高等數(shù)學(專科)復習題及答案

1、.中南大學現(xiàn)代遠程教育課程考試（?？疲土曨}及參考答案高等數(shù)學（?？疲┮?、填空題1函數(shù)的定義域是.解. 。 2若函數(shù)，則解. 3答案：1正確解法：4.已知，則_, _。由所給極限存在知, , 得, 又由, 知5.已知，則_, _。, 即, 6函數(shù)的間斷點是。解：由是分段函數(shù)，是的分段點，考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。因為 所以函數(shù)在處是間斷的，精品.又在和都是連續(xù)的，故函數(shù)的間斷點是。7. 設, 則8，則。答案：或9函數(shù)的定義域為 。解：函數(shù)z的定義域為滿足下列不等式的點集。的定義域為：且10已知,則 . 解令，則，11設,則 。 。12 設則 。解13. .解：由導數(shù)與積分互為逆運算得，.14.設是

2、連續(xù)函數(shù)，且，則 .精品.解：兩邊對求導得，令，得，所以.15若，則。答案： 16設函數(shù)f(x,y)連續(xù)，且滿足，其中則f(x,y)=_.解 記，則，兩端在d上積分有：，其中（由對稱性），即 ，所以，17求曲線所圍成圖形的面積為 ，（a0） 解： 18.；解：令，則原冪級數(shù)成為不缺項的冪級數(shù)，記其各項系數(shù)為，因為，則，故.精品.當時，冪級數(shù)成為數(shù)項級數(shù)，此級數(shù)發(fā)散，故原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.19的滿足初始條件的特解為.20微分方程的通解為.21微分方程的通解為.22.設n階方陣a滿足|a|=3，則=|= .答案：23.是關于x的一次多項式，則該多項式的一次項系數(shù)是. 答案： 2;24. f(x)

3、=是 次多項式，其一次項的系數(shù)是 。解：由對角線法則知，f(x)為二次多項式，一次項系數(shù)為4。25. a、b、c代表三事件，事件“a、b、c至少有二個發(fā)生”可表示為ab+bc+ac .26. 事件a、b相互獨立，且知則. 解：a、b相互獨立， p(ab)=p(a)p(b) p(ab)=p(a)+p(b)p(ab)=0.2+0.50.1=0.627. a，b二個事件互不相容，則. 解： a、b互不相容，則p(ab)=0，p(ab)=p(a)p(ab)=0.828. 對同一目標進行三次獨立地射擊，第一、二、三次射擊的命中率分別為0.4,0.5,0.7,則在三次射擊中恰有一次擊中目標的概率為.解：設

4、a、b、c分別表示事件“第一、二、三次射擊時擊中目標”，則三次射擊中恰有一次擊中目標可表示為，即有 p() =p(a)=0.36精品.29.已知事件 a、b的概率分別為p（a）0.7,p（b）0.6,且p（ab）0.4，則p（） ；p（） ；解： p(ab)=p(a)+p(b)p(ab)=0.9 p(ab)=p(a)p(ab)=0.70.4=0.3 30.若隨機事件a和b都不發(fā)生的概率為p，則a和b至少有一個發(fā)生的概率為.解：p(a+b)=1p二、單項選擇題1函數(shù)（ ） a.是奇函數(shù)； b. 是偶函數(shù)；c.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)； d.是非奇非偶函數(shù)。解：利用奇偶函數(shù)的定義進行驗證。 所以b正確。

5、2若函數(shù)，則（ ） a.；b. ；c.；d. 。解：因為，所以則，故選項b正確。3設 ，則=（ ）a x bx + 1 cx + 2 dx + 3解 由于，得 將代入，得=正確答案：d4已知，其中,是常數(shù)，則（ ）(a) , (b) (c) (d) 精品.解. , 答案：c5下列函數(shù)在指定的變化過程中，（）是無窮小量。a.； b.；c. ；d.解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以而a, c, d三個選項中的極限都不為0，故選項b正確。6下列函數(shù)中，在給定趨勢下是無界變量且為無窮大的函數(shù)是（ ）(a); (b);(c)； (d)解. , 故不選(a). 取, 則, 故不選(b). 取, 則

6、, 故不選(d). 答案：c 7設，則在處（）a連續(xù)且可導b連續(xù)但不可導c不連續(xù)但可導d既不連續(xù)又不可導解：（b），因此在處連續(xù)，此極限不存在精品.從而不存在，故不存在8曲線在點（1，0）處的切線是（ ） a b c d 解 由導數(shù)的定義和它的幾何意義可知， 是曲線在點（1，0）處的切線斜率，故切線方程是 ，即正確答案：a9已知，則=（ ） a. b. c. d. 6解 直接利用導數(shù)的公式計算： , 正確答案：b 10若，則（ ）。a b c d答案：d 先求出，再求其導數(shù)。11的定義域為（ ）abc d解 z的定義域為個，選d。12.下列極限存在的是（ ）（a） （b） （c） （d）精品.

