勾股定理公開課

1、.,18.1 勾股定理(1),數(shù)形結(jié)合之美,.,你想知道嗎?,國慶節(jié)前，為了更好觀看閱兵式，小明媽媽買了一部42英寸（106厘米）的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有85厘米長和64厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？,探索勾股定理,.,數(shù)學(xué)故事鏈接,相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？,探索勾股定理,.,數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：,A、B、C的面積有什么關(guān)系？,SA+SB=SC,探索勾股定理,.,A的面積（單位面積）,B的面積（單

2、位面積）,C的面積（單位面積）,圖1-1,圖1-2,9,16,25,16,36,52,探索勾股定理,.,A,B,C,SA=a2,SB=b2,SC=c2,a,b,c,a2+b2=c2,設(shè)：直角三角形的三邊長分別是a、b、c,猜想:兩直角邊a、b與斜邊c 之間的關(guān)系？,SA+SB=SC,探索勾股定理,.,如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，那么c2=a2+b2.,猜想,a,b,c,勾,股,弦,探索勾股定理,.,試一試?,請利用此圖象，證明勾股定理： a2+b2=c2,探索勾股定理,.,走進(jìn)數(shù)學(xué)史,.,美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德,總統(tǒng)巧證勾股定理,返回,.,應(yīng)用勾股定理,已知ABC的

3、三邊分別是a，b，c， 若B=90度，則有關(guān)系式（ ）,A.a2+b2=c2,B.a2+c2=b2,C.a2-b2=c2,D.b2+c2=a2,A,B,C,選一選,.,應(yīng)用勾股定理,講一講,8,6,A,B,C,求圖中直角三角形的未知邊的長度。,15,17,A,B,C,.,勾股定理，想得再多一點(diǎn),（1）若a=5，b=12， 則c =_.,在RtABC中，,（2）若c=4，b= 2 ，則a =_.,C=900 .,做一做,.,勾股定理，想得再多一點(diǎn),如圖，受臺風(fēng)莫拉克影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，這棵樹折斷前有多高？,.,勾股定理，想得再多一點(diǎn),國慶節(jié)前，為了更好觀

4、看閱兵式，小明媽媽買了一部42英寸（106厘米）的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有85厘米長和64厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？,回頭再看看,.,說說這節(jié)課你有什么收獲？,內(nèi)容總結(jié)：,（1）運(yùn)用勾股定理的條件是什么？ （2）勾股定理揭示了直角三角形的什么關(guān)系？ （3）勾股定理有什么用途？,方法總結(jié)：,用直角三角形三邊表示三個正方形面積觀察歸納發(fā)現(xiàn)勾股定理任意畫一個直角三角形，再驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn)。,.,課堂之外還需要鞏固提高,家庭作業(yè)：,課本P55 習(xí)題2,補(bǔ)充： 1、求下列直角三角形中未知邊的長:,補(bǔ)充： 1、求下列直角三角形中未知邊的長:

5、,2、如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺風(fēng)中于離地面10米處折斷倒下， 樹頂落在離樹根24米處.大樹在折斷之前高多少？,勾股定理的由來,這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達(dá)哥拉 斯定理”。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世紀(jì)的中國人。當(dāng)時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。 在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。“什么是”勾、股“呢？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。商高那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（

6、就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實(shí)說成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫作商高定理。 畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾 里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著幾何原本 時，認(rèn)為這個定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個 定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了。（為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”）,走進(jìn)數(shù)學(xué)史,勾股定理的證明方法,證法一,證法二,證法三,（鄒元治證明）,（趙爽證明

7、） 趙爽:我國古代數(shù)學(xué)家,走進(jìn)數(shù)學(xué)史,勾股定理的證明方法,證法四,證法五,證法六,（加菲爾德證明） 加菲爾德:第二十任總統(tǒng),（梅文鼎證明） 梅文鼎:清代天文、數(shù)學(xué)家,（項(xiàng)明達(dá)證明） 項(xiàng)明達(dá):清代數(shù)學(xué)家,走進(jìn)數(shù)學(xué)史,勾股定理的證明,勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾唵?，更容易吸引人，才使它成百次地反?fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。 在這數(shù)百種證

8、明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。 現(xiàn)在在網(wǎng)絡(luò)上看到較多的是16種,包括前面的6種,還有: 歐幾里得證明、 利用相似三角形性質(zhì)證明、 楊作玫證明、 李銳證明、 利用切割線定理證明、 利用多列米定理證明、 作直角三角形的內(nèi)切圓證明、利用反證法證明、 辛卜松證明、 陳杰證明。,走進(jìn)數(shù)學(xué)史,.,應(yīng)用勾股定理,a,b,c,確定斜邊,c2= a2+b2,？,a,c,b,確定斜邊,b2= a2+c2,？,b,c,a,確定斜邊,a2= b2+c2,？,.,應(yīng)用勾股定理,c2=a2 +b2,a,b,c,?,?,b2= c2 - a2,a2= c2 - b2,靈活運(yùn)用,.

9、,復(fù)習(xí)提問,1、任意三角形三邊滿足怎樣的關(guān)系？,2、對于等腰三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關(guān)系？等邊三角形呢？,3、對于直角三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關(guān)系？,.,2002年在北京召開了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會”，這就是本屆大會會徽的圖案。,這個圖案就是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時用到的，被稱為“趙爽弦圖”,.,相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形的某種數(shù)量關(guān)系。,情景引入,.,探究活動,分成四人小組，每個小組課前準(zhǔn)備好4個全等的直角三角形和以直角三角形各邊為邊長的3個

10、正方形（如右圖）.,運(yùn)用這些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形嗎？試試看，你能拼幾種.,.,圖,圖,圖,.,復(fù)習(xí)提問,1、任意三角形三邊滿足怎樣的關(guān)系？,2、對于等腰三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關(guān)系？等邊三角形呢？,3、對于直角三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關(guān)系？,.,2002年在北京召開了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會”，這就是本屆大會會徽的圖案。,這個圖案就是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時用到的，被稱為“趙爽弦圖”,.,相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形的某種數(shù)量

11、關(guān)系。,情景引入,.,（1）觀察圖1 正方形A中含有 個小方格，即A的面積是 個單位面積。,正方形B的面積是 個單位面積。,正方形C的面積是 個單位面積。,9,9,9,18,1,2,3,（2）（3）,探究活動一：,.,分割成若干個直角邊為整數(shù)的三角形,（單位面積）,返回,.,（單位面積）,把C看成邊長為6的正方形面積的一半,返回,.,（2）在圖2中，正方形A，B，C中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？,（3）你能發(fā)現(xiàn)圖1中三個正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？,SA+SB=SC,即：以等腰直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積,.,探究活動二：,（1）觀察右

12、邊 兩幅圖：,（2）填表（每個小正方形的面積為單位1）：,4 9,16 9,？,？,.,（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流.,.,“割”,“補(bǔ)”,“拼”,.,（4）分析填表數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？,.,結(jié)論2 以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.,.,議一議：,（1）你能用直角三角形的兩直角邊的長a、b和斜邊長c來表示圖中正方形的面積嗎？,（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么 關(guān)系嗎？,.,勾股定理（gou-gu theorem),如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么,即 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。,表示

13、為：RtABC中，C=90,則,.,議一議：判斷下列說法是否正確,并說明理由： (1)在ABC中,若a=3,b=4,則c=5 (2)在RtABC中，如果a=3，b=4,則c=5. (3)在RtABC中，C=90 , 如果a=3，b=4,則c=5.,.,探究活動,分成四人小組，每個小組課前準(zhǔn)備好4個全等的直角三角形和以直角三角形各邊為邊長的3個正方形（如右圖）.,運(yùn)用這些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形嗎？試試看，你能拼幾種.,.,圖,圖,圖,.,方法一：,而,所以,即,，,，,.,.,因?yàn)?，,.,方法二：,，,化簡得：,.,方法三：,，,化簡得：,.,1.求下列圖中表示邊的未知數(shù)x

14、、y、z的值.,81,144,x,y,z,做一做,.,比一比看看誰算得快！,2.求下列直角三角形中未知邊的長:,可用勾股定理建立方程.,方法小結(jié):,8,x,17,16,20,x,12,5,x,做一做,.,C,A.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米,、如圖,一個長8 米,寬6 米的草地,需在相對角的頂點(diǎn)間加一條小路,則小路的長為 ( ),8m,6m,.,、湖的兩端有A、兩點(diǎn)，從與A方向成直角的BC方向上的點(diǎn)C測得CA=130米,CB=120米,則AB為 ( ),A.50米 B.120米 C.100米 D.130米,130,120,?,A,.,某樓房在20米高處的樓層失火，消防員取來25米長的云梯救火，已知梯子的底部離墻的距離是15米。問消防隊(duì)員能否進(jìn)入該樓層滅火？,已知兩直角邊求斜邊,?,?,?,?,?,.,我國古代兩種證法：,1、公元3世紀(jì)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注時給出的“弦圖”：,.,我國有記載的最早勾股定理的證明，是三國時，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在他所著的勾股方圓圖注中，用四個全等的直角三角形拼成一個中空的正方形來證明的。每個直角三角形的面積叫朱實(shí)，中間的正方形面積叫黃實(shí)，大正方形面積叫弦實(shí)，這個圖也叫弦圖。年的