電力系統(tǒng)分析基礎-第四章

1、,North China Electric Power University,電力工程系,Department of Electrical Engineering,電力系統(tǒng)分析基礎 Power System Analysis Basis （四）,任 建 文,第四章 復雜電力系統(tǒng)潮流的計算機算法,TCSC、STATCOM、 UPFC、 FACTS,第四章 復雜電力系統(tǒng)潮流的計算機算法,本章主要內(nèi)容：,2. 功率方程、節(jié)點分類及約束條件,第一節(jié) 電力網(wǎng)的數(shù)學模型,一、節(jié)點電壓方程,二、導納矩陣的形成,三、導納矩陣的修改,YB節(jié)點導納矩陣,第一節(jié) 電力網(wǎng)的數(shù)學模型,1、節(jié)點電壓方程（示例）, 參考節(jié)

2、點的選取接地點,自導納,互導納,第一節(jié) 電力網(wǎng)的數(shù)學模型,注：Y距陣的維數(shù)（n-1）,第一節(jié) 電力網(wǎng)的數(shù)學模型,2、導納矩陣的形成,自導納,互導納,節(jié)點導納距陣的特點： 1、階數(shù) 2、對稱性 3、稀疏性,第一節(jié) 電力網(wǎng)的數(shù)學模型,3、導納矩陣的修改,增加一節(jié)點,增加一條支路,第一節(jié) 電力網(wǎng)的數(shù)學模型,切除一條支路,修改一條支路的導納值（ yij 改變?yōu)閥ij ）,第一節(jié) 電力網(wǎng)的數(shù)學模型,修改一條支路的變壓器變比值（ k*改變?yōu)閗* ）,第二節(jié) 功率方程、節(jié)點分類及約束條件,一、功率方程,第二節(jié) 功率方程、節(jié)點分類及約束條件,二、節(jié)點分類,一個電力系統(tǒng)有n個節(jié)點，每個節(jié)點可能有4個變量Pi,Q

3、i ,ei, fi或Pi,Qi ,Ui, i,，則共有4n個變量，而上述功率方程只有2n個，所以需要事先給定2n個變量的值。根據(jù)各個節(jié)點的已知量的不同，將節(jié)點分成三類：PQ節(jié)點、PV 節(jié)點、平衡節(jié)點。 1、PQ節(jié)點(Load Buses) 已知Pi,Qi ，求,ei, fi（ Ui, i, ），負荷節(jié)點（或發(fā)固定功率的發(fā)電機節(jié)點），數(shù)量最多。 2、PU節(jié)點(Voltage Control Buses) 已知Pi, Ui ，求, Qi, i, ，對電壓有嚴格要求的節(jié)點，如電壓中樞點。,第二節(jié) 功率方程、節(jié)點分類及約束條件,二、節(jié)點分類,3、平衡節(jié)點 （Slack Bus or Voltage R

4、eference bus） 已知Ui ， i,，求, Pi, Qi, ，只設一個。 設置平衡節(jié)點的目的 在結(jié)果未出來之前，網(wǎng)損是未知的，至少需要一個節(jié)點的功率不能給定，用來平衡全網(wǎng)功率。 電壓計算需要參考節(jié)點。,第二節(jié) 功率方程、節(jié)點分類及約束條件,三、約束條件,實際電力系統(tǒng)運行要求： 電能質(zhì)量約束條件：Uimin Ui Uimax 電壓相角約束條件 |ij|=| i - j | ijmax, 穩(wěn)定運行的一個重要條件。 有功、無功約束條件 Pimin Pi Pimax Qimin Qi Qimax,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,一、功率方程的非線性,非線性方程組，不能用常規(guī)代數(shù)求解方程方法

5、求解 。,直角坐標形式：,極坐標形式：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,兩種常見的求解非線性方程的方法：,高斯-塞德爾迭代法 牛頓-拉夫遜迭代法,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,二、高斯-塞德爾迭代法原理及求解步驟,例6-1 已知方程組 用高斯-塞德爾求解（0.01）。 解：（1）將方程組 改寫成迭代公式： （2）設初值 ；代入上述迭代公式,直到|x(k+1)-x(k)| ,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,二、高斯-塞德爾迭代法原理及求解步驟,設有非線性方程組的一般形式：,將其改寫成下述便于迭代的形式：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,二、高斯-塞德爾迭代法原理及求解步驟,假設變量（x

