信號與系統(tǒng)第九章 拉普拉斯變換.ppt

1、2020/10/14,第9章 拉普拉斯變換,THE LAPLACE TRANSFORM,4. 雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；,1. 雙邊拉普拉斯變換；,2. 雙邊拉普拉斯變換的收斂域；,5. 單邊拉普拉斯變換；,3. 零極點(diǎn)圖；,2,9.0 引言,傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例 和 為基本分解信號。對更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù) 和 ，也能以此為基本信號對信號進(jìn)行分解。,復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。相當(dāng)廣泛的信號都可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合,將連續(xù)時(shí)間傅里葉變換推廣到更一般的情況（拉普拉斯變換）就是本章要討論的中心問題。,拉氏變換具有很多與傅氏變換相同的性質(zhì)，不僅能解決用傅氏分析方法可以解決的信

2、號與系統(tǒng)分析問題，還能用于傅里葉分析方法不適用的許多方面。拉普拉斯分析是傅里葉分析的推廣，傅里葉分析是拉普拉斯分析的特例。,3,一.雙邊拉氏變換的定義：,其中,若 ， 則有:,這就是 的傅里葉變換。,9.1 拉普拉斯變換,4,由于,拉氏變換是對傅里葉變換的推廣， 的拉氏變換就是 的傅里葉變換。只要有合適的 存在，就可以使本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入 后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。,不滿足狄里赫利條件的信號 u(t) 增長信號,乘一衰減因子 后收斂（滿 足狄里赫利條件）,5,例1.,當(dāng) 時(shí)， 的傅里葉變換存在:,顯然

3、，在 時(shí)，拉氏變換收斂的區(qū)域?yàn)?，包括了 （即 軸）。,在 時(shí)，積分收斂：,比較 和 ,顯然有:,6,例2.,與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。,不包含 軸，所以不能得出u(t)的傅里葉變換為,在 時(shí)，積分收斂：,7,幾點(diǎn)結(jié)論：,1. 拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是 s 平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。,2. 使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù) s的集合，稱為拉氏變換的收斂域 (ROC) 。收斂域 對拉氏變換是非常重要的概念。,3.不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的收斂域不同。只有拉氏變換的表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一

4、一對應(yīng)的關(guān)系。,4. 如果一個信號的拉氏變換的ROC包含 軸，則信號的傅里葉變換也存在，并且：,8,二. 拉氏變換的ROC及零極點(diǎn)圖：,例3.,9,可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。ROC總是以平行于 軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與 的分母的根(極點(diǎn))相對應(yīng)。,極點(diǎn),零點(diǎn),10,分子多項(xiàng)式的根稱為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱為極點(diǎn)。,將 的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在S平面上，就構(gòu)成了零極點(diǎn)圖。零極點(diǎn)圖及其收斂域可以表示一個 ，最多與真實(shí)的 相差一個常數(shù)因子 。,因此，零極點(diǎn)圖是拉氏變換的圖示方法。,若 是有理函數(shù),11,9.2 拉氏變換的收斂域,2. 在ROC內(nèi)無任何極點(diǎn)。,1. RO

5、C是 s 平面上平行于 軸的帶形區(qū)域。,4. 右邊信號的ROC位于s平面內(nèi)一條平行于 軸的直線的右邊。,5. 左邊信號的ROC位于s平面內(nèi)一條平行于 軸的 直線的左邊。,3. 時(shí)限信號的ROC是整個 s 平面。,6. 雙邊信號的ROC如果存在，一定是 s 平面內(nèi)平行于 軸的帶形區(qū)域。,12,13,例1.,考查零點(diǎn)，令,有極點(diǎn),顯然 在 也有一階零點(diǎn)，由于零極點(diǎn)相抵消，致使在整個S平面上無極點(diǎn)。,當(dāng) 時(shí)，上述ROC有公共部分，,當(dāng) 時(shí)，上述 ROC 無公共部分，表明 不存在。,例2.,15,當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)，其ROC總是由 的極點(diǎn)分割的。ROC必然滿足下列規(guī)律：,3. 雙邊信號的ROC可以是任意

6、兩相鄰極點(diǎn)之間的帶形區(qū)域。,2. 左邊信號的ROC一定位于 最左邊極點(diǎn)的左邊。,1. 右邊信號的ROC一定位于 最右邊極點(diǎn)的右邊。,16,例3.,可以形成三種 ROC： ROC： ROC： ROC：,此時(shí) 是右邊信號。,此時(shí) 是左邊信號。,此時(shí) 是雙邊信號。,17,對有理函數(shù)形式的 求反變換一般有兩種方法,即部分分式展開法和留數(shù)法。,1. 將 展開為部分分式。,部分分式展開法：,3. 利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì),對每一項(xiàng)進(jìn)行反變換。,2. 根據(jù) 的ROC，確定每一項(xiàng)的ROC 。,9. 3 拉普拉斯反變換的求法,18,極點(diǎn)：,19,例2.,思考題：對于本例中的X(s),若收斂域分別為：

