導數(shù)的不等式恒成立問題

1、導數(shù)的應用【考查重點與常見題型】題型一運用導數(shù)證明不等式問題例1設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當aln 21且x0時，exx22ax1. (1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln 2a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2，單調(diào)遞增區(qū)間是ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)

2、證明設g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當aln 21時，g(x)的最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R上是增加的于是當aln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1. 已知f(x)xln x. (1)求g(x)(kR)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：當x1時，2xef(x)恒成立解：(1)g(x)ln x，令g(x)0得xk.x0，當k0時，g(x)0.函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0，)，無減區(qū)間；當k0時g(x

3、)0得xk；g(x)0得0x0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若f(x)在1，e上的最小值為，求a的值；(3)若f(x)0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是增加的(2)由(1)可知，f(x).若a1，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時f(x)在1，e上是增加的，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時f(x)在1，e上是減少的，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，當1xa時，f(x)0，f(x)在(1，a)上是減少的；當ax0，f(x)在(a，e)上是增加的，f(x)minf(a)ln(a)1

4、，a.綜上所述，a.(3)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)時，h(x)0，h(x)在(1，)上是減少的h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是減少的g(x)g(1)1，當a1時，f(x)x2在(1，)上恒成立 已知函數(shù)f(x)ax33x1對x(0,1總有f(x)0成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案4，)解析當x(0,1時不等式ax33x10可化為a，設g(x)，x(0,1，g(x)，g(x)與g(x)隨x的變化情況如下表：xg(x)0g(x)4因此g(x)的最大值為4，則實數(shù)a的取

5、值范圍是4，)導數(shù)與不等式的綜合問題典例：(12分)(2011遼寧)設函數(shù)f(x)xax2bln x，曲線yf(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2.(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)2x2. (1)解f(x)12ax.1分由已知條件得即解得4分(2)證明因為f(x)的定義域為(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.設g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，則g(x)12x.8分當0x0，當x1時，g(x)0時，g(x)0，即f(x)2x2.12分一、選擇題(每小題5分，共20分)1 已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案B解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有兩個不相等的實根4a243(a6)0，即a23a180.a6或a2 Bm2Cm0，f(x)，令g(x