概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6-2估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).ppt

1、第二節(jié) 估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),一、問題的提出,二、無偏性,三、有效性,四、相合性,第六章,一、問題的提出,從前一節(jié)可以看到, 對(duì)于同一個(gè)參數(shù), 用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不同.然而, 原則上任何統(tǒng)計(jì)量都可以作為未知參數(shù)的估計(jì)量.,問題,(1) 對(duì)于同一個(gè)參數(shù)究竟采用哪一個(gè)估計(jì)量好?,(2) 評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是什么?,下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn).,下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn)：,1）無偏性； 2）有效性； 3）最小方差無偏估計(jì) 4） 相合性.,二、無偏性,定義6.2,證,例1,特別地,不論總體 X 服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在,證,例2,分析,例3,設(shè)總體X的方差D(X)存在，且 D(X) 0,

2、(X1, X2 , , Xn ) 為來自總體X的樣本，試選擇適當(dāng)?shù)某?shù)C，使得,為D(X)的無偏估計(jì).,需選擇C，使,而X1, X2 , , Xn 相互獨(dú)立，且與X 同分布,解,依題意，要求：,注,一般地，一個(gè)參數(shù) 的無偏估計(jì)量不唯一.,如：設(shè)樣本(X1, X2 , , Xn ) 來自總體X，E(X)=,也均是的無偏估計(jì).,問題：,對(duì)于同一個(gè)參數(shù)的多個(gè)無偏估計(jì)量，如何評(píng)價(jià)它們的優(yōu)劣？,三、有效性,換句話說，,的波動(dòng)越小，即方差,越小越好.,定義6.3,例4,來自總體X的樣本，問：下列三個(gè)對(duì) 的無偏估計(jì)量哪一個(gè)最有效？,解,注,一般地，在 的,無偏估計(jì)量,可用求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法證明,(1

3、) 證,例5,解,背景,隨機(jī)抄n個(gè)自行車的號(hào)碼，由這n個(gè)號(hào)碼來估計(jì)某市市區(qū)的自行車總數(shù)N.,如：樣本值 100, 1000, 10000, 100000, 1000000.,可算得：,四、 最小方差無偏估計(jì)量,定義,注,最小方差無偏估計(jì)是一種最優(yōu)估計(jì).,問題：,無偏估計(jì)的方差是否可以任意小?如果不能任意小,那么它的下界是什么?,定理*6.1(Rao-Cramer不等式),設(shè)是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)開區(qū)間,總體X的分布密度為p(x;), 是來自總體X的一個(gè)樣本, 是參數(shù)的一個(gè)無偏估計(jì)量,且滿足條件:,上不等式的右端稱為羅-克拉美下界, I()稱為 Fisher信息量.,注,(1) I()的另一表達(dá)式為,

4、(2) 定理6.1對(duì)離散型總體也適用.,3. 有效估計(jì),定義6.4,定義6.5,說明,(2) 求有效估計(jì)的方法和求MVUE的方法完全一樣.,所以,五、相合性,例如,定義6.6,相合估計(jì)量(或一致,估計(jì)量).,證,(1) 由大數(shù)定律知,例6,由大數(shù)定律知,通過此例題,我們看到,要證明一個(gè)估計(jì)量具有相 合性,必須證明它依概率收斂,這有時(shí)很麻煩.因此,我們 下面我們不加證明的給出一個(gè)相合性的判定定理.,所以 是 的相合估計(jì),六、小結(jié),估計(jì)量的評(píng)選的四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，但要求一下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn),無偏性,有效性,相合性,相合性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)基本要求, 不具備相合性的估計(jì)量是不予以考慮的.,由最大似然估計(jì)法得到的估計(jì)量, 在一定條件下也具有相合性.估計(jì)量的相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時(shí),才能顯示出優(yōu)越性, 這在實(shí)際中往往難以做到,因此,在工程中往往使