6、1, x2, .,xn）的一組初值（ ） 將初值代入迭代格式（6-18），完成第一次迭代 將第一次迭代的結(jié)果作為初值，代入迭代公式，進行第二次迭代 檢查是否滿足收斂條件：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,二、高斯-塞德爾迭代法原理及求解步驟,迭代公式：,更一般的形式：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,二、高斯-塞德爾迭代法原理及求解步驟,簡化形式：,迭代收斂條件：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,二、高斯-塞德爾迭代法原理及求解步驟,同一道題可能存在多種迭代格式，有的迭代格式收斂，有的迭代式不收斂。下面討論收斂條件： 當?shù)袷綖?定理 如果 則迭代格式 對任意給定的初值都收斂。,第三節(jié)

7、 高斯塞德爾迭代法潮流計算,三、高斯-塞德爾迭代法潮流計算,用高斯-塞德爾法計算電力系統(tǒng)潮流首先要將功率方程改寫成能收斂的迭代形式 Q : 設系統(tǒng)有n個節(jié)點，其中 m個是PQ節(jié)點，n-(m+1)個是PV節(jié)點，一個平衡節(jié)點，且假設節(jié)點1為平衡節(jié)點（電壓參考節(jié)點） 功率方程改寫成：,1. 方程表示：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,三、高斯-塞德爾迭代法潮流計算,或更具體的形式為：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,三、高斯-塞德爾迭代法潮流計算,上述迭代公式假設n 個節(jié)點全部為PQ節(jié)點。 式中等號右邊采用第k次迭代結(jié)果，當ji時，采用第k次迭代結(jié)果。 用G-S迭代法求解的步驟： 第一步：形成節(jié)

8、點導納距陣； 第二步：設除平衡節(jié)點外的其它節(jié)點的初值，一般都設 ； 第三步：迭代求解，判斷收斂與否？若滿足收斂條件， 則迭代停止,2. 求解的步驟：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,三、高斯-塞德爾迭代法潮流計算,3. PV節(jié)點的處理：,由于該類節(jié)點的V已知，Q未知，故在給定初值時，對該類節(jié)點增加初值 ； 增加計算無功的迭代公式： 對于PV節(jié)點的計算步驟： 除了完成（6-24）的迭代計算外，還要執(zhí)行（6-25）的迭代計算 對（6-25）得到的結(jié)果要進行下列三種情況的校核：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,三、高斯-塞德爾迭代法潮流計算,(a) 這種情況由于計算得到的結(jié)果比允許的最小值還小，

9、所以不允許以計算得到的結(jié)果再代入進行迭代，以 作為PV節(jié)點的無功功率，此時，PV節(jié)點就轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點 (b) 這種情況由于計算得到的結(jié)果比允許的最大值還大，所以不允許以計算得到的結(jié)果再代入進行迭代，而是以 作為PV節(jié)點的無功功率，此時，PV節(jié)點就轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點。 (c) 因求出的無功功率滿足要求，所以迭代得到的結(jié)果繼續(xù)代入公式（6-25）進行計算,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,三、高斯-塞德爾迭代法潮流計算,對于PV節(jié)點，由于它的U值是給定的，每次用公式（6-24）得到的結(jié)果 中的 一般不等于給定的值，這種情況要用給定的U代替計算得到的幅值，用 組成新的電壓初值。如果通過迭代得到的與限值比

10、較已經(jīng)越限，則轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點后，就不必做電壓幅值的更換了。,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,三、高斯-塞德爾迭代法潮流計算,4. 潮流計算：,平衡節(jié)點的功率：,支路功率：,支路功率損耗：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,四、高斯-塞德爾迭代法潮流計算流程圖,見書上P155,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,四、例題：用G-S計算潮流分布,解：網(wǎng)絡的節(jié)點導納距陣為：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,設 ，代入式（6-24）求,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,修正U3為 ，再用式（6-25）計算：,然后開始第二次迭代：,第三節(jié) 高斯塞德爾迭代法潮流計算,再修正U3為：,因此，第二次迭代結(jié)束

