01 圓的基本性質(zhì)教師

1、01. 圓的基本性質(zhì)四平路校區(qū)：65107076；浦東校區(qū)：68869972第 01 講 圓的基本性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)】一、 圓的基本概念1 圓的概念：在平面內(nèi)，線段OP 繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)一周，則另一端點(diǎn) P 所形成的封閉曲線叫做圓（circle）固定的端點(diǎn)O 叫做圓心（center of acircle），線段OP （ = r ）叫做半徑（radius）以點(diǎn)O 為圓心的圓，記作“ O ”，讀作“圓O ”（1） 圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O ）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑r ）（2） 到定點(diǎn)O 的距離等于定長(zhǎng) r 的所有點(diǎn)都在一個(gè)圓上【推廣】2 ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分稱為圓?。╝rc），簡(jiǎn)稱弧用符號(hào)

2、“ ”表示如AB右圖所示，以 A 、 B 為端點(diǎn)的弧記作 AB ，讀作“弧 AB ”DCO（1） 圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓（2） 大于半圓的?。ㄒ话阌萌齻€(gè)字母表示，如圖中的 ACB ）叫做優(yōu)?。?） 小于半圓的?。ㄈ鐖D中的 AB 、 AC 或 BD ）叫做劣弧（4） 由弦及其所對(duì)弧組成的圖形叫做弓形，如右圖中弦 AB 分別與 AB 及 ACB 組成的兩個(gè)不同的弓形3. 弦：聯(lián)結(jié)圓上任意兩點(diǎn)間的線段，如圖中的 AB 、 CD ，叫做弦（chord），經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（diameter）直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦4. 圓心角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角（central

3、 angle）如圖AOB5 弦心距：弦到圓心的距離6 圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，稱多邊形為該圓的內(nèi)接多邊形；圓為該多邊形的外接圓特別的，如果四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓，稱四邊形為該圓的內(nèi)接四邊形二、 圓的確定7 圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓101. 圓的基本性質(zhì)四平路校區(qū)：65107076；浦東校區(qū)：68869972三、 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系8. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（1） 點(diǎn) P 在O 上 OP = r （2） 點(diǎn) P 在O 內(nèi) OP r 四、 同圓或等圓CBA9 定理 1：同（等）圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧、弦、弦心距都相等【思考】同（等）圓中，圓心角、弧、弦、

4、弦心距四組量中，如果某一組相等，O是否能得到其余各組量都相等？【答案】能D五、 垂徑定理1 定理 2（垂徑定理）：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧【思考】如果“直徑平分弦”，那么“直徑垂直于弦，且直徑平分弦所對(duì)的弧”能否成立？【推論】一條直線：過(guò)圓心；垂直于一條弦；平分這條弦；平分弦所對(duì)的劣??；平分弦所對(duì)的優(yōu)弧這五個(gè)條件只需知道兩個(gè)，即可得出另三個(gè)（平分弦時(shí)，直徑除外）【思考】如果直徑平分弦，那么“直徑垂直于弦，且直徑平分弦所對(duì)的弧”能否成立？【答案】不一定，這條弦不能是直徑201. 圓的基本性質(zhì)四平路校區(qū)：65107076；浦東校區(qū)：68869972【例題精講】【定理 1

5、】1 如圖，在O 中， AB = CD ， AD 、 BC 相交于點(diǎn) E 求證：（1）ABDCDB；（2） OE 平分AEC BD解： AB = CD AB + BD = BD + CD AD = BC AD = BCEAB = CD AB = CDACOB DAD = BC GHEAB = CD ABDCDBBD = BD （2）作OG AD,OH BCCAOAD = BC OG = OH OEG = OEHD2 如圖，O 是ABC 的外接圓， AE 平分ABC 的外角DAC ，OM AB ， ON AC ，垂足分別是點(diǎn) M、N ，且OM = ON A E1）AEBC；（2） AO AE 求

6、證：（NMOOM = ONOMA = ONA = 900 AB = AC B = C（1）BCDAC = B +C DAC = 2B = 2CDAC = 2DAEDAE = B AE / /BCDEAMN1 = 2AO BC O（2） RtDOAM DRtOAM AO AEAB = ACAE / / BCBC301. 圓的基本性質(zhì)四平路校區(qū)：65107076；浦東校區(qū)：688699723 如圖，已知 AB、CD是O 的弦，且 AB = CD ，OM AB ，ON CD ，垂足分別是點(diǎn) M 、N ，BA 、 DC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P 求證： PA = PC 證明：由題意， AM = 1 AB2B

