數(shù)字電子技術(楊志忠)PPT2.ppt

1、概述,第 2 章邏輯代數(shù)基礎,邏輯函數(shù)及其表示方法,邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則,邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,本章小結,主要要求：,理解邏輯值 1 和 0 的含義。,2.1 概 述,理解邏輯體制的含義。,一、邏輯代數(shù),邏輯代數(shù)中的 1 和 0 不表示數(shù)量大小，僅表示兩種相反的狀態(tài)。,注意,例如：開關閉合為 1 晶體管導通為 1 電位高為 1 斷開為 0 截止為 0 低為 0,主要要求：,掌握邏輯代數(shù)的常用運算。,理解并初步掌握邏輯函數(shù)的建立和表示的方法。,2.2 邏輯函數(shù)及其表示方法,掌握真值表、邏輯式和邏輯圖的特點及其相 互轉換的方法。,一、基本邏輯函數(shù)及運算,1. 與邏輯,決

2、定某一事件的所有條件都具備時，該事件才發(fā)生,邏輯表達式 Y = A B 或 Y = AB,與門 (AND gate),若有 0 出 0；若全 1 出 1,開關 A 或 B 閉合或兩者都閉合時，燈 Y 才亮。,2. 或邏輯,決定某一事件的諸條件中，只要有一個或一個以上具備時，該事件就發(fā)生。,若有 1 出 1 若全 0 出 0,邏輯表達式 Y = A + B,或門 (OR gate),1,3. 非邏輯,決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。,1,非門(NOT gate) 又稱“反相器”,二、常用復合邏輯運算,由基本邏輯運算組合而成,若相異出 1 若相同出 0,若相同出 1 若相異出

3、0,注意：異或和同或互為反函數(shù)，即,例 試對應輸入信號波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。,解：,Y1,0 1 1 0 0 1 1 0,0 0 1 1 0 0 1 1,Y2,Y3,三、邏輯符號對照,四、邏輯函數(shù)及其表示方法,邏輯函數(shù)描述了某種邏輯關系。 常采用真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖和邏輯圖等表示。,1. 真值表,列出輸入變量的各種取值組合及其對應輸出邏輯函數(shù)值的表格稱真值表。,0,0,4 個輸入變量有 24 = 16 種取值組合。,2. 邏輯函數(shù)式,表示輸出函數(shù)和輸入變量邏輯關系的 表達式。又稱邏輯表達式，簡稱邏輯式。,邏輯函數(shù)式一般根據(jù)真值表、卡諾圖或邏輯圖寫出。,(1)找出函數(shù)值為 1

4、的項。 (2)將這些項中輸入變量取值為 1 的用原變量代替， 取值為 0 的用反變量代替，則得到一系列與項。 (3)將這些與項相加即得邏輯式。,3. 邏輯圖,運算次序為先非后與再或，因此用三級電路實現(xiàn)之。,由邏輯符號及相應連線構成的電路圖。,例如 畫 的邏輯圖,例 圖示為控制樓道照明的開關電路。兩個單刀雙擲開關 A 和 B 分別安裝在樓上和樓下。上樓之前，在樓下開燈，上樓后關燈；反之，下樓之前，在樓上開燈，下樓后關燈。試畫出控制功能與之相同的邏輯電路。,(1) 分析邏輯問題，建立邏輯函數(shù)的真值表,(2) 根據(jù)真值表寫出邏輯式,解：,方法： 找出輸入變量和輸出函數(shù)， 對它們的取值作出邏輯規(guī)定，

5、然后根據(jù)邏輯關系列出真值表。,設開關 A、B合向左側時為 0 狀態(tài)，合向右側時為 1 狀態(tài)；Y 表示燈，燈亮時為 1 狀態(tài)，燈滅時為 0 狀態(tài)。則可列出真值表為,(3) 畫邏輯圖,與或表達式(可用 2 個非門、 2 個與門和 1 個或門實現(xiàn)),異或非表達式(可用 1 個異或門和 1 個非門實現(xiàn)),=B,2.3邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則,主要要求：,掌握邏輯代數(shù)的基本公式和基本定律。,了解邏輯代數(shù)的重要規(guī)則。,一、基本公式,二、基本定律,普通代數(shù)沒有！,例 證明等式 A + BC = (A + B) (A + C),解：,真值表法,公式法,右式 = (A + B) (A + C),用分配律展開,=