11、時節(jié)點2的電壓為 節(jié)點3的電壓相位角為3=2.940,與之對應的節(jié)點3的無功功率為Q3=0.0596.,再計算,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,一、N-R原理,1. 非線性方程的求解：,f(x)=0 設：x(0)為的初始近似解，x(0)為與真實解的偏差 則：x= x(0) x(0) f(x(0) x(0)=0 按Taylors展開 f(x(0) x(0)= f(x(0)- f(x(0)x(0)+.+(-1)n fn(x(0) (x(0)n/n!+.=0,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,由于x(0）較小，故忽略高次項后： f(x(0) x(0)= f(x(0)- f(x(0)x(0) =0 x(0)

12、 = f(x(0)/ f(x(0) x(1) = x(0) - x(0) = x(0) - f(x(0)/ f(x(0) k次迭代時修正方程為： f(x(k)- f(x(k)x(k) =0 x(k) = f(x(k)/ f(x(k) x(k+1) = x(k) - f(x(k)/ f(x(k),第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,結(jié)束迭代的條件（收斂）：|f(x(k)|1 或 |x(k)|2,物理意義,初值不當不收斂,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,2. 非線性方程組的求解：,推廣于（6-16）表示的多變量非線性方程組,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,(4-32),式中 為函數(shù) fi(x1,x2,.xn

13、) 對自變量 xj 的偏導在初始值處的值,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,(4-33),用矩陣表示,得到新的近似解：,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,(4-33a),更一般的表示,第k+1次迭代后的解為：,(4-33b),第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,式(4-33a)可簡寫為： F(x(k)=J(k) x(k) (4-34) J(k) 為nn階雅可比矩陣,其元素 為函數(shù) fi(x1,x2,.xn) 對自變量 xj 的偏導在點（ x(k) ）的值 式(4-33b)可簡寫為： x(k+1)= x(k) x(k) (4-34b) 第k次迭代后用下面的公式檢查是否收斂,(4-35a),(4-35b),第四

14、節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,二、潮流計算時的修正方程式（直角座標法）,(4-38a),(4-38b),1. 直角座標法：,PQ節(jié)點,PU節(jié)點,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,直角坐標的縮寫形式：,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,直角座標法矩陣表示,(4-37),第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,雅可比矩陣元素值,非對角元素(ij),對角元素(i=j),(4-41a),(4-41b),第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,矩陣的特點及計算步驟,雅可比矩陣的特點：,各元素是各節(jié)點電壓的函數(shù) 不是對稱矩陣 Yij=0， Hij= Nij= Jij= Lij= 0，另Rij= Sij= 0，故稀疏,牛頓拉夫遜法潮流計算

15、的基本步驟：,1. 輸入原始數(shù)據(jù)和信息：y、C、Pis、Qis、Uis、約束條件 2. 形成節(jié)點導納矩陣YB=CTyC 設置各節(jié)點電壓初值ei(0), fi(0) 4. 將初始值代入(4-38)求不平衡量Pi(0), Qi(0), Ui2(0),第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,5. 計算雅可比矩陣各元素（Hij、Lij、Nij、Jij、Rij、Sij） 6. 解修正方程(4-37) ，求 ei(k), fi(k) 7. 求節(jié)點電壓新值ei(k+1) =ei(k) - ei(k), fi(k+1) = fi(k) - fi(k) 8. 判斷是否收斂：Max| fi(k) |, Max| ei(k)

16、 | 9. 重復迭代第4、5、6、7步，直到滿足第8步的條件 求平衡節(jié)點的功率和PV節(jié)點的Qi及各支路的功率,潮流計算時的修正方程式（框圖）,見書上P165,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,2. 極座標法：,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,極座標法矩陣表示,(4-44),第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,極座標法系數(shù)推導,展開式,計及,(4-45a),(4-45b),(4-48),第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,極座標法系數(shù)推導,(4-49a),(4-49b),當ij ，對特定的j，只有特定節(jié)點的j，從而ij= i- j 是變量,對特定的j，只有該特定節(jié)點的Uj是變量,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,極座