7、MAPO12CN =CD, 且 AB = CD AM = CNCNDPO = POAB = CD OM = ON PM = PN PA = PCOMP = ONP = 900O 中， AB 為直徑， CO AB ， D 是CO 的中點(diǎn)，DEAB，求證： EC = 2EA C4 如圖，CABOBAO【垂徑定理】5 已知O 的半徑長(zhǎng)為 5，弦 AB 與弦 CD 平行， AB = 6 ， CD = 8 ，則 AB 與 CD 之間的距離為 解：如圖一， BE = 4, OF = 3 ，距離= OE + OF = 7如圖二：距離 = OE -OF =1（題目不給圖）EBAEABDCFOODCF6 已知O

8、 直徑為 10，弦 AB = 6 ，P 為 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，則OP 的取值范圍是 4E DED01. 圓的基本性質(zhì)四平路校區(qū)：65107076；浦東校區(qū)：68869972解：作OP1 AB 于 P1O可得OP =OA2 - AP2 = 4 ，4 OP 511ABP501. 圓的基本性質(zhì)四平路校區(qū)：65107076；浦東校區(qū)：68869972如圖所示，已知以點(diǎn)O 為圓心的兩同心圓，大圓弦 AB 交小圓于C 、 D 兩點(diǎn)7（1）求證： AC = BD ；（2）若 AB = 8 ， CD = 4，求圓環(huán)的面積解：（1）同（6）題（2） CE = 2, AE = 4OE2 = OA2 - AE2 =

9、OC 2 - CE2OA2 -16 = OC 2 - 4 OA2 - OC 2 = 12 S = p (OA2 - OC 2 ) = 12pOEBACDABCD8 如圖所示，點(diǎn) P 為O 弦 AB 的中點(diǎn)， PC OA ，垂足為C 求證：BPA PB = AC OA解：原題即：P 為 AB 中點(diǎn)，OP AB PA PA = AC OAPBAOCPAO即證明 PA2 = AC AO易證： DPAC DOAPC9 ABC 中， AB = AC = 10， BC = 12 ，求其外接圓半徑601. 圓的基本性質(zhì)四平路校區(qū)：65107076；浦東校區(qū)：6886997210如圖，O 的直徑 AB 和弦C

10、D 相交于點(diǎn) E ，已知 AE = 6cm， EB = 2 cm， CEA = 30 ，求CD的長(zhǎng)CFBAOED11如圖， ABCD 是直角梯形，以斜腰 AB 為直徑作圓，交CD 于 E 、F ，交 BC 于G ，求證：（1） DE = CF ；（2） AE = GF 12 AB 是O 的直徑，弦CD 與 AB 相交，過(guò) A 、B 向CD 引垂線，垂足分別為 E 、 F ，求證： CE = DFBOEDCMFA701. 圓的基本性質(zhì)四平路校區(qū)：65107076；浦東校區(qū)：68869972O 的弦 AB 、CD 互相垂直于 E ，且 AE = 5 ， BE = 13， O 到 AB 的距離為21

11、0 ，求 CD 到圓13D心 O 的距離，O 到 E 的距離，及圓的半徑GODBAECFOGEBAFCC14已知 AB 為O 的弦，從圓上任一點(diǎn)引弦CD AB ，作OCD的平分線交O 于 P 點(diǎn)，聯(lián)結(jié) PA 、 PB ，求證： PA = PB OCABDPOABDPDC15已知 AB 是O 的直徑， M、 N 分別是OA 、OB 的中點(diǎn)， CM 垂直于AB ，求證： AC = BD AMOBNCDAOBNM801. 圓的基本性質(zhì)四平路校區(qū)：65107076；浦東校區(qū)：68869972【課后作業(yè)】1 求證：菱形四條邊中點(diǎn)在對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上O ，ABCD，O 的半徑為 4 ， AB

12、= 6 ， CD = 2，求梯形 ABCD 的面2 已知梯形 ABCD 內(nèi)接于積DCEF OAB（不給圖）901. 圓的基本性質(zhì)四平路校區(qū)：65107076；浦東校區(qū)：688699723 如圖， O 是等腰ABC 的外接圓， AB = AC ，D 是弧 AC 的中點(diǎn)，E 是 BA 延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，EBCD，已知 EAC =144 ，求 DAC 的度數(shù)，并證明四邊形ABCD 是等腰梯形EADOBCEF4 如圖，在O 的弦 AB 上取 AC = BD ，過(guò)C 、D 分別作 AB 的垂線CE 、DF交O 于 E 、 F ，并且 E 、 F 在 AB 的同側(cè)求證： CE = DF ABCD5 如圖，圓心角都是90 的扇形OAB 與扇形OCD 疊放在一起，聯(lián)結(jié)AC 、 BD （1）求證： AC = BD ；（2）若圖中陰影部分的面積是 3 p cm2，4OA = 2 cm，求OC 的長(zhǎng)