第三章線性方程組向量組相關(guān)性習(xí)題課

1、第三章 線性方程組習(xí)題課,定義,1.線性組合,2.線性表出,定義,3.線性相關(guān),4.線性無(wú)關(guān),線性相關(guān)性的性質(zhì),部分相關(guān)-整體相關(guān),（整體無(wú)關(guān)-部分無(wú)關(guān)）,短向量線性無(wú)關(guān)，則加長(zhǎng)向量線性無(wú)關(guān)； 長(zhǎng)向量線性相關(guān)，則縮短向量線性相關(guān),推論2任意 n1 個(gè) n 維向量必線性相關(guān).,推論3兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)向量組必含相同個(gè)數(shù)的向量,定義,5.向量組的秩,等價(jià)的向量組的秩相等,定理,矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于 它的行向量組的秩,定理,設(shè)向量組b能由向量組a線性表示，則向量 組b的秩不大于向量組a的秩,推論,推論：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都等價(jià).,命題2：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都含

2、有 相同個(gè)數(shù)的向量.,極大無(wú)關(guān)組的性質(zhì),1）一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的.,2）一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組是其自身.,注：,向量組的秩 的性質(zhì),1）一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是 它的秩與它所含向量個(gè)數(shù)相同；,6.矩陣的秩,1.設(shè)，則,推論1,齊次線性方程組,有非零解 系數(shù)矩陣 的行列式 =0,只有零解,7線性方程組,7.1齊次線性方程組,解的性質(zhì)；基礎(chǔ)解系 1.基礎(chǔ)解系的條件 2.基礎(chǔ)解系的性質(zhì)：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)組 任意n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量 3.基礎(chǔ)解系的求法,7.2非齊次線性方程組,解的性質(zhì) 解的結(jié)構(gòu),一、向量組線性關(guān)系的判定,二、求向量組的秩,三、基礎(chǔ)解系的證法,四

3、、解向量的證法,典型例題,一、向量組線性關(guān)系的判定,研究這類問(wèn)題一般有兩個(gè)方法,方法1從定義出發(fā),整理得線性方程組,方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系判定,例研究下列向量組的線性相關(guān)性,解一,整理得到,解二,分析,證明,證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成極大線性無(wú) 關(guān)組的基本方法就是：,分析,根據(jù)極大線性無(wú)關(guān)組的定義來(lái)證，（本身線性無(wú)關(guān)，其余向量可由其線性表出）它往往還與向量組的秩相聯(lián)系,證明,證明：只需證明向量部分組線性無(wú)關(guān)即可， 兩向量組等價(jià)，具有相同的秩 因?yàn)橄蛄拷M個(gè)數(shù)=秩，則該向量組線性無(wú)關(guān) 即證,證明：向量組(i)的極大無(wú)關(guān)組可由向量組(ii)線性表出，而且 (ii)的極大無(wú)關(guān)組與(ii)

4、等價(jià)，即，向量組(i)的極大無(wú)關(guān)組可由 (ii)的極大無(wú)關(guān)組線性表出，(i)的極大無(wú)關(guān)組線性無(wú)關(guān)，由 定理2的推論1，知，r(i)=r(ii),證明： 兩向量組等價(jià)，具有相同的秩n 因?yàn)橄蛄拷M個(gè)數(shù)=秩，則該向量組線性無(wú)關(guān) 即證,證明2： r(a1,a2,an)=r=n，r(ii)=n, 向量組ii,可由向量組(i)線性表出， 所以r(ii)=n=r(i)=r 所以r=n 因此(i)線性無(wú)關(guān) 即證,證明：必要性：已知：向量組i線性無(wú)關(guān)，結(jié)論:任一n維向量可 被向量組(i)線性表出。 向向量組i中任意添加一向量，構(gòu)成的新向量組共有n+1個(gè)n維 向量構(gòu)成，線性相關(guān)（定理2推論2）,證明：充分性：已知

5、：任一n維向量可被向量組(i)線性表， 結(jié)論:出向量組i線性無(wú)關(guān)。 任一n維向量可被向量組i線性表出，則n維單位向量也可被 其線性表出，由(t13)可知，向量組i線性無(wú)關(guān),求一個(gè)向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的秩來(lái)求， 這個(gè)矩陣是由這組向量為行（列）向量所排成的,如果向量組的向量以列向量的形式給出，把向量 作為矩陣的列，對(duì)矩陣作初等行變換，這樣，不僅 可以求出向量組的秩，而且可以求出極大線性無(wú)關(guān) 組,二、求向量組的秩,若矩陣 a 經(jīng)過(guò)初等行變換化為矩陣 b，則a和b中 任何對(duì)應(yīng)的列向量組都有相同的線性相關(guān)性,解,例5證明與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組 也是基礎(chǔ)解系,三、基礎(chǔ)解系的證法,分析,(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示,(1)該組向量都是方程組的解；,(2)該組向量線性無(wú)關(guān)；,要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解 系，需要證明三個(gè)結(jié)論:,證明,注 當(dāng)線性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系的取 法不唯一，且不同的基礎(chǔ)解系之間是等價(jià)的,四、解向量的證法,證明,注意(1)本例是對(duì)非齊次線性方程組的解 的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析和討論，即非齊次線性方 程組一定存在著個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，題中 (2)的證明表明了它的存在性,(3)對(duì)非齊次線性方程組，有時(shí)也把 如題中所給的個(gè)解稱為的基礎(chǔ) 解系，所不同的是它的線性組合只有當(dāng)線性組合 系數(shù)之和為1時(shí)，才是方程組的解,(2)對(duì)齊次線性方程組