7、解a. 當p沿時，當p沿直線時，故不存在； b. ，不存在； c. 如判斷題中1 題可知不存在； d. 因為，所以，選d13.若，在內（ ）.（a） （b）（c） （d）解：14設為奇函數(shù)，且時，則在上的最大值為（ ）ab c d解：（b）因為是奇函數(shù)，故，兩邊求導，從而，設，則，從而，所以在-10，-1上單調增加，故最大值為15函數(shù) ( )(a)、有極大值8 （b）、有極小值8 （c）無極值 （d）有無極值不確定 解， ，為極大值 （a）15.設（ ）.（a）依賴于 （b）依賴于（c）依賴于，不依賴于 （d）依賴于，不依賴于解：根據(jù)周期函數(shù)定積分的性質有,精品.17.曲線與軸圍成的圖形繞軸旋

8、轉所成的旋轉體的體積為（ ）.（a） （b） （c） （d）解：所求旋轉體的體積為故應選(b).18.設，則有（ ）.（a）（b）（c）（d）解：利用定積分的奇偶性質知，所以，故選（d）.19下列不定積分中，常用分部積分法的是（ ）。a bc d答案：b。20設，則必有（ ）（a）i0 (b)i0 (c)i=0 （d）i0的符號位不能確定解： d： 21設f(t)是可微函數(shù)，且f(0)=1，則極限（）( )（a）等于0 （b）等于 (c) 等于+ （d）不存在且非 c）解：由極坐標，原極限精品.22.設函數(shù)項級數(shù)，下列結論中正確的是( ).（a）若函數(shù)列定義在區(qū)間上，則區(qū)間為此級數(shù)的收斂區(qū)間（

9、b）若為此級數(shù)的和函數(shù)，則余項，（c）若使收斂，則所有都使收斂（d）若為此級數(shù)的和函數(shù)，則必收斂于解：選（b）.23.設為常數(shù)，則級數(shù)（ ）.（a）絕對收斂 （b）條件收斂（c）發(fā)散（d）斂散性與有關解：因為，而收斂，因此原級數(shù)絕對收斂. 故選（a）.24.若級數(shù)在時發(fā)散，在處收斂，則常數(shù)（ ）.（a）1 （b）-1 （c）2 （d）2解：由于收斂，由此知.當時，由于的收斂半徑為1，因此該冪級數(shù)在區(qū)間內收斂，特別地，在內收斂，此與冪級數(shù)在時發(fā)散矛盾，因此.故選（b）.25.的特解可設為（ ）（a） （b）（c） （d）解：c26.微分方程的階數(shù)是指（ ）（a）方程中未知函數(shù)的最高階數(shù)； （b）

10、方程中未知函數(shù)導數(shù)或微分的最高階數(shù)；（c）方程中未知函數(shù)的最高次數(shù)； （d）方程中函數(shù)的次數(shù).解：b精品.27.下面函數(shù)( )可以看作某個二階微分方程的通解.（a） （b）（c） （d）解：c28.a、b均為n階可逆矩陣，則a、b的伴隨矩陣=（ ）.（a）； （b）； （c） （d）； 解答：d 29. 設a、b均為n階方陣，則必有 。 (a) |a+b|=|a|+|b| (b) ab=ba (c) |ab|=|ba| (d) (a+b)1=a1+b1解：正確答案為(c)30.a,b都是n階矩陣,則下列各式成立的是 （ ）（a） （b） （c） （d）解答：b 31. 在隨機事件a，b，c中，

