大數(shù)定理與中心極限定理.ppt

1、大數(shù)定律 中心極限定理,大 數(shù) 定 律,在大量的隨機(jī)現(xiàn)象中，隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性.,大量的隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性.,概率論中用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的 穩(wěn)定性的一系列定理，稱(chēng)為大數(shù)定律（law of large number),4.6.1 切比雪夫（Chebyshev)不等式,切比雪夫不等式,證明 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為,則,或,定理4.3 設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=和方差D(X)=2,則對(duì)任意正數(shù)，有,證畢,切比雪夫（Chebyshev)不等式的應(yīng)用,在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望 和方差，即可對(duì)X的概率分布進(jìn)行估值。,例 已知正常男性成人血

2、液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均 值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計(jì)每 毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率。,解 設(shè)X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個(gè)數(shù)，則,則,而,所以,練一練,設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5， 利用切比雪夫不等式估計(jì)概率,練習(xí) 設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率,解,4.6.2 大數(shù)定律,定義4.8 若存在常數(shù) ,對(duì)任意正數(shù) 有,則稱(chēng)隨機(jī)變量序列 依概率收斂于 記為,性質(zhì) 設(shè),若,在點(diǎn),連續(xù)，則,定理4.4（切比雪夫定理的特殊情況）,設(shè)隨機(jī)變量,相互獨(dú)立，且具有相同,的數(shù)學(xué)期望和方差：,作前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均,則對(duì)任意正,數(shù),有,即序列

3、,依概率收斂于,伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）,定理4.5 設(shè) 是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p 是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù) 恒有,定理的應(yīng)用：可通過(guò)多次重復(fù)一個(gè)試驗(yàn)，確定 事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率,樣本平均數(shù)穩(wěn)定性定理,定理4.6 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn，相互獨(dú)立， 且服從同一分布，并具有數(shù)學(xué)期望 及方差 ，則對(duì)于 任意正數(shù) ，恒有,觀(guān)測(cè)量X在相同的條件下重復(fù)觀(guān)測(cè)n次，當(dāng)n充分大時(shí)， “觀(guān)測(cè)值的算術(shù)平均值接近于期望”是一大概率事件。,即,依概率收斂于,即n充分大時(shí)，,辛欽大數(shù)定理,4.6.3 中心極限定理（Central limit theoem),客觀(guān)背景：

4、客觀(guān)實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量 相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個(gè)微小 因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來(lái)， 卻對(duì)總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從 正態(tài)分布。,概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布 是正態(tài)分布的一系列定理稱(chēng)為中心極限定理。,設(shè),相互獨(dú)立，且,則當(dāng),定理4.7（李雅普諾夫定理）,時(shí)，隨機(jī)變量,的分布函數(shù)為,定理4.8 獨(dú)立同分布的中心極限定理,設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn相互獨(dú)立，服從同一分 布，且有有限的數(shù)學(xué)期望 和方差 ，則隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 滿(mǎn)足如下極限式,定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ，不管 服從什么分布，只要它們是同分布， 且

5、有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這 些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)分布,例1 一部件包括10部分，每部分的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變 量，相互獨(dú)立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是2mm，均方差是0.05mm，規(guī)定總長(zhǎng)度為200.1mm時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。,解 設(shè)部件的總長(zhǎng)度為X，每部分的長(zhǎng)度為 Xi（i=1,2,10)，則,由定理4.5可知：X近似地服從正態(tài)分布,即,續(xù)解 則產(chǎn)品合格的概率為,定理4.9 棣莫弗拉普拉斯中心極限定理,(De Moivre-Laplace),定理 設(shè)隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ，則對(duì) 于任意區(qū)間 ，恒有,二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布,例2 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1/6，今在其中任選6000粒，試問(wèn)在這些種子中良種所占的比例與1/6之差小于1%的概率是多少？,解 設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為X，則,所求概率為,續(xù)例 種子中良種占1/6，我們有99%的把握斷定在6000 粒種子中良種所占的比例與1/6之差是多少？這時(shí)相應(yīng)的 良種數(shù)落在哪個(gè)范圍？,解 設(shè)良種數(shù)為X，則,設(shè)良種所占比例與1/6的差值為 ，則依題意有,查表得,此時(shí)有,即,解 設(shè)100根