6、 AA,+ AC,+ BA,+ BC,= A + AC + AB + BC,= A (1 + C + B) + BC,= A 1 +BC,= A + BC,0,0,0,0,(二) 邏輯代數(shù)的特殊定理,吸收律,A + AB = A,A + AB = A (1 + B) = A,推廣公式：,思考：(1) 若已知 A + B = A + C，則 B = C 嗎？,(2) 若已知 AB = AC，則 B = C 嗎？,推廣公式：,摩根定律,(又稱反演律),三、重要規(guī)則,(一) 代入規(guī)則,A A A,利用代入規(guī)則能擴展基本定律的應用。,將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。,變換

7、時注意： (1) 不能改變原來的運算順序。 (2) 反變量換成原變量只對單個變量有效，而長非 號保持不變。,可見，求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有兩種方法：利用反演規(guī)則或摩根定律。,原運算次序為,(二) 反演規(guī)則,對任一個邏輯函數(shù)式 Y，將“”換成 “+”，“+”換成“”，“0”換成“1”， “1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量 換成原變量，則得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)。,(三) 對偶規(guī)則,對任一個邏輯函數(shù)式 Y，將“”換成“+”，“+”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到原邏 輯函數(shù)式的對偶式 Y 。,對偶規(guī)則：兩個函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。,應用對偶規(guī)則可將基本公式和定律擴展

8、。,主要要求：,了解邏輯函數(shù)式的常見形式及其相互轉換。,了解邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法。,2.4 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,理解最簡與 - 或式和最簡與非式的標準。,邏輯式有多種形式，采用何種形式視需要而定。各種形式間可以相互變換。,一、邏輯函數(shù)式的幾種常見形式和變換,例如,與或表達式,或與表達式,與非 - 與非表達式,或非 - 或非表達式,與或非表達式,轉換方法舉例,二、邏輯函數(shù)式化簡的意義與標準,化簡意義,使邏輯式最簡，以便設計出最簡的邏輯電路， 從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提 高系統(tǒng)可靠性。,不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取 最簡與 - 或式，然后通過變換得到所需最簡式。,最簡

9、與 - 或式標準,(1)乘積項(即與項)的個數(shù)最少 (2)每個乘積項中的變量數(shù)最少,用與門個數(shù)最少 與門的輸入端數(shù)最少,最簡與非式標準,(1)非號個數(shù)最少 (2)每個非號中的變量數(shù)最少,用與非門個數(shù)最少 與非門的輸入端數(shù)最少,三、代數(shù)化簡法,運用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對邏輯式進行化簡。,并項法,運用 ， 將兩項合并為一項，并消去一個變量。,吸收法,運用A+AB =A 和 ，消去多余的與項。,消去法,運用吸收律 ，消去多余因子。,配項法,通過乘 或加入零項 進行配項，然后再化簡。,綜合靈活運用上述方法,例 化簡邏輯式,解：,應用,例 化簡邏輯式,解：,應用,應用 AB,例 化簡邏輯式,解：,應

10、用,用摩根定律,主要要求：,掌握最小項的概念與編號方法，了解其主要性質。,掌握用卡諾圖表示和化簡邏輯函數(shù)的方法。,理解卡諾圖的意義和構成原則。,掌握無關項的含義及其在卡諾圖化簡法中 的應用。,2.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,代數(shù) 化簡法,優(yōu)點：對變量個數(shù)沒有限制。 缺點：需技巧，不易判斷是否最簡式。,卡諾圖 化簡法,優(yōu)點：簡單、直觀，有一定的步驟和方法 易判斷結果是否最簡。 缺點：適合變量個數(shù)較少的情況。 一般用于四變量以下函數(shù)的化簡。,一、代數(shù)化簡法與卡諾圖化簡法的特點,卡諾圖是最小項按一定規(guī)則排列成的方格圖。,n 個變量有 2n 種組合，可對應寫出 2n 個乘積 項，這些乘積項均具有下列特點

11、：包含全部變量， 且每個變量在該乘積項中 (以原變量或反變量)只 出現(xiàn)一次。這樣的乘積項稱為這 n 個變量的最小 項，也稱為 n 變量邏輯函數(shù)的最小項。,1. 最小項的定義和編號,(一)最小項的概念與性質,二、最小項與卡諾圖,如何編號？,如何根據(jù)輸入變量組 合寫出相應最小項？,例如,3 變量邏輯函數(shù)的最小項有 23 = 8 個,將輸入變量取值為 1 的代以原變量，取值為 0 的代以反變量，則得相應最小項。,簡記符號,例如,2. 最小項的基本性質,(2) 不同的最小項，使其值為 1 的那組變量取值也不同。,(3) 對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為 0。,(4) 對于變量的任一組取值，