7、 (a) Res-1;(b)Res-2,求這兩種情況下的x(t)？,1,2,ROC1、ROC2 必須各自包含ROC,20,可以用零極點(diǎn)圖表示 的特征。當(dāng)ROC包括軸時(shí)，以 代入 ，就可以得到 。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法從零極點(diǎn)圖求得 的特性。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時(shí)有很大用處。,9.4 由零極點(diǎn)圖對傅里葉變換幾何求值（一般了解即可）,21,1. 單零點(diǎn)情況：,矢量 稱為零點(diǎn)矢量，它的長度 表示 ,其幅角即為 。,零點(diǎn) , 要求出 時(shí)的 ，可以作兩個矢量 和 ，則 。,22,極點(diǎn),直接由極點(diǎn)向 點(diǎn)作矢量（稱為極點(diǎn)矢量），其長度的倒量為 ,幅角的負(fù)值為 。,2. 單極點(diǎn)情況：,23,對s平

8、面任意一點(diǎn)s1有:,3. 一般情況：,即：從所有零點(diǎn)向 點(diǎn)作零點(diǎn)矢量，從所有極點(diǎn)向 點(diǎn)作極點(diǎn)矢量。所有零點(diǎn)矢量的長度之積除以所有極點(diǎn)矢量的長度之積即為 。所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和即為 。,當(dāng) 取為 軸上的點(diǎn)時(shí)，即為傅里葉變換的幾何求值?？疾?在 軸上移動時(shí)所有零、極點(diǎn)矢量的長度和幅角的變化，即可得出 的幅頻特性和相頻特性。,24,例1. 畫出信號 的幅頻特性和相頻特性,包含 軸,幅頻特性：是 的偶函數(shù)， 時(shí)，取最大值1， 隨著 ， 單調(diào)下降， 時(shí)，下降到最大值的,相頻特性：是 的奇函數(shù)， 時(shí)， 隨著 ， 趨于 ， ， 趨于,25,9.5 拉氏變換的性質(zhì),拉氏變換與傅氏變

9、換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。,1. 線性：,若,26,而,ROC擴(kuò)大為整個S平面。,當(dāng) 與 無交集時(shí)，表明 不存在。,例.,（原因是出現(xiàn)了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象）,27,2. 時(shí)移性質(zhì):,若,28,例.,顯然,29,4. 時(shí)域尺度變換:,若,則,當(dāng) 時(shí) 收斂， 時(shí) 收斂,30,可見：若信號在時(shí)域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。,特例,31,如果 是實(shí)信號，且 在 有極點(diǎn)（或零點(diǎn)），則 一定在 也有極點(diǎn)（或零點(diǎn)）。這表明： 實(shí)信號的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)必共軛成對出現(xiàn)。,當(dāng) 為實(shí)信號時(shí)，有：,由此可得以下重要結(jié)論：,或,5. 共軛對稱性（Conjuga

10、tion）：,若,則,32,6. 卷積性質(zhì):（Convolution Property）,顯然有:,例.,ROC擴(kuò)大,原因是 與 相乘時(shí)，發(fā)生了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象。 當(dāng)被抵消的極點(diǎn)恰好在ROC的邊界上時(shí)，就會使收斂域擴(kuò)大。,33,7. 時(shí)域微分:（Differentiation in theTime Domain）,8. 時(shí)域積分:（Integration in the Time Domain ）,若,包括,則,包括,證明：,34,9.6 常用拉氏變換對,35,單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號的雙邊拉氏變換。,一.定義:,如果 是因果信號，對其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。,9.9 單邊拉普拉斯變換（一般了解即可）,單邊拉氏變換也同樣存在ROC 。其ROC必然遵從因果信號雙邊拉氏變換時(shí)的要求，即：一定位于最右邊極點(diǎn)的右邊。 正因?yàn)檫@一原因，在討論單邊拉氏變換時(shí)，一般不再強(qiáng)調(diào)其ROC。,36,做單邊拉氏變換：,例1.,做雙邊拉氏變換：,與 不同，是因?yàn)?在 的部分對 有作用，而對 沒有任何作用所致。,37,做單邊拉氏變換：,做雙邊拉氏變換：,與 相同，是因?yàn)?/p>