11、a和b兩事件至少有一個發(fā)生而c事件不發(fā)生的隨機事件可表示為（）（a）（b）（c）（d）解 由事件間的關系及運算知，可選（a）32. 袋中有5個黑球，3個白球，大小相同，一次隨機地摸出4個球，其中恰有3個白球的概率為（）（a）（b）（c）（d）解 基本事件總數(shù)為，設a表示“恰有3個白球”的事件，a所包含的基本事件數(shù)為=5，故p(a)=，故應選（d）。33. 已知，且,則下列選項成立的是（）（a）;（b）精品.（c）（d）解 由題可知a1、a2互斥，又0p(b)1，0p(a1)1，0p(a2)1，所以 p(a1ba2b)=p(a1b)+p(a2b)p(a1a2b)=p(a1)p(b|a1)+p(a

12、2)p(b|a2) 故應選（c）。三、解答題1.設函數(shù) 問（1）為何值時，在處有極限存在？（2）為何值時，在處連續(xù)？解：（1）要在處有極限存在，即要成立。因為所以，當時，有成立，即時，函數(shù)在處有極限存在，又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關，所以此時可以取任意值。（2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是 于是有，即時函數(shù)在處連續(xù)。2已知，試確定和的值解. ,即精品.,故3設，求的間斷點，并說明間斷點的所屬類型解. 在內連續(xù), , , 因此, 是的第二類無窮間斷點; , 因此是的第一類跳躍間斷點.4求方程中是的隱函數(shù)的導數(shù)（1）,解：方程兩邊對自變量求導，視為中間變量，

13、即 整理得 （2）設，求，；解：，5設由方程所確定, 求. 解: 設,精品., , , , ,. 6設函數(shù)在0,1上可導，且，對于（0 ,1）內所有x有證明在（0,1）內有且只有一個數(shù)x使 .7.求函數(shù)的單調區(qū)間和極值.解 函數(shù)的定義域是 令 ，得駐點， -2 0 + 0 - 0 + 極大值極小值故函數(shù)的單調增加區(qū)間是和，單調減少區(qū)間是及，當-2時，極大值；當0時，極小值.8.在過點的所有平面中, 求一平面, 使之與三個坐標平面所圍四面體的體積最小.精品.解: 設平面方程為, 其中均為正, 則它與三坐標平面圍成四面體的體積為, 且, 令, 則由, 求得 . 由于問題存在最小值, 因此所求平面方

14、程為, 且.9求下列積分 (1)解：極限不存在，則積分發(fā)散.(2)解是d上的半球面，由的幾何意義知i=v半球=(3) ，d由 的圍成。解關于x軸對稱，且是關于y的奇函數(shù)，由i幾何意義知，。4判別級數(shù)（常數(shù)）的斂散性. 如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂?解：由，而精品.，由正項級數(shù)的比較判別法知，與同時斂散.而收斂，故收斂，從而原級數(shù)絕對收斂.4判別級數(shù)的斂散性. 如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂?解：記，則.顯見去掉首項后所得級數(shù)仍是發(fā)散的，由比較法知發(fā)散，從而發(fā)散. 又顯見是leibniz型級數(shù)，它收斂. 即收斂，從而原級數(shù)條件收斂.4求冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)：解：，所以.又當時，級數(shù)成

15、為，都收斂，故級數(shù)的收斂域為.設級數(shù)的和函數(shù)為，即.再令，逐項微分得，精品.，故，又顯然有，故5求解微分方程 (1) 的所有解.解 原方程可化為，（當），兩邊積分得，即為通解。當時，即，顯然滿足原方程，所以原方程的全部解為及。(2) 解 當時，原方程可化為，令，得，原方程化為，解之得；當時，原方程可化為，類似地可解得。綜合上述，有。(3) 解 由公式得 。三、求解下列各題精品.1 計算下列行列式：（.2），解： （3） 解： 3設矩陣a，b滿足矩陣方程ax b，其中， , 求x 解法一：先求矩陣a的逆矩陣因為 所以 且 解法二： 因為 精品. 所以 4 設矩陣 試計算a-1b解 因為 所以 且 2設.(1)若，求；(2) 若，求；(3) 若，求.解：(1) p(b)=p(b)p(ab) 因為a，b互斥，故p(ab)=0，而由已知p(b)= p(b)=p(b)=(2) p(a)=，由ab知：p(ab)=p(a)= p(b)=p(b)p(ab)=(3) p(ab)= p(b)=p(b)p(ab)=3假設有3箱同種型號零件，里面分別裝有50