12、全體最小項的和為 1。,3. 相鄰最小項,兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。,相鄰最小項重要特點：,兩個相鄰最小項相加可合并為一項， 消去互反變量，化簡為相同變量相與。,(二) 最小項的卡諾圖表示,將 n 變量的 2n 個最小項用 2n 個小方格表示，并且使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰， 這樣排列得到的方格圖稱為 n 變量最小項卡諾圖，簡稱為變量卡諾圖。,變量取 0 的代以反變量 取 1 的代以原變量,二 變 量 卡 諾 圖,0 1,0 1,0 0,0 1,m0,m1,m2,m3,四 變 量 卡 諾 圖,三 變 量 卡 諾 圖,0 1,0

13、0 01,11,10,m6,m7,m4,m2,m3,000,m0,m5,001,m1,以循環(huán)碼排列以保證相鄰性,變量取 0 的代以反變量 取 1 的代以原變量,卡諾圖特點： 循環(huán)相鄰性,如何寫出卡諾圖方格對應的最小項？,已知最小項如何找相應小方格？,例如,原變量取 1，反變量取 0。,1,0,0,1,？,為了用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，通常需要先求得真值表或者標準與 - 或式或者與 - 或表達式。因此，下面先介紹標準與 - 或式。,任何形式的邏輯式都可以轉化為標準 與-或式，而且邏輯函數(shù)的標準與 - 或式 是唯一的。,(一) 邏輯函數(shù)的標準與 - 或式,三、用卡諾圖表示邏輯函數(shù),每一個與項都是最小項

14、的與 - 或邏輯式 稱為標準與 - 或式，又稱最小項表達式。,如何將邏輯式轉化為 標準與-或式呢 ？,例 將邏輯式 化為標準與或式。,(3) 利用A+A=A，合并掉相同的最小項。,= m0 + m1 + m12 + m13 + m15,=m (0,1,12,13,15),解：(1) 利用摩根定律和分配律把邏輯函數(shù)式展開為與或式。,AB,+,(2) 利用配項法化為標準與或式。,用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例,已知 標準 與或 式畫 函數(shù) 卡諾 圖,例 試畫出函數(shù) Y = m (0,1,12,13,15) 的卡諾圖,解： (1) 畫出四變量卡諾圖,(2) 填圖,邏輯式中的最小項 m0、m1、m12、m1

15、3、m15對 應的方格填 1，其余不填。,已 知 真 值 表 畫 函 數(shù) 卡 諾 圖,例 已知邏輯函數(shù) Y 的 真值表如下，試畫 出 Y 的卡諾圖。,解：(1) 畫 3 變量卡諾圖。,(2)找出真值表中 Y = 1 對應的最小項，在 卡諾圖相應方格中 填 1，其余不填。,已 知 一 般 表 達 式 畫 函 數(shù) 卡 諾 圖,解：(1) 將邏輯式轉化為與或式,(2) 作變量卡諾圖,找出各與項所對應的最小項方格填 1，其余不填。,例 已知 ，試畫出 Y 的卡諾圖。,AB,+,(3) 根據(jù)與或式填圖,AB 對應最小項為同時滿足 A = 1， B = 1 的方格。,四、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),化簡規(guī)律,2

16、 個相鄰項合并消去 1 個變量，化簡結果為相同變量相與。,4 個相鄰項合并消去 2 個變量， 化簡結果為相同變量相與。,8 個相鄰項合并消去 3 個變量,畫包圍圈規(guī)則,包圍圈必須包含 2n 個相鄰 1 方格，且必須成方形。 先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重復圈，但 須每圈有新 1；每個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。,同一列最上邊和最下邊循環(huán)相鄰，可畫圈； 同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈； 四個角上的 1 方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。,注意,m15,m9,m7,m6,m5,m4,m2,m0,解：(1)畫變量卡諾圖,例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,

17、6,7,9,15),(2)填卡諾圖,1,1,1,1,1,1,1,1,(3)畫包圍圈,a,b,c,d,(4)將各圖分別化簡,圈 2 個可消去 1 個變量，化簡為 3 個相同變量相與。,Yb = BCD,圈 4 個可消去 2 個變量，化簡為 2 個相同變量相與。,循環(huán)相鄰,(5)將各圖化簡結果邏輯加，得最簡與或式,解：(1)畫變量卡諾圖,例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15),(2)填卡諾圖,1,1,1,1,1,1,1,1,(4)求最簡與或式 Y=,1,消 1 個剩 3 個,(3)畫圈,消 2 個剩 2 個,4 個角上的最小項循環(huán)相鄰,解

18、：(1)畫變量卡諾圖,(2)填圖,1,1,(4)化簡,(3)畫圈,例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),Y =,例 已知某邏輯函數(shù)的卡諾圖如下所示，試寫出其最 簡與或式。,解：,例 已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。,注意： 該卡諾 圖還有 其他畫 圈法,可見，最簡結果未必唯一。,解：(1)畫函數(shù)卡諾圖,1,1,1,1,1,1,(3)化簡,(2)畫圈,Y =,約束項和隨意項都不會在邏輯函數(shù)中出現(xiàn)，所對應函數(shù)值視為 1 或 0 都可以，故稱無關項。,不允許出現(xiàn)的無關項又稱約束項；客觀上不會出現(xiàn)的無關項又稱隨意項。,五、具有無關項的邏輯函數(shù)的化簡,合理利用無關項可使邏輯式更簡單,1. 無關項的概

19、念與表示,無關項是特殊的最小項，這種最小項所對應的變量取值組合或者不允許出現(xiàn)或者根本不會出現(xiàn)。,無關項在卡諾圖和真值表中用“”“”來標記，在邏輯式中則用字母 d 和相應的編號表示。,2. 利用無關項化簡邏輯函數(shù),無關項的取值對邏輯函數(shù)值沒有影響?；啎r應視需要將無關項方格看作 1 或 0 ，使包圍圈最少而且最大，從而使結果最簡。,將 d10 看成 0,其余看成 1,解：(1)畫變量卡諾圖,例 用卡諾圖化簡函數(shù) Y=m (0,1,4,6,9,13)+ d (2,3,5,7,10,11,15),(2)填圖,1,1,1,1,1,(4)寫出最簡與 - 或式,最小項,(3)畫包圍圈,無關項,1,0,例

20、已知函數(shù) Y 的真值 表如下，求其最簡 與 - 或式。,解：(1)畫變量卡諾圖,1,1,1,(4)寫出最簡與 - 或式,(2)填圖,(3)畫包圍圈,解：(1)畫變量卡諾圖,(2)填圖,(4)求最簡與 - 或式,(3)畫包圍圈,求最簡與非式基本方法是：先求最簡與或式，再利用還原律和摩根定律變換為最簡與非式。,(5)求最簡與非式,分析題意,稱約束條件，表明與項 AB 和 AC 對應的最小項不允許出現(xiàn)，因此 AB 和 AC 對應的方格為無關項。,本章小結,分析數(shù)字電路的數(shù)學工具是邏輯代數(shù)，它的 定律有的和普通代數(shù)類似，如交換律、結合 律和第一種形式的分配律；但很多與普通代 數(shù)不同，如吸收律和摩根定律

21、。須注意：邏 輯代數(shù)中無減法和除法。,邏輯函數(shù)和邏輯變量的取值都只有兩個， 即 0 或 1。須注意：邏輯代數(shù)中的 0 和 1 并 不表示數(shù)量大小，僅用來表示兩種截然不 同的狀態(tài)。,正邏輯體制規(guī)定高電平為邏輯 1、低電平為 邏輯 0；負邏輯體制則規(guī)定低電平為邏輯 1、 高電平為邏輯 0。未加說明則默認為正邏輯 體制。,基本邏輯運算有與運算(邏輯乘)、或運算(邏輯加) 和非運算(邏輯非)3 種。常用復合邏輯運算有與非運算、或非運算、與或非運算、異或運算和同或運算。,邏輯函數(shù)常用的表示方法有：真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖和邏輯圖。,不同表示方法各有特點，適宜不同的應用。,卡諾圖主要用于化簡邏輯式。,真值表通常用于分析邏輯函數(shù)的功能、根據(jù)邏輯功能要求建立邏輯函數(shù)和證明邏輯等式等。,邏輯式便于進行運算和變換。在分析電路邏輯功能時，通常首先要根據(jù)邏輯圖寫出邏輯式；而設計邏輯電路時需要先寫出邏輯式，然后才能畫出邏輯圖。,邏輯圖是分析和安裝實際電路的依據(jù)。,真值表、邏輯式、卡諾圖和邏輯圖之間可相互轉換,(1)