SML所對應(yīng)的Q點(diǎn)值的估算1、單因素模型（市場模型）= ai+ bi Rmt+ eitRit 注意：（1） 我們使用市場指數(shù)來代替市場組合；（2） 根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計(jì)過去一段樣本期內(nèi)的b值，將其作為預(yù)期值使用。Excel 估算 Beta系數(shù)Beta系數(shù)是用以度量一項(xiàng)資產(chǎn)系統(tǒng)性風(fēng)險(Systematic Risk)的指標(biāo)，是資本資產(chǎn)定價模型(Capital Asset Pricing Model)的主要參數(shù)。用以衡量一種證券或一個投資組合(Asset Allocation) 相對總體市場波動性的一種證券系統(tǒng)性風(fēng)險的評