17、標法系數(shù)推導,(4-49c),(4-49d),當i=j ，由于i是變量，從而所有ij= i- j 都是變量，可得,相似地，由于Ui是變量，可得,第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,極座標法潮流計算的基本步驟：,1. 輸入原始數(shù)據(jù)和信息：y、C、Pis、Qis、Uis、約束條件 2. 形成節(jié)點導納矩陣YB=CTyC 設置各節(jié)點電壓初值Ui(0), i(0) 將初始值代入(4-45) 求不平衡量Pi(0), Qi(0) 5. 計算雅可比矩陣各元素（Hij、Lij、Nij、Jij） 6. 解修正方程(4-44) ，求 Ui(k), i(k) 7. 求節(jié)點電壓新值Ui(k+1) = Ui(k) - Ui(k

18、), i(k+1) = i(k) - i(k),第四節(jié) 牛頓拉夫遜法潮流計算,極座標法潮流計算的基本步驟：,8. 判斷是否收斂：Max| Ui(k) |, Max| i(k) | 9. 重復迭代第4、5、6、7步，直到滿足第8步的條件 求平衡節(jié)點的功率和PV節(jié)點的Qi及各支路的功率,第五節(jié) P-Q分解法潮流計算,一、P-Q分解法原理,所謂P-Q分解法就是利用牛頓-拉夫遜法修正方程的極標形 式，考慮了電力系統(tǒng)的一些特性（如網(wǎng)絡參數(shù)XijRij， BijGij，ij0。P ，Q U），得出的一種簡化形式。,圖形解釋,第五節(jié) P-Q分解法潮流計算,二、P-Q分解法的修正方程式,重寫極座標方程,(4-

19、53),第五節(jié) P-Q分解法潮流計算,簡寫為,(4-54),進一步,(4-55),計及cosij1, Gij sinij Bij,第五節(jié) P-Q分解法潮流計算,第五節(jié) P-Q分解法潮流計算,(4-57),第五節(jié) P-Q分解法潮流計算,(6-75),(4-58a),(4-58b),P1/U1,P2/U2,Pn/Un,B11,B12,B1n,B21,B22,B2n,Bn1,Bn2,Bnn,U11,U22,Unn,(4-59a),Q1/U1,Q2/U2,Qm/Um,B11,B12,B21,B22,B2m,Bm1,Bm2,Bmm, U1, U2, Um,(4-59b),B1m,P/U=BU,Q/U=B

20、 U,(4-60a),(4-60b),簡寫為：,P-Q分解法的修正方程式的特點：,以一個(n-1)階和一個(m-1)階系數(shù)矩陣B、B替代原有的(n+m-2)階系數(shù)矩陣J，提高了計算速度，降低了對存儲容量的要求。,以迭代過程中不變的系數(shù)矩陣B、B替代變化的系數(shù)矩陣J，顯著地提高了計算速度。,以對稱的系數(shù)矩陣B、B替代不對稱的系數(shù)矩陣J，使求逆等運算量和所需的存儲容量大為減少。,牛頓拉夫遜法和PQ分解法的特性：,牛頓拉夫遜法,PQ分解法,三、P-Q分解法的潮流計算的基本步驟,形成系數(shù)矩陣B、B ，并求其逆矩陣。,設各節(jié)點電壓的初值I(0)(i=1,2,n,is)。UI(0)(i=1,2,m,is)

21、,按式（445a）計算有功不平衡量PI(0)(i=1,2,n,is)。,解修正方程式，求各節(jié)點電壓相位的變量 I(0)(i=1,2,n,is),求各節(jié)點電壓相位的新值I(1) = I(0) + I(0)(i=1,2,n,is),按式（445a）計算無功不平衡量QI(0)(i=1,2,m,is)。,解修正方程式，求各節(jié)點電壓幅值的變量 UI(0)(i=1,2,m,is),求各節(jié)點電壓幅值的新值UI(1) = UI(0) + UI(0)(i=1,2,m,is),不收斂時，運用各節(jié)點電壓的新值自第三步開始進入下一次迭代。,計算平衡節(jié)點功率和線路功率。,見書上P175,P-Q分解的潮流 計算流程圖,第六節(jié) 潮流計算中稀疏技術(shù)的運用,一、稀疏矩陣的存儲,15,10,8,11,5,4,20,7,14,9,12,3,2,22,17,13,16,18,1、按坐標存儲的方案,對角元素,非對角元素,特點：按坐標位置存儲，簡單、直觀，便于檢索，但不便