高三數(shù)學(xué)教案：正弦定理和余弦定理

1、講義一正弦定理和余弦定理以及其應(yīng)用一、知識與技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以靈活運用。二、知識引入與講解：、正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用：正弦定理： 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsinasinbsin c =2r例 1（ 1）、已知abc中，a0， a3 , 求a bc(=2)60sin bsinsin ac（ 2）、已知abc 中， sin a:sin b:sin c 1:2:3，求 a: b: c（答案： 1：2： 3）、余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用：例 2（ 1）、在abc中，已知a23，0，求 b 及 a （ b 2 2.a0c6 2 b60

2、60. ）（2）、在abc中，已知 a80 ， b100，a450 ，試判斷此三角形的解的情況。例 3在abc中，已知 a7 ， b5 ， c 3 ，判斷abc的類型。a2b2c 2a是直角abc是直角三角形分析：由余弦定理可知a2b2c2是鈍角abc是鈍角三角形aa2b2c2a是銳角abc是銳角三角形（注意：a是銳角abc是銳角三角形）解： q 725232 ，即 a2b2c 2 ，abc是鈍角三角形 。練習(xí)： （ 1）在abc中，已知 sin a:sin b:sin c1:2:3，判斷abc的類型。（ 2）已知abc滿足條件 a cosab cosb ，判斷abc的類型。（答案：（ 1）a

3、bc是鈍角三角形 ；（ 2） abc是等腰或直角三角形）例 4 在abc中， a01，面積為3，求abc的值60 ， b2sin asinbsin c分析：可利用三角形面積定理s1 absinc1 acsinb1 bc sin a以及正弦定理222abcabcsin asin bsincsin asin b sin c解：由 s1bcsina3得c2，則 a2b2c 2bccosa=3，即a3，222從而abca2sin asinbsin csina例題 5、某人在 m汽車站的北偏西20的方向上的 a 處，觀察到點c 處有一輛汽車沿公路向 m站行駛。公路的走向是m站的北偏東 40 。開始時，汽

4、車到a 的距離為 31 千米，汽車前進(jìn) 20第- 1 -頁共 2頁千米后，到 a 的距離縮短了 10 千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)m汽車站？解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá) b 處。在abc中， ac=31， bc=20， ab=21，由余弦定理得cosc= ac 2bc 2ab 2= 23 ,2acbc31則 sin 2 c =1- cos2 c = 4322 ,31sinc = 123 ,31所以 sinmac= sin （ 120 -c）= sin120 cosc - cos120sinc = 35362在mac中，由正弦定理得mc =ac sinmac = 31s

5、inamc3235 3 =35從而有 mb= mc-bc=1562答：汽車還需要行駛15 千米才能到達(dá)m汽車站。練習(xí)題： 1、判斷滿足下列條件的三角形形狀，（ 1）、 acosa = bcosb （ 等腰三角形或直角三角形）（ 2）、 sinc = sin asin b（直角三角形）cos acos b2、如圖，在四邊形abcd中，adb=bcd=75， acb=bdc=45 ， dc= 3 ，求：（ 1） ab的長（ 2）、求四邊形 abcd的面積解（ 1）因為bcd=75， acb=45 ，所以acd=30，又因為bdc=45 ，所以dac=180- （75+ 45 +30 ）=30，所以ad=dc=3在bcd中，cbd=180- （ 75+ 45 ） =60，所以bd=dc， bd =3 sin 75 =62sin 75sin 60sin 602在abd中， ab2 =ad2 + bd 2 -2adbd